百校联盟2023届高三上学期综合能力测试（一）数学试题（含答案）

百校联盟2023届高三上学期综合能力测试（一）数学试题
一、单选题
1．设A，B是非空集合，定义且，已知，，则（ ）
A． B．或
C． D．或
2．已知i为虚数单位，复数z满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
3．一个三棱锥的三视图如右图所示，则这个三棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知中，，且，则（ ）
A． B． C．8 D．9
5．设，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上是减函数，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．设分别为离心率的双曲线的左、右焦点，为双曲线的右顶点，以为直径的圆交双曲线的渐近线于两点，则
A． B． C． D．
8．不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛(Alberobello)，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo，于1996年被收入世界文化遗产名录.现测量一个Trullo的屋顶，得到圆锥其中为顶点，为底面圆心)，母线长为6米，是母线的靠近点的三等分点.从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，若灯光带的最小长度为米.下面说法正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为平方米
B．过点的平面截此圆锥所得截面面积最大值为18平方米
C．圆锥的外接球表面积为平方米
D．棱长为米的正四面体在圆锥内可以任意转动
11．已知函数，若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．在函数上存在点，使得函数过该点的切线与只有一个交点
B．过点可作两条切线与函数相切
C．
D．的值与2的关系不确定
12．已知函数，的图象与直线分别交于、两点，则（ ）
A．的最小值为
B．使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线
C．函数至少存在一个零点
D．使得曲线在点处的切线也是曲线的切线
三、填空题
13．某社区服务站将5名抗疫志愿者分到3个不同的社区参加疫情防控工作，要求每个社区至少1人，则不同的分配方案有__________种.
14．已知命题函数的图象必过定点；命题如果函数的图象关于原点对称，那么函数的图象关于点对称，则命题为__________（填“真”或“假”）．
15．若，则 ________．
16．已知递增等比数列的前项和为，，，数列的前项和为，则________.
四、解答题
17．设数列满足，，令.
(1)试证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)是否存在常数，使得数列是等比数列？请说明理由.
(3)令，是否存在实数，使得对一切都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
18．在直四棱柱中，四边形为平行四边形，为的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
19．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
①；
②；
③．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ．
(1)求角C；
(2)若，求△ABC周长的取值范围．
20．给定函数.
（1）试求函数的单调减区间；
（2）已知各项均为负的数列满足，，求证：；
（3）设，为数列的前项和，求证：.
21．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若有两个半径相同的圆，它们的圆心都在轴上方且分别在双曲线的两条渐近线上，过双曲线右焦点且斜率为的直线与圆都相切，求两圆圆心连线的斜率的范围．
22．已知函数，且有两个不同的零点，．
(1)求的取值范围；
(2)比较与的大小．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据新定义运算求得.
【详解】，
所以或.
故选：D
2．C
【分析】利用复数的除法运算求出复数z，再利用复数模的定义计算作答.
【详解】由得：，则，
所以.
故选：C
3．B
【详解】
由三视图可画出该三棱锥的直观图，如图 ，图中正四棱柱的底面边长为 ，高为 ，棱锥的四个面有三个为直角三角形，一个为腰长为 ，底长 的等腰三角形，其面积分别为： ，所以三棱锥的表面积为，故选B.
4．B
【分析】利用向量的运算以及模长公式求解.
【详解】
因为，
所以
因为中，，
所以
.故A，C，D错误.
故选：B.
5．B
【解析】，，然后运用对数的运算性质分别判断出和的符号即可.
【详解】由对数的性质得：，
所以
因为
所以，即
因为
所以，即
综上：
故选：B
【点睛】作差法是比较大小的常用方法，作为本题来说，要熟练掌握对数的运算性质.
6．A
【分析】应用倍角余弦公式可得，根据函数平移写出的解析式，利用余弦函数的性质求的减区间，结合已知区间求a的最大值即可.
【详解】由题设，，则，
又上递减，即上递减，
由在上是减函数，则，故a的最大值为.
