(共13张PPT)
第四章
全章回顾思考
(第2课时）
复习知识网络
1.角的定义
(1)有 的两条 组成的图形，叫做角.
(2) 角也可以看作由一条射线 它的 旋转而形成的图形.
2.角的表示
(1)角通常用三个字母及符号“∠”来表示，如上图中角可以表示为 或 ，表示顶点的字母O必须放在中间，其他两个字母A，B分别表示角的两边上的点.
(2)当顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示角，这个字母应标在顶点上. 如上图的角可以表示为∠O.
(3)一个数字表示： .
(4)一个希腊字母表示： .
知识点一、角的 相关概念
公共端点
—角的顶点
两条射线
—角的边
A
O
B
1
α
注意：(3)(4)这两种方法必须在图上标注后才能使用，并且只能表示单独的一个角.
3. 角的度量
把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作 ；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作 ；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作 .
1°
1′
1″
公共端点
射线
绕着
端点
∠1
∠α
∠AOB
∠BOA
例2：1周角=____°，1平角=___°，1°=____′，1′=____″，
1″=_____′，1′=_____°，1°=_____″，1″=____°.
例1:如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠B也可以表示为∠ABC
B．∠BAC也可以表示为∠A
C．∠1也可以表示为∠C
D．以C为顶点且小于180°的角有3个
例3：如图：∠α的度数是48度56分37秒，
记作：∠α= ° ′ ″.
C
360
180
60
60
（）
3600
48
56
37
（）
（）
1.角的平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成 的角的 ，叫做这个角的 .
2.比较方法： 和 （尺规作图）
3.角的计算：即度数的计算。用度数进行加减乘除计算。
∵OB是∠AOC的角平分线，
∴∠AOB＝ ＝ .
∠AOC＝ ＝ .
知识点二、角的比较与运算
两个相等
射线
平分线
∠BOC
∠AOC
2∠AOB
2∠BOC
度量法
重叠法
例4. ，那么，的大小关系按从大到小的顺序排列是________，________，________.
例6：； .
例5．如图，将三个同样的直角三角尺的直角顶点重合放置，那么∠AOB的度数为 _____．
例7.如图，BD 平分∠ABC，BE 把∠ABC 分成 2:5 两部分，∠DBE=21°，求∠ABC 的度数.
解:设∠ABE = 2x°,则∠CBE = 5x°
∠ABC =∠ABE+∠CBE= 7x°
因为 BD 平分∠ABC
所以 ∠ABD = ∠ABC =3.5x°
即 2x + 21= 3.5x
解得 x = 14
因为∠ABE+∠DBE =∠ABD
所以∠ABC = 7x°= 7×14°= 98°
=
=
=
=
1.定义：若两个角的和等于 ，则这两个角互余。
若两个角的和为 ，则这两个角互补。
2.描述：若 + =90°或 + =180°
则：∠A与∠B互余（互补）或∠A（∠B）是∠B（∠A）的补角。
3.余角和补角的性质：
①同角的余角（补角）相等。即若∠A与∠B互为余角（补角），∠A与∠C互为余角（补角），
则∠B= .
②等角的余角（补角）相等。若∠A=∠B，且∠A的余角（补角）是∠C，∠B的余角（补角）是∠D，
则 =∠D
知识点三、余角与补角
90°
180°
∠A
∠B
∠A
∠B
∠C
∠C
例8：下列说法正确的是（ ）
A．锐角的补角一定是钝角
B．锐角和钝角的和一定是平角
C．互补的两个角可以都是锐角
D．互余的两个角可以都是钝角
例9：一个角和它的补角度数比为4：5，则这个角的余角度数为（ ）
A．40° B．50° C．10° D．80°
例10：如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是______________，∠COD的余角是_______________;
（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由
O
A
B
C
D
E
解：OE平分∠BOC
理由如下：
∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠COD+∠COE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE，
∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，
∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．
A
C
∠COE
，∠EOB
∠COE
，∠EOB
1.方向角：
用于表示方向的角，由方向和角度构成。习惯上把 写在前， 写在后。
如南偏西30°、北偏东60°等。
注：如果在45°角上时，通常用 、 、 、 方向来表示。
补充（钟面角）：秒针走一秒是 ，分针走一分是 ，时针走一小时是 。
知识点四、方位角
南北
偏东偏西
西北
东北
东南
西南
6°
6°
30°
例11：如图，时针与分针的夹角是（ ）
A．75° B．65°
C．55° D．45°
分析：根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°得到时针30分钟从数字8开始转了30×0.5°=15°，分针30分钟从数字12开始转了30×6°=180°，而它们开始时相差8大格，即240°，所以钟面上20：30时的时针与分针的夹角=8×30°+15°-180°=75°．
故选：A
