人教B版（2019）数学必修第三册 8_2_4三角恒等变换的应用课时精练（含答案）

8.2.4三角恒等变换的应用
一、常考题型
1．函数f(x)＝cos2，x∈R，则f(x)(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
2．已知＝，则的值为(　　)
A.　　　　B．－　　　　C.　　　　D．－
3．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A＝(　　)
A．－　　 B.
C．－ D.
4．已知tan 2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
5．已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为(　　)
A．2π， B．π，
C．2π， D．π，
6．有以下四个关于三角函数的命题：
① x0∈R，sin2＋cos2＝；② x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sin x0－sin y0；③ x∈[0，π]，＝sin x；④sin x＝cos y x＋y＝.
其中假命题的序号为________．
7．函数f(x)＝cos 2x＋4sin x的值域是________．
8．已知函数f(x)＝2cos2，g(x)＝2.
(1)求证：f＝g(x)；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π]的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．
二、易错专项
9．设a＝cos 7°＋sin 7°，b＝，c＝，则有(　　)
A．b＞a＞c　　 B．a＞b＞c
C．a＞c＞b D．c＞b＞a
10．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x，0≤x<，则f(x)的最大值是(　　)
A．1 B．2
C.＋1 D.＋2
三、难题突破
11. 如图所示，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y＝x(x≥0)交于点Q，与x轴交于点M.记∠MOP＝α，且α∈.
(1)若sin α＝，求cos∠POQ；
(2)求△OPQ面积的最大值．
参考答案
1．D
解析：原式＝
＝(1－sin 2x)
＝－sin 2x，
此函数既不是奇函数也不是偶函数．
2．B
解析：∵·＝＝＝－1
且＝，∴＝－.
3．A
解析：sin2＋cos 2A
＝＋2cos2A－1
＝＋2cos2A－1
＝－.
4．A
解析：由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2tan α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－，cos α＝，所以sin＝sin αcos－cos αsin＝－，故选A.
5．B
解析：∵f(x)＝1－cos 2x＋sin 2x
＝1＋sin，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π，
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得f(x)的单调减区间为＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
当k＝0时，得f(x)的一个单调减区间，故选B.
6．①④
解析：因为sin2＋cos2＝1≠，所以①为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，所以②为真命题；因为＝＝|sin x|＝sin x，x∈[0，π]，所以③为真命题；当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以④为假命题．
7．[－5,3]
解析：f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x＝－2(sin x－1)2＋3.
当sin x＝1时，f(x)取得最大值3，
当sin x＝－1时，f(x)取得最小值－5，
所以函数f(x)的值域为[－5,3]．
8．解：(1)证明过程如下：f(x)＝2cos2＝1＋cos x，
g(x)＝2
＝1＋2sincos
＝1＋sin x，
∵f＝1＋cos＝1＋sin x，
∴f＝g(x)，命题得证．
(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cos x－sin x
＝
＝cos，
∵x∈[0，π]，
∴≤x＋≤，
当≤x＋≤π，即0≤x≤时，h(x)递减，
当π≤x＋≤，即≤x≤π时，h(x)递增．
∴函数h(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，
根据函数h(x)的单调性，可知当x＝时，函数h(x)取到最小值．
9．A
解析：∵a＝sin 37°，b＝tan 38°，c＝sin 36°，
∴b＞a＞c.
10．B
解析：f(x)＝(1＋tan x)cos x
＝cos x＝sin x＋cos x
＝2sin.
∵0≤x<，
∴≤x＋<，
∴当x＋＝时，f(x)取到最大值2.
11. 解：(1)由题意知∠QOM＝，因为sin α＝，
且α∈，所以cos α＝，
所以cos∠POQ＝cos＝coscos α＋sinsin α＝.
(2)由三角函数定义，得P(cos α，sin α)，从而Q(cos α，cos α)，
所以S△POQ＝|cos α||cos α－sin α|
＝|cos2α－sin αcos α|
＝
＝≤＝＋.
因为α∈，
所以当α＝－时，等号成立，
所以△OPQ面积的最大值为＋.