故选：A
7．A
【解析】由离心率可知，联立方程求出两点的坐标，进而可得结果.
【详解】∵离心率，∴
不妨设圆与yx相交且点M的坐标为（，）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣，﹣），
联立，得M（a，2a），N（﹣a，﹣2a），又A（a，0）
，
∴，
∴，∴
故选A．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率．解决本题的关键在于求出a，b的关系．
8．D
【分析】由题意，根据离散型分布列的计算步骤，结合数学期望的计算公式，可得答案.
【详解】当时，第次取出的必然是红球，而前次中，有且只有1次取出的是红球，其余次数取出的皆为黑球，故，于是得到X的分布列为：
故
故选：D.
9．BD
【分析】根据对数函数、不等式的性质等知识确定正确答案.
【详解】A选项，若，但没有意义，所以A选项错误.
B选项，由于，所以B选项正确.
C选项，若，则，
但，所以C选项错误.
D选项，由于，则，所以，D选项正确.
故选：BD
10．AD
【分析】利用圆锥的侧面展开图、余弦定理、扇形的弧长公式可求出圆锥的底面半径，进而可求出圆锥的侧面积，可知A正确；过点平面截此圆锥所得截面面积最大为，计算可知，B错误；计算出圆锥的外接球半径后，再求出其表面积，可知C不正确；求出圆锥的内切球的半径和棱长为的正四面体的外接球的半径，比较可知，D正确.
【详解】设圆锥底面半径为
如图，
中，，
∴，∴，
所以米，
所以圆锥的侧面积为平方米，故A正确；
在中，，，
所以过点平面截此圆锥所得截面面积最大为平方米，故B错误；
设圆锥的外接球半径为，则，又，
所以，∴，
圆锥的外接球表面积为，故C不正确；
设圆锥的内切球半径为，则，∴，
在棱长为米的正四面体中，设其外接球半径为，
则此正四面体的底面外接圆半径为，高为，
所以，所以，
因为，所以棱长为米的正四面体在圆锥内可以任意转动，故D正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：利用圆锥的侧面展开图、余弦定理、扇形的弧长公式求出圆锥的底面半径是关键点一，利用棱长为米的正四面体的外接球的半径与圆锥的内切球的半径判断D选项是关键点二.
11．AC
【分析】求出在点处的切线，设，由导数判断其单调性，研究函数的零点即可判断选项A；求出在点处的切线将和、代入，构造函数判断方程有无实根即可判断选项B；求出的单调性，构造函数，
证明，即，即，根据的单调性可得出结论，可判断选项C和D，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：的定义域为，
设点处 切线为，则切线为，
设，所以
，由可得：；由可得：，
所以在单调递减，在单调递增，
令则 ，可得在单调递增，
而，所以在上只有一个零点，故选项A 正确；
对于选项B：设点则切线为，若切线过点，可得，
即，令，则，
由可得：；由可得：，
所以在单调递减，在单调递增，
，所以无解，
所以不存在过点的切线，故选项B不正确；
对于选项C和D：，所以可得在单调递增，
由，，设，记，（），则
，所以在单调递增，因为，，所以，即即，即，
根据在单调递增，可得，所以，故选项C正确，选项D不正确，
故选：AC.
【点睛】求曲线过点的切线的方程的一般步骤是：
（1）设切点，
（2）求出在处导数，即在点处的切线斜率；
（3）构建关系，解得；
（4）由点斜式求得切线方程.
12．ABD
【解析】求出、两点的坐标，得出关于的函数表达式，利用导数求出的最小值，即可判断出A选项的正误；解方程，可判断出B选项的正误；利用导数判断函数的单调性，结合极值的符号可判断出C选项的正误；设切线与曲线相切于点，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D选项的正误.进而得出结论.
