人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.1《空间向量的数量积》教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.1《空间向量的数量积》教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 497.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 19:02:12 | ||
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文档简介
《空间向量的数量积》教学设计二
教学设计
教学过程
教师活动 学生活动 设计意图
一、设置情境2016年在杭州召开的G20峰会向世界展示了杭州的无穷魅力，一些别致的建筑和设计令人印象深刻！设计、制造这些宏伟的建筑、精美的造型，都会遇到许多立体几何问题，比如建筑和地面是否垂直，要不要垂直？构成建筑的部件长度是多少？彼此成多少角度比较合适等等.怎样才能解决这些问题呢？问题1：在所学的数学工具中，哪些可以用来研究垂直问题，计算长度、角度问题？问题2：在必修课程中已经学面向量，并深刻地体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用.我们还学习了空间向量的加减法、数乘运算，那么空间向量中，怎样的运算能支持判断垂直问题，计算长度、角度问题？追问：空间向量有数量积吗？为什么？是怎样计算的？ 思考问题. 空间向量的数量积运算不是凭空产生的，它与我们的实际生活紧密联系，引导学生在与平面向量的类比中，体验空间向量数量积运算存在的必然性，从而自然地引出学习内容.同时，激活学生已有学习经验和知识储备，任意两个空间向量都是共面的，所以任意两个空间向量的数量积，本质上就是平面向量的数量积.
二、探究新知师:我们首先来学习空间中两个向量的夹角.1.空间向量的夹角.空间中,给定两个非零向量,任意在空间中选定一点,作,则大小在内的称为与的夹角,记作.特别地,(1)当时,与同向;（2）当时,与反向;（3）如果,则称向量与垂直,记作.约定零向量与任意向量都垂直.提醒:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的.例1 如图所示是一个正方体,求下列各对向量的夹角:（1）与;（2）与;（3）与；（4）与解 （1）由于与的方向相同,所以,.（2）.（3）.（4）.2.空间向量的数量积定义.空间中,两个非零向量与的数量积(或内积)定义为.规定零向量与任意向量的数量积为0.注意:（1）表示数量而不表示向量,符号由决定;（2）符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“”代替；（3）在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是:.3.空间向量数量积的几何意义.过的始点和终点分别向所在的直线作垂线,即可得向量在向量上的投影与的数量积等于在上的投影的数量与的长度的乘积.特别地,与单位向量的数量积等于在上的投影的数量.4.空间向量的投影的其他作法.过的始点和终点分别作与所在直线垂直的平面得到.这可以从下图所示的长方体中看出来,其中向量在棱上,,因为,所以在向量上的投影.5.向量在直线(或平面)上的投影的定义.一般地,给定空间向量和空间中的直线或平面),过的始点和终点分别作直线(或平面)的垂线,假设垂足为,则向量称为在直线(或平面上的投影.6.空间向量数量积的性质.（1）;（2）;（3）;（4）;（5）(交换律)；（6）(分配律.第(6)条性质的理解可阅读教材第10页. 学生自主完成例题.思考空间向量的数量积与平面向量的数量积的联系.与平面向量的投影进行对比，深入理解空间向量投影的概念.学生思考并利用空间向量的数量积的定义和几何意义进行理解和验证. 结合例题让学生理解空间中两个非零向量的夹角的概念.体会空间向量的数量积与平面向量的数量积本质上是一致的.让学生学会空间向量投影的直观作法，实现从平面到空间的拓展.让学生理解空间向量数量积的性质，为后续学习奠定基础.
三、例题讲解例2 如图所示长方体中,是的中点,,求（1）;（2）.解 （1）(方法一)因为是长方体,而且,所以,因此(方法二)由图可以看出,在上的投影是,而且,注意到与的方向相同,所以等于的长,即.（2）由图可以看出,在上的投影是,而且,注意到与的方向相反,所以等于的长的相反数,即. 学生思考，自主练习，并说出例2的答案.学生模仿练习，完成第二问. 结合例题让学生学会空间向量数量积的运算.
