人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.1.2《空间直角坐标系和空间向量坐标的应用》名师课件（共42张PPT）

(共42张PPT)
复习引入
一、空间中向量的坐标
一般地,如果空间向量的基底{}中,都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;
在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解.
如果,则称有序实数组为向量的坐标.
记作:,其中都称为的坐标分量.
复习引入
二、空间向量的运算与坐标的关系
类似地,可以得出,如果是两个实数,
那么
当且时,由向量数量积的定义可知
复习引入
复习引入
三、空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
当时,
更进一步,当的每一个坐标分量都不为零时,有
而且
人教B版同步教材名师课件
空间直角坐标系和空间向量坐标的应用
学习目标
学 习 目 标 核心素养
掌握空间直角坐标系的建立方法 直观想象
掌握向量在空间直角坐标系中的坐标表示 逻辑推理
掌握空间直角坐标系中两点之间的距离公式、中点坐标公式 数学运算
学习目标
1.理解空间直角坐标系的定义、建系方法,以及空间的点的坐标确定方法并能简单运用
2.空间直角坐标系中两点之间的距离公式、中点坐标公式难点(重点)
3.空间向量的坐标与空间直角坐标系的关系(难点)
探究新知
如图所示,怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置
一、空间直角坐标系
在直线上建立数轴后,就可以用一个数来刻画点在直线上的位置;在平面内建立平面直角坐标系之后,就可以用一对有序实数来刻画点在平面内的位置.
那么,怎样才能刻画空间中点的位置呢
建立空间直角坐标系
那么如何建立空间直角坐标系
探究新知
建立空间直角坐标系:
在空间中任意选定一点O作为坐标原点,选择合适的平面先建立平面直角坐标系,然后过作一条与平面垂直的数轴轴.
这样建立的空间直角坐标系记作
1.在空间直角坐标系中,轴、轴、轴是两两互相垂直的,它们都称为坐标轴
探究新知
3.在平面内画空间直角坐标系时,一般把轴、轴画成水平放置,轴正方向与轴正方向夹角为(或),轴与轴(或轴)垂直
2.通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面.分别记为平面、平面、平面.
探究新知
轴的正方向一般按照如下方式确定:
在轴的正半轴看平面,轴的正半轴绕点沿逆时针方向旋转能与轴的正半轴重合
探究新知
问题1:类比平面直角坐标系中点的坐标的来历,空间中点的坐标如何得到 点的坐标是否是唯一的 请给出说明
建立了空间直角坐标系之后,如图所示,设为空间中的一个点,过分别作垂直于轴、轴、轴的平面,设这些平面与轴、轴、轴依次交于点,,,且,,在轴、轴、轴上的坐标分别为,那么点就对应唯一确定的有序实数组;
探究新知
给定有序实数组,可以在轴、轴、轴上依次取坐标为的点,,,分别过,,作垂直于轴、轴、轴的一个平面,则有序实数组就与这三个平面唯一的公共点对应
探究新知
(1)点的坐标记作,此时, 都称为点的坐标分量,且称为点的横坐标(或坐标),称为点的纵坐标(或坐标),称为点的竖坐标(或坐标)
探究新知
(2)空间中建立了空间直角坐标系之后,三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分,如图所示. 每一部分都称为一个卦限,按逆时针方向,在坐标平面的上方,分别是第卦限、第卦限、第卦限、第卦限;在坐标平面的下方,分别是第卦限、第卦限、第卦限、第卦限
事实上,根据点的坐标的特征,第卦限的点集用组合可表示为
其他卦限的点集可用类似的方法表示
典例讲解
例1.已知棱长为1的正方体中,是的中点,是的中点,以为原点,的方向分别为轴、轴、轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,求以下各点的坐标:
解析:
注意到正方体的棱长为1,因此
.又因为,分别是的中点所以
思考,在空间直角坐标系中,向量的坐标与点的坐标有什么关系
探究新知
如果空间中的单位向量的始点都在原点,且它们的方向分别与轴、轴、轴的正方向相同,则{}是单位正交基底,且向量的坐标与点的坐标相同,即
;
如果{}为单位正交基底,则任意选定一点作为原点,并使得轴、轴、轴的正方向分别与的方向相同,则可以建立空间直角坐标系,而且其中向量的坐标与点的坐标仍然相同.