【详解】令，得，令，得，
则点、，如下图所示：
由图象可知，，其中，
令，则，则函数单调递增，且，当时，，当时，.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，A选项正确；
，，则，，
曲线在点处的切线斜率为，
曲线在点处的切线斜率为，
令，即，即，
则满足方程，所以，使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线，B选项正确；
构造函数，可得，
函数在上为增函数，由于，，
则存在，使得，可得，
当时，；当时，.
，
所以，函数没有零点，C选项错误；
设曲线在点处的切线与曲线相切于点，
则曲线在点处的切线方程为，即，
同理可得曲线在点处的切线方程为，
所以，，消去得，
令，则，
函数在上为减函数，，，
则存在，使得，且.
当时，，当时，.
所以，函数在上为减函数，，，
由零点存在定理知，函数在上有零点，
即方程有解.
所以，使得曲线在点处的切线也是曲线的切线.
故选：ABD.
【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，属于难题.
13．150
【分析】根据分类计数原理，先分别算出两种情况分配方案的数量再相加即可.
【详解】若3个社区的志愿者人数分别为3，1，1，此时不同的分配方案有种；
若3个社区的志愿者人数分别为2，2，1，此时不同的分配方案有种.
根据分类计数原理，不同的分配方案共有种.
故答案为：150
14．真
【详解】试题分析：命题为真；的图象关于原点对称，则函数的图象关于点对称成立，命题为真，因此命题为真．
考点：1、命题的真假；2、函数的定点；3、函数图象的对称．
【方法点晴】本题主要考命题的真假、函数的定点和函数图象的对称，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力和化归能力，综合程度较高，属于较难题型．通过方程思想可判断命题为真，利用形结合思想和转化化归思想可得命题为真，从而推出命题为真．平时应注重数学思想的培养，从而促进核心素养的提升．
15．1
【解析】把求值式转化为关于的二次齐次分式．然后转化为，代入求值．
【详解】∵，
∴．
故答案为：1．
【点睛】方法点睛：本题考查二倍角公式，考查同角间的三角函数关系．在已知求值时，对关于的齐次式，一般转化为关于的式子．再代入值计算．如一次齐次式：，二次齐次式：， 另外二次式也可化为二次齐次式．
16．
【分析】首先根据等比数列的性质得到，从而得到，利用等差数列的求和公式得到，再利用裂项法求的值即可.
【详解】因为，，
所以，即，
解得或.
又因为数列为递增数列，所以.
所以，.
因为，，
所以.
故
故答案为：
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的求和公式，同时考查裂项法求和，属于中档题.
17．(1)证明见解析，；
(2)存在，理由见解析；
(3)存在，.
【分析】（1）由题设可得，结合及得，即可证结论，根据等差数列定义写出通项公式；
（2）假设存在，利用等比中项的性质列方程求参数，即可判断存在性；
（3）令求得与1的大小关系，判断的单调性，结合恒成立、对数不等式的解法求参数a的范围，判断存在性.
【详解】（1）由，得，
即,故，而，
∴，即，
∴数列是以首项为，公差为1的等差数列，故．
（2）由（1），设，
若存在常数c，使是等比数列，则，
即，解得.
经检验，c=0复合题意，
所以，存在唯一的常数，使是等比数列.
（3）设，
则.
∵
∴，即数列是递减数列，故．
要使不等式对一切都成立，
只要，即，， 解得.
因此， 存在大于实数，使不等式对一切都成立．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理可证得，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用向量数量积运算可证得，，由线面垂直的判定可得结论；
（2）利用面面角的向量求法直接求解即可.
【详解】（1）四边形为平行四边形，，又，
，，
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
，即，，
，平面，平面.
（2）由（1）：平面的一个法向量为；
设平面的法向量，
，，，
令，解得：，，，
，
平面与平面夹角的余弦值为.
19．(1)
(2)．
【分析】（1）①利用正弦定理进行边角互换，得到，然后利用余弦定理求即可；
②利用二倍角公式和辅助角公式进行化简得到，然后根据解方程即可；
③根据内角和、诱导公式和和差公式得到，代入原式得到，即可得到；
（2）利用余弦定理和基本不等式得到，再根据三角形三边关系得到，即可得到周长的范围.