例12：如图，O点是学校所在的位置，A小区位于学校南偏东71°，B小区位于学校西北方向，在A小区和B小区之间有一条公路OC（射线OC）平分∠AOB．
（1）求∠BOC的度数；
（2）公路OC上的车站D相对于学校O的方位是什么？
解：（1）根据题意得：∠AOM＝71°，∠BON＝45°，
∵∠AOM+∠AOE=90°，
∴∠AOE＝90°﹣∠AOM=90°﹣71°＝19°，
∴∠AOB＝∠BON+∠NOE+∠AOE＝45°+90°+19°＝154°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝，
A
（2） ∠CON= ∠BOC- ∠BON= = ,所以车站D相对于学校O的方位是北偏东
通过本节课的学习:
你知道了什么？
学会了什么？
领悟了什么？
课堂小结，自我完善第四章 全章回顾思考(第2课时） 导学案
学习目标：
1. 理解并掌握角的概念、性质、表示方法和画法，角的大小的比较方法，互为余角、互为补角的概念及其性质。
2. 初步学会应用图形与几何的知识解决简单的实际问题，并规范的书写推理过程。
一、知识网络复习
二、平面图形——角的复习
知识点一：角的相关概念
1.角的定义
(1)有 的两条 组成的图形，叫做角.
(2) 角也可以看作由一条射线 它的 旋转而形成的图形.
2.角的表示
(1)角通常用三个字母及符号“∠”来表示，如上图中角可以表示
为 或 ，表示顶点的字母O必须放在中间，其他两个字母A，B分别表示角的两边上的点.
(2)当顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示角，这个字母应标在顶点上. 如上图的角可以表示为 .
(3)一个数字表示： .
(4)一个希腊字母表示： .
3. 角的度量
把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作 ；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作 ；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作 .
例1:如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠B也可以表示为∠ABC
B．∠BAC也可以表示为∠A
C．∠1也可以表示为∠C
D．以C为顶点且小于180°的角有3个
例2：1周角=____°，1平角=___°，1°=____′，1′=____″，
1″=_____′，1′=_____°，1°=_____″，1″=____°.
例3：如图：∠α的度数是48度56分37秒，
记作：∠α= ° ′ ″.
知识点二：角的比较与运算
1.角的平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成 的角的 ，叫做这个角的 .
∵OB是∠AOC的角平分线，
∴∠AOB＝ ＝
∠AOC＝ ＝
2.比较方法： 和 尺规作图）
3.角的计算：即度数的计算。用度数进行加减乘除计算。
例4. ，那么，的大小关系按从大到小的顺序排列是________，________，________.
例5．如图，将三个同样的直角三角尺的直角顶点重合放置，那么∠AOB的度数为 _____．
例6：； .
例7.如图，BD 平分∠ABC，BE 把∠ABC 分成 2:5 两部分，∠DBE=21°，求∠ABC 的度数.
知识点三：余角与补角
1.定义：若两个角的和等于 ，则这两个角互余。
若两个角的和为 ，则这两个角互补。
2.描述：若 + =90°或 + =180°
则：∠A与∠B互余（互补）或∠A（∠B）是∠B（∠A）的补角。
3.余角和补角的性质：
①同角的余角（补角）相等。即若∠A与∠B互为余角（补角），∠A与∠C互为余角（补角），
则∠B=
②等角的余角（补角）相等。若∠A=∠B，且∠A的余角（补角）是∠C，∠B的余角（补角）是∠D，
则 =∠D
例8：下列说法正确的是（ ）
A．锐角的补角一定是钝角
B．锐角和钝角的和一定是平角
C．互补的两个角可以都是锐角
D．互余的两个角可以都是钝角
例9：一个角和它的补角度数比为4：5，则这个角的余角度数为（ ）
A．40° B．50° C．10° D．80°
例10：如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是______________，∠COD的余角是_______________;
（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由
知识点四：方位角
1.方向角：
用于表示方向的角，由方向和角度构成。习惯上把 写在前， 写在后。
如南偏西30°、北偏东60°等。
注：如果在45°角上时，通常用 、 、 、 方向来表示。
补充（钟面角）：秒针走一秒是 ，分针走一分是 ，时针走一小时是 。
例11： 如图，时针与分针的夹角是（ ）
A．75° B．65°
C．55° D．45°
例12：如图，O点是学校所在的位置，A小区位于学校南偏东71°，B小区位于学校西北方向，在A小区和B小区之间有一条公路OC（射线OC）平分∠AOB．
（1）求∠BOC的度数；
（2）公路OC上的车站D相对于学校O的方位是什么？
三、课堂小结
通过本节课的学习:你知道了什么？学会了什么？领悟了什么？
四、课后练习
见精准作业单第四章 全章回顾思考(第2课时）
教学目标
1. 理解并掌握角的概念、性质、表示方法和画法，角的大小的比较方法，互为余角、互为补角的概念及其性质。
2. 初步学会应用图形与几何的知识解决简单的实际问题，并规范的书写推理过程。
教学重点
运用图形与几何的知识解决简单的实际问题
教学难点
规范的书写推理过程
教学过程
一、知识网络复习
二、平面图形——角的复习
知识点一：角的相关概念
1.角的定义
(1)有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角.