探究新知
为了方便起见,以后谈到空间直角坐标系时,总是默认为已经按照上述方式指定了单位正交基底{};认为已经按照单位正交基底{}建立了空间直角坐标系
探究新知
在空间直角坐标系中, 轴对称、中心对称等,它们的意义与平面直角坐标系中的类似.与两点关于直线对称类似,如果连接两点的线段的中点在一个平面内,且这两点确定的直线垂直于该平面,则称这两点关于该平面对称.
与平面直角坐标系类似,关于谁对称,谁不变
变式训练
1.如图所示的空间直角坐标系中,单位正方体顶点的坐标是(　　)
解析:
依据空间点的坐标定义,点的坐标是
答案：
变式训练
2.如图,棱长为的正四面体ABCD的三个顶点,,分别在空间直角坐标系的坐标轴,,上,则顶点的坐标为(　　)
C.
解析：
由已知,所以,将正四面体放入正方体中,所以点的坐标为.
答案：.
变式训练
3.已知点,则点关于轴对称的点的坐标为(　　)
解析:
关于轴对称的点,横坐标相同,纵坐标、竖坐标均互为相反数,所以关于轴对称的点的坐标为
答案:
变式训练
4.空间两点,的坐标分别为,则两点的位置关系是(　　)
A.关于轴对称 B.关于轴对称
C.关于轴对称 D.关于原点对称
解析:
由两点的坐标可知,两点关于轴对称.
答案:
探究新知
问题2:类比平面直角坐标系中两点之间的距离公式与中点坐标公式,
思考空间直角坐标系中两点之间的距离公式与中点坐标公式是怎样的
二、空间向量坐标的应用
设,为空间直角坐标系中的两个点,则
所以
探究新知
即空间向量在空间直角坐标系中的坐标,等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标
因此
这就是空间直角坐标系中两点之间的距离公式
设线段的中点为,则,又因为
所以的坐标为
这就是空间直角坐标系中的中点坐标公式
探究新知
典例讲解
例2.在空间直角坐标系中,已知,
求证:三点共线.
证明:
因为,,所以,因此,又因为这两个向量有公共的始点,所以三点共线
典例讲解
例3.如图所示,已知直三棱柱,,,且分别是棱的中点建立适当的空间直角坐标系,求与的长
解析:
以为坐标原点,的方向分别为轴、轴、轴正方向,建立如下图所示的空间直角坐标系.
由题意可知
因此
又因为是的中点,所以的坐标为
即,同理可得,从而
典例讲解
变式训练
5.如图,在长方体中,,垂足为,求的长.
解析:
如图,以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.
则.
变式训练
设点的坐标为,在坐标平面内,易得直线对应的函数解析式为,因为,所以,
,所以解得
所以
所以
即的长为
变式训练
6.在棱长均为的正四棱锥中,建立恰当的空间直角坐标系
(1)写出正四棱锥的各顶点坐标;
(2)写出棱的中点的坐标
解析:
如图,连接,交于点,连接,因为为正四棱锥,且棱长均为,所以四边形为正方形,且⊥平面,所以,
变式训练
以为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系
(1)正四棱锥 的各顶点坐标分别为
(2)因为为棱的中点,所以由中点坐标公式,
得,即
素养提炼
1.建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算,一般是要使尽量多的点落在坐标轴上
2.对于长方体或正方体,一般取相邻的三条棱所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系;确定点的坐标时,最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度,即将坐标转化为与轴平行的线段长度,同时要注意坐标的符号,这也是求空间中点的坐标的关键
素养提炼
当堂练习
1.在空间直角坐标系中,下列说法正确的是( )
A.向量的坐标与点的坐标相同
B.向量的坐标与点的坐标相同
C.向量的坐标与向量的坐标相同
D.向量的坐标与向量的坐标相同
答案:
当堂练习
2.在空间直角坐标系中,已知点的坐标为,点B的坐标为,则( )
解析:
答案:
3.若,则的取值范围是( )
解析:
.答案:
当堂练习
4.已知的中点为D,则的面积为__________
解析:
,又的中点为
当堂练习
5.如图,在三棱锥中,,是的中点,且,平面⊥平面,,,
(1)求的长;(2)求 .
解析:
如图所示,以为坐标原点,分别在平面与平面内过点作直线的垂线,建立空间直角坐标系
(1)过作⊥,垂足为,过分别作⊥轴,⊥轴,垂足分别为,在中,,,,
∴
∵
∴A点坐标为,D点坐标为
∴∴
当堂练习
(2)∵
∴∴
∴,
∴
当堂练习
归纳小结
空间直角坐标系
空间向量坐标的应用
定义
画法
坐标
卦限
两点之间的距离公式
中点坐标公式
作 业
教材P25页
练习第6,7,8题