【详解】（1）选①，由得：
，
即，
所以，
因为，
故角；
选②，由得：
，
，
所以，
因为，，
所以，
解得：；
选③，因为，
又因为，
所以，
∴，
∵，
∴，
∴，
因为，
所以．
（2）根据（1）可知：，
又因为，
由余弦定理得：，
所以，
即，当且仅当时取得等号，
又因为根据三角形的三边关系有：
所以，
所以△ABC周长的取值范围为．
20．（1）函数的单调减区间为和；（2）证明见详解;（3）证明见详解.
【分析】（1）求出导数，令即可解得单调减区间.
（2）先求出的通项公式，于是待证不等式即为，可变形后构造函数利用导数证明不等式.
（3）由（2）的结论可得，令然后将所得各式相加即可.
【详解】（1）的定义域为，
.
令，解得或，
所以函数的单调减区间为和.
（2）证明：由可得，①
当时，得，解得(舍去)；
当时，.②
①-②得，
则，
所以或.
当时，由可得，不满足各项均为负，舍去；
当时，由可得数列是以为公差，为首项的等差数列，所以，符合题意.
于是，所证不等式即为.
令，则，，于是原不等式可化为.
设，则，
当时，，则单调递减，
所以，则.
设，则，
当时，，则单调递增，
所以，则，即.
所以，所以，
所以.
（3）证明：由（2）可得，则，
故，，…，，
以上各式相加得.
又，所以.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的综合问题，考查利用导数求单调区间，用构造函数法证明不等式，还考查了由和的关系式求通项公式.解题的关键是用构造函数法证明不等式时，可先将式子化简，使所构造的函数解析式尽可能地简单，考查计算能力，属于较难题
21．（1）；（2）.
【分析】（1）由抛物线得焦点，得双曲线的．再利用离心率计算公式，及，即可解得，；
（2）利用点斜式得直线的方程为．由（1）可得双曲线的渐近线方程为．进而可设圆，圆，其中，．因为直线与圆，都相切，利用点到直线的距离公式可得，经过化简可得与的关系，再利用斜率计算公式即可得出，把与的关系代入即可得出的取值方法．
【详解】解：（1）由抛物线得焦点，得双曲线的．
又，，
解得，．
双曲线的方程为．
（2）直线的方程为．
由（1）可得双曲线的渐近线方程为．
由已知可设圆，圆，其中，．
因为直线与圆，都相切，所以，
得直线与，或，即，或，
设两圆，圆心连线斜率为，则，当时，；
当时，，
，，，故可得，
综上：两圆，圆心连线斜率的范围为．
22．(1)
(2)
【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，求出函数的单调区间及最值，然后根据题意列出不等式，从而可得出答案；
（2）易得是函数的一个零点，结合（1）分和两种情况讨论，当时，，转化为关于的不等式，构造新的函数，利用导数证明即可，同理证明时不等式也成立即可．
（1）
，
因为函数在，上单调递增，所以，
当时，，函数在，上递增，
此时函数在，上最多一个零点，与题意矛盾；
当时，令，则
所以函数在上递减，在上递增，
所以
因为函数在，上有两个不同的零点，
所以，即，
令，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以
则当时，，
所以不等式组的解为且，
即的取值范围为，
综上所述的取值范围为；
（2）
（1）得，
因为（1），则为函数的一个零点，
不妨设，
①当时，则，
由为函数的零点，
得，则，
则要证不等式，即证，
即证，即证，
即证，
令，
则，
所以函数在，上递减，
所以，
所以；
②当时，则，
由为函数的零点，
得，则，
则要证不等式，即证，
即证，即证，
即证，
令，
则，
所以函数在上递增，
所以，
所以，
综上所述．
【点睛】本题考查了利用导数求函数函数的单调区间及利用导数解决零点问题，考查了利用导数证明不等式问题，考查了分类讨论思想和逻辑推理能力，属于难题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页