(2) 角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
2.角的表示
(1)角通常用三个字母及符号“∠”来表示，如上图中角可以表示为∠AOB或∠BOA，表示顶点的字母O必须放在中间，其他两个字母A，B分别表示角的两边上的点.
(2)当顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示角，这个字母应标在顶点上. 如上图的角可以表示为∠O.
(3)一个数字表示：∠1.
(4)一个希腊字母表示：∠α.
3. 角的度量
把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″.
例1:如图，下列说法错误的是（ C ）
A．∠B也可以表示为∠ABC
B．∠BAC也可以表示为∠A
C．∠1也可以表示为∠C
D．以C为顶点且小于180°的角有3个
例2：1周角=__360__°，1平角=_180__°，1°=__60__′，1′=___60_″，
1″=_____′，1′=_____°，1°=___3600__″，1″=____°.
例3：如图：∠α的度数是48度56分37秒，
记作：∠α= 48 ° 56 ′ 37 ″.
知识点二：角的比较与运算
1.角的平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.
∵OB是∠AOC的角平分线，
∴∠AOB＝∠BOC＝ ∠AOC
∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC
2.比较方法：度量法和重叠法（尺规作图）
3.角的计算：即度数的计算。用度数进行加减乘除计算。
例4. ，那么，的大小关系按从大到小的顺序排列是____ ____，___ ___，___ ___.
例5．如图，将三个同样的直角三角尺的直角顶点重合放置，那么∠AOB的度数为 _ __．
例6：； .
= =
= =
例7.如图，BD 平分∠ABC，BE 把∠ABC 分成 2:5 两部分，∠DBE=21°，求∠ABC 的度数.
解:设∠ABE = 2x°,则∠CBE = 5x°
∠ABC =∠ABE+∠CBE= 7x°
因为 BD 平分∠ABC
所以 ∠ABD = ∠ABC =3.5x°
即 2x + 21= 3.5x
解得 x = 14
因为∠ABE+∠DBE =∠ABD ,
所以∠ABC = 7x°= 7×14°= 98°
知识点三：余角与补角
1.定义：若两个角的和等于90°，则这两个角互余。
若两个角的和为180°，则这两个角互补。
2.描述：若∠A+∠B=90°或∠A+∠B=180°
则：∠A与∠B互余（互补）或∠A（∠B）是∠B（∠A）的补角。
3.余角和补角的性质：
①同角的余角（补角）相等。即若∠A与∠B互为余角（补角），∠A与∠C互为余角（补角），
则∠B=∠C
②等角的余角（补角）相等。若∠A=∠B，且∠A的余角（补角）是∠C，∠B的余角（补角）是∠D，
则∠C=∠D
例8：下列说法正确的是（A ）
A．锐角的补角一定是钝角
B．锐角和钝角的和一定是平角
C．互补的两个角可以都是锐角
D．互余的两个角可以都是钝角
例9：一个角和它的补角度数比为4：5，则这个角的余角度数为（ C ）
A．40° B．50° C．10° D．80°
例10：如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是__∠COE，∠EOB_，∠COD的余角是_∠COE，∠EOB ;
（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由
解：OE平分∠BOC
理由如下：
∵∠DOE=90°
∴∠AOD+∠BOE=90°
∴∠COD+∠COE=90°
∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE
∵OD平分∠AOC
∴∠AOD=∠COD
∴∠COE=∠BOE
∴OE平分∠BOC
知识点四：方位角
1.方向角：
用于表示方向的角，由方向和角度构成。习惯上把南北写在前，偏东偏西写在后。
如南偏西30°、北偏东60°等。
注：如果在45°角上时，通常用东北、西北、东南、西南方向来表示。
补充（钟面角）：秒针走一秒是6°，分针走一分是6°，时针走一小时是30°。