四、巩固练习1.正方体的棱长等于2,则.等于A.2 B.C.4D.答案 C点拨 .2.已知空间向量的夹角为,且,,则_____.答案 5点拨 . 学生思考，自主练习，并说出答案. 巩固本节课重点知识，熟练应用数量积的定义和运算性质进行运算.
五、小结师生共同回忆本节的学习内容：（1）空间向量的夹角的概念；（2）空间向量数量积的概念和几何意义；（3）空间向量数量积的性质. 学生总结本节课内容. 使学生当堂内容当堂掌握，并养成总结的好习惯.
六、作业布置教材第11页练习A第3，5题，教材第12页练习B第4~6题 课后练习巩固. 独立完成，巩固所学知识.
板书设计
第2课时 空间向量的数量积1.空间向量的夹角空间中,给定两个非零向量,任意在空间中选定一点,作,则大小在内的称为与的夹角,记作特别地,当时,与同向;（2）当时,与反向；（3）如果,则称向量与垂直,记作约定零向量与任意向量都垂直例12.空间向量的数量积定义空间中,两个非零向量与的数量积(或内积)定义为规定间向量与任意向量的数量积为03.空间向晕数量积的几何意义过的始点和终点分别向所在的直线作垂线,即可得到向量在向量上的投影与的数量积等于在上的投影的数量与的长度的乘积特别地,与单位向量的数量积等于在上的投影的数量4.空间向量数量积的性质（1）;（2）;（3）;（4）;（5）交换律);（6）(分配律)例2
教学研讨
本节课的教学主线是做好“类比”、抓住“本质”、学会方法”、奠定“基础”，通过类比发现“任意两个空间向量都是共面的”，抓住本质确定“空间中任意两个向量的数量积本质上就是平面向量的数量积”，学会空间向量的数量积运算，为后续学习用向量方法解决空间角、长度、垂直等问题莫定基础.
教学过程中，充分发挥学生的主体作用，凸显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式.在概念、运算性质的建构中，始终坚持让学生主动进行类比与归纳；在例题讲解中，注重引导学生建立“已知”与“待求”间的关联”.借助向量工具适时转化难点，可设置问题串适时突破难点，注重渗透数形结合、化归转化的数学思想.通过课堂小结，让学生能对课堂所学有持续的思考，激发学习的热情.
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教学设计
教学过程
教师活动 学生活动 设计意图
一、设置情境2016年在杭州召开的G20峰会向世界展示了杭州的无穷魅力，一些别致的建筑和设计令人印象深刻！设计、制造这些宏伟的建筑、精美的造型，都会遇到许多立体几何问题，比如建筑和地面是否垂直，要不要垂直？构成建筑的部件长度是多少？彼此成多少角度比较合适等等.怎样才能解决这些问题呢？问题1：在所学的数学工具中，哪些可以用来研究垂直问题，计算长度、角度问题？问题2：在必修课程中已经学面向量，并深刻地体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用.我们还学习了空间向量的加减法、数乘运算，那么空间向量中，怎样的运算能支持判断垂直问题，计算长度、角度问题？追问：空间向量有数量积吗？为什么？是怎样计算的？ 思考问题. 空间向量的数量积运算不是凭空产生的，它与我们的实际生活紧密联系，引导学生在与平面向量的类比中，体验空间向量数量积运算存在的必然性，从而自然地引出学习内容.同时，激活学生已有学习经验和知识储备，任意两个空间向量都是共面的，所以任意两个空间向量的数量积，本质上就是平面向量的数量积.
