人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.1.1 《空间中向量的坐标和空间向量的运算与位置关系》名师课件（共41张PPT）

(共41张PPT)
复习引入
平面向量基本定理
如果平面内两个向量,不共线,则对该平面内的任意一个向量,存在唯一的实数对,使得
共面向量定理
如果两个向量,不共线,则向量,,共面的充要条件是,存在唯一的实数对,使
空间向量基本定理
如果空间中的三个向量,,不共面,那么对空间中的任意一个向量,存在唯一的有序实数组,使得
复习引入
人教B版同步教材名师课件
空间向量的坐标与空间直角坐标系(一)
学习目标
学 习 目 标 核心素养
1.了解空间直角坐标系 直观想象
2.理解空间向量的运算与坐标的关系 数学抽象
3.掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 数学运算
4.掌握空间向量坐标的应用 数学运算
1.了解空间向量的单位正交分解的概念,空间向量坐标的定义
2.掌握空间向量的运算与坐标的关系(重点)
3.掌握空间向量平行、垂直时坐标之间的关系(难点)
学习目标
探究新知
问题1:如图所示,已知,且是棱长为1的正方体,是一个长方体,为的中点,.
(1)设,将向量与都用表示;
一、空间中向量的坐标
(2)如果是空间中任意一个向量,怎样才能写出在基底{}下的分解式？
对于任意一个空间向量来说,只要将它的始点平移到点,然后过它的终点分别作与所在直线垂直的平面,就可以写出它在基底{}下的分解式
探究新知
一般地,如果空间向量的基底{}中,都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;
在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解.
如果,则称有序实数组为向量的坐标.
记作:,其中都称为的坐标分量.
探究新知
典例讲解
例1.已知{}是单位正交基底分别写出下列空间向量的坐标
解析:
(4)因为,所以.
变式训练
1.判断下列说法是否正确？并说明理由
(1)空间任意三个不共线的向量均可作为一组基底;
(2)基向量中可以含有零向量,但至多一个;
(3)如果向量,与空间仼何向量都不能构成一组基底,那么向量,一定是共线向量
(4)如果向量组{}是空间的一个基底,且,那么{}也是空间的一组基底
解析:
(1)错误,因为空间中三个不共面的向量才能构成一组基底.
(2)错误,基向量中一定不可以含有零向量.
(3)正确,向量a,b与空间任何向量都不能构成一组基底,说明向量a,b与空间任何向量都是共面向量,从而a,b一定是共线向量.
(4)正确,因为若a,b,m共面,则存在唯一实数对(x,y),使得m＝xa＋yb,即a＋c＝xa＋yb,所以,而a,b,c不共面,所以,这显然不成立,故a,b,m不共面,即{a,b,m}也是空间的一组基底.
变式训练
变式训练
2.已知是空间的一个基底,且,,试判断{}能否作为空间的一个基底？
分析:利用共面定理判断是否共面.
解析:假设共面,由向量共面的充要条件知存在实数,使成立
是空间的一个基底,
不共面,,
此方程组无解
即不存在实数,使成立
不共面.
故{}能作为空间的一个基底
变式训练
探究新知
问题2:若空间中两个向量,相等,那么它们的坐标分量之间有什么关系？
空间中两个向量相等,则它们的坐标分量对应相等,
即
反之成立吗？
空间中两个向量相等的充要条件是它们的坐标分量对应相等
二、空间向量的运算与坐标的关系
问题3:空间向量,的加法、数乘、数量积运算与它们对应的坐标之间有什么关系？
探究新知
类似地,可以得出,如果是两个实数,
那么
当且时,由向量数量积的定义可知
探究新知
证明：
因为
所以
探究新知
证明:
因为是单位正交基底,所以
因此
探究新知
典例讲解
例2.已知,,求下列向量的坐标:
; ;
解析:
典例讲解
例3.已知,,求
解析:
因为,
,
所以
因此
变式训练
3.已知,,求
解析:
变式训练
4.已知,则的最小值为( )
A. B. C. D.
解析:
,
,当时,有最小值
答案:A
探究新知
问题4:空间向量,平行、垂直时坐标之间有什么关系？
如果是空间向量:
(1)当时,的充要条件是存在实数λ,使得;
(2)的充要条件是.