例11： 如图，时针与分针的夹角是（ A ）
A．75° B．65°
C．55° D．45°
例12：如图，O点是学校所在的位置，A小区位于学校南偏东71°，B小区位于学校西北方向，在A小区和B小区之间有一条公路OC（射线OC）平分∠AOB．
（1）求∠BOC的度数；
（2）公路OC上的车站D相对于学校O的方位是什么？
解：（1）根据题意得：∠AOM＝71°，∠BON＝45°，
∵∠AOM+∠AOE=90°，
∴∠AOE＝90°﹣∠AOM=90°﹣71°＝19°，
∴∠AOB＝∠BON+∠NOE+∠AOE＝45°+90°+19°＝154°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝，
（2） ∠CON= ∠BOC- ∠BON= = ,所以车站D相对于学校O的方位是北偏东
三、课堂小结
通过本节课的学习:你知道了什么？学会了什么？领悟了什么？
四、课后练习
见精准作业单
五、板书设计
第四章 全章回顾思考(第2课时）
知识点一：角的相关概念。 平面图形-角的知识网格图
知识点二：角的比较与运算
知识点三：余角与补角
知识点四：方位角
—角的顶点
两条射线
A
公共端点—角的顶点
α
O
1
B
第 2 页 共 5 页课前诊测
1. 把化为用度表示为 .
精准作业
必做题
1. 已知∠α 和∠β 互为补角，并且∠β 的一半比∠α 小30 ，求∠α，∠β．
2. 如图，∠AOB 是直角， ON是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线.
(1) 当∠AOC=50°时，求∠MON 的大小；
(2) 当∠AOC＝α 时， ∠MON 等于多少度？
(3) 当锐角∠AOC 的大小发生改变时，∠MON 的大小也会发生改变吗？为什么？
3. 如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线．射线OC的方向是 ，并说明理由；
探究题
1. 已知∠AOB=90°，∠COD=90°，画出示意图并探究∠AOC 与∠BOD 的关系．
课前诊测
1.
精准作业
1.解：设∠α＝x ，则∠β＝180 -x ．
根据题意得,∠β＝2(∠α-30 )，
即 180- x＝2(x -30)，
解得 x＝80．
所以 ，∠α＝80 ，∠β＝100 ．
2.（1）解：因为∠AOB 是直角，∠AOC=50°，
所以∠BOC =∠AOB+∠AOC = 90°+50°=140°，
因为ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，
所以∠COM = ∠BOC = ×140°=70°，
∠CON = ∠AOC = ×50°= 25°，
所以∠MON=∠COM－∠CON=70°－25°=45°
（2）解：∠BOC=∠AOB+∠AOC = 90°+α，
因为ON是∠AOC 的平分线，OM是∠BOC 的平分线，
所以∠COM = ∠BOC = (90°+α)，
∠CON = ∠AOC = α，
所以∠MON=∠COM-∠CON= (90°+α)- α=45°.
（3）解：不会发生变化.
由(2)可知∠MON 的大小与∠AOC无关，
总是等于∠AOB的一半.
3. 解：（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°，
∴∠NOB＝40°，∠NOA＝15°，
∴∠AOB＝∠NOB+∠NOA＝55°，
∵∠AOB＝∠AOC，
∴∠AOC＝55°，
∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC＝70°，
∴OC的方向是北偏东70°；
探究题
解:如图①,
因为∠AOB = 90°, ∠COD = 90°,
所以∠AOC = 90°-∠BOC，
∠BOD = 90°-∠BOC，
所以∠AOC =∠BOD.
解：如图②，
∠AOC=90°+∠BOC，
∠BOD=90°-∠BOC，
所以∠AOC+∠BOD=180°.
解：如图③，
因为∠AOB=90°,∠COD=90°，
所以∠AOC=90°+∠BOC，
∠BOD=90°+∠BOC，
所以∠AOC=∠BOD.
解：如图④，
∠AOC+∠BOD=360°-90°×2=180°，
即∠AOC+∠BOD=180°．
综上所述，∠AOC =∠BOD
或∠AOC+∠BOD=180°．