二、探究新知师:我们首先来学习空间中两个向量的夹角.1.空间向量的夹角.空间中,给定两个非零向量,任意在空间中选定一点,作,则大小在内的称为与的夹角,记作.特别地,(1)当时,与同向;（2）当时,与反向;（3）如果,则称向量与垂直,记作.约定零向量与任意向量都垂直.提醒:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的.例1 如图所示是一个正方体,求下列各对向量的夹角:（1）与;（2）与;（3）与；（4）与解 （1）由于与的方向相同,所以,.（2）.（3）.（4）.2.空间向量的数量积定义.空间中,两个非零向量与的数量积(或内积)定义为.规定零向量与任意向量的数量积为0.注意:（1）表示数量而不表示向量,符号由决定;（2）符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“”代替；（3）在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是:.3.空间向量数量积的几何意义.过的始点和终点分别向所在的直线作垂线,即可得向量在向量上的投影与的数量积等于在上的投影的数量与的长度的乘积.特别地,与单位向量的数量积等于在上的投影的数量.4.空间向量的投影的其他作法.过的始点和终点分别作与所在直线垂直的平面得到.这可以从下图所示的长方体中看出来,其中向量在棱上,,因为,所以在向量上的投影.5.向量在直线(或平面)上的投影的定义.一般地,给定空间向量和空间中的直线或平面),过的始点和终点分别作直线(或平面)的垂线,假设垂足为,则向量称为在直线(或平面上的投影.6.空间向量数量积的性质.（1）;（2）;（3）;（4）;（5）(交换律)；（6）(分配律.第(6)条性质的理解可阅读教材第10页. 学生自主完成例题.思考空间向量的数量积与平面向量的数量积的联系.与平面向量的投影进行对比，深入理解空间向量投影的概念.学生思考并利用空间向量的数量积的定义和几何意义进行理解和验证. 结合例题让学生理解空间中两个非零向量的夹角的概念.体会空间向量的数量积与平面向量的数量积本质上是一致的.让学生学会空间向量投影的直观作法，实现从平面到空间的拓展.让学生理解空间向量数量积的性质，为后续学习奠定基础.
三、例题讲解例2 如图所示长方体中,是的中点,,求（1）;（2）.解 （1）(方法一)因为是长方体,而且,所以,因此(方法二)由图可以看出,在上的投影是,而且,注意到与的方向相同,所以等于的长,即.（2）由图可以看出,在上的投影是,而且,注意到与的方向相反,所以等于的长的相反数,即. 学生思考，自主练习，并说出例2的答案.学生模仿练习，完成第二问. 结合例题让学生学会空间向量数量积的运算.
四、巩固练习1.正方体的棱长等于2,则.等于A.2 B.C.4D.答案 C点拨 .2.已知空间向量的夹角为,且,,则_____.答案 5点拨 . 学生思考，自主练习，并说出答案. 巩固本节课重点知识，熟练应用数量积的定义和运算性质进行运算.
五、小结师生共同回忆本节的学习内容：（1）空间向量的夹角的概念；（2）空间向量数量积的概念和几何意义；（3）空间向量数量积的性质. 学生总结本节课内容. 使学生当堂内容当堂掌握，并养成总结的好习惯.
六、作业布置教材第11页练习A第3，5题，教材第12页练习B第4~6题 课后练习巩固. 独立完成，巩固所学知识.
板书设计
第2课时 空间向量的数量积1.空间向量的夹角空间中,给定两个非零向量,任意在空间中选定一点,作,则大小在内的称为与的夹角,记作特别地,当时,与同向;（2）当时,与反向；（3）如果,则称向量与垂直,记作约定零向量与任意向量都垂直例12.空间向量的数量积定义空间中,两个非零向量与的数量积(或内积)定义为规定间向量与任意向量的数量积为03.空间向晕数量积的几何意义过的始点和终点分别向所在的直线作垂线,即可得到向量在向量上的投影与的数量积等于在上的投影的数量与的长度的乘积特别地,与单位向量的数量积等于在上的投影的数量4.空间向量数量积的性质（1）;（2）;（3）;（4）;（5）交换律);（6）(分配律)例2
教学研讨
本节课的教学主线是做好“类比”、抓住“本质”、学会方法”、奠定“基础”，通过类比发现“任意两个空间向量都是共面的”，抓住本质确定“空间中任意两个向量的数量积本质上就是平面向量的数量积”，学会空间向量的数量积运算，为后续学习用向量方法解决空间角、长度、垂直等问题莫定基础.
教学过程中，充分发挥学生的主体作用，凸显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式.在概念、运算性质的建构中，始终坚持让学生主动进行类比与归纳；在例题讲解中，注重引导学生建立“已知”与“待求”间的关联”.借助向量工具适时转化难点，可设置问题串适时突破难点，注重渗透数形结合、化归转化的数学思想.通过课堂小结，让学生能对课堂所学有持续的思考，激发学习的热情.
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