当时,
二、空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
更进一步,当的每一个坐标分量都不为零时,有
而且
规定:0与任意空间向量平行或垂直
探究新知
典例讲解
例4.(1)已知,,且,求所要满足的关系式;
(2)已知,,求一个非零空间向量,使得⊥且⊥
解析:
(1)因为的每一个坐标分量均不为零,
因此.
(2)设,则⊥=0且⊥
空间中同时垂直于两个不共线向量的空间向量有无数个,而且这无数个向量是相互平行的
将看成已知数,求解方程组可得,.
因此
取,可得满足条件的一个非零空间向量
典例讲解
变式训练
5.已知,则与( )
A.垂直 B.不垂直也不平行
C.平行且同向 D.平行且反向
解析:∵,
∴
答案:A
6.若向量,且,则实数入的值是( )
A. B.0 C. D.1
解析:,由
得
答案:C
变式训练
7.已知
(1)若,求实数的值;
(2)若,求实数的值
解析:
∴存在实数,使
即
,解得
变式训练
(2)∵,∴,
∴,
即,解得
1.对于基底{a,b,c}
(1)a,b,c一定不共面;(2)a,b,c中一定没有零向量.
2.判断a,b,c可否作为空间的一个基底,即判断a,b,c是否共面,若不共面则可以作为基底,否则不能作为基底.
实际判断时,假设a＝λb＋μc,运用空间向量基本定理建立λ,μ的方程组,若有解则共面,否则不共面.
素养提炼
利用空间向量的坐标运算解决问题的技巧:
(1)在运算中注意相关公式的灵活运用,如等;
(2)进行空间向量的坐标运算时,可以先代入坐标再运算,也可以先进行向量的化简再代入坐标运算,如计算,既可以利用运算律把它化成,也可以求出后,再求数量积;计算,既可以求出后,求数量积,也可以把写成后计算
素养提炼
判断空间向量垂直或平行的步骤:
(1)向量化:将空间中的垂直或平行转化为向量的垂直或平行;
(2)向量关系代数化:写出向量的坐标;
(3)对于,根据
是否为0.判断两向量是否垂直;根据
或(不为0 )是否成立判断两向量是否平行
2.由空间向量垂直或平行求值,只需根据垂直或平行的条件建立方程(组)求解即可
素养提炼
当堂练习
1.以下各选项中的三个向量,不能构成空间向量的基底的是( )
当堂练习
解析:
若空间向量能构成空间向量的基底,则向量不共面,对于选项,因为,所以,
即向量共面,故选项中的三个向量不能构成空间向量的基底,选项中的三个向量均不共面,即都能构成空间向量的基底.)
答案:
当堂练习
2.已知,,则( )
解析:
由已知得,所以
答案:C
当堂练习
3.已知向量,,且,则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:
由题意得.因为,
所以,整理得,又,
所以.
答案:B
当堂练习
4.已知,且,则( )
解析:由题意知.因为,所以存在实数,使,所以解得
答案:B
当堂练习
5.已知空间中三点,设
(1)若,求;
(2)若与互相垂直,求的值
解析:
(1)因为且
所以可设,
则,
解得,即或
(2)因为,,
所以
又因为,
所以,
即
解得或
当堂练习
归纳小结
空间中向量的坐标和空间向量的运算与位置关系
空间中向量的坐标
空间向量的运算
与坐标的关系
空间向量平行、垂直
时坐标之间的关系
加法
乘法
数量积
垂直
平行
作 业
教材P25,练习,第1,2,3,4题
练习第2,3,4,5,6,7,8,9题