人教B版（2019）数学必修第三册8_1_2向量数量积的概念及运算律课时精练（含答案）

8.1.2 向量数量积的概念及运算律
一、常考题型
1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于(　　)
A. B. C．1＋ D．2
2．已知单位向量a，b的夹角为，那么|a＋2b|＝(　　)
A．2 B. C．2 D．4
3．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
4．已知平面向量a，b是非零向量，|a|＝2，a⊥(a＋2b)，则向量b在向量a方向上的投影为(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
5．已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ为45°，则向量a在向量b上的投影为________．
7．若a，b均为非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________．
8．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求|b|；
(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
二、易错专项
9．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·等于(　　)
A．2 B. C. D.
10．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝________.
三、难题突破
11. 已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9.
(1)求a与b之间的夹角θ；
(2)求向量a在a＋b上的投影．
参考答案
1．B
解析：a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝.
2．B
解析：|a|＝|b|＝1，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2
＝1＋4×1×1×＋4×1＝7，∴|a＋2b|＝.
3．D
解析：∵a∥b，a⊥c，
∴b⊥c，
∴a·c＝0，b·c＝0，
c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.
4．B
解析：因为a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝|a|2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，
所以a·b＝－2，
所以向量b在向量a方向上的投影为＝＝－1.
5．C
解析：|a－2b|＝|a＋b| (a－2b)2＝(a＋b)2 a·b＝b2 cos〈a，b〉＝＝＝.
6．
解析：由已知得向量a在向量b上的投影|a|cos θ＝3×＝.
7．
解析：由题知(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即|a|2－2b·a＝|a|2－2|a||b|cos θ＝0，
|b|2－2b·a＝|b|2－2|a||b|cos θ＝0，故|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，所以|a|2－2|a||a|cos θ＝0，
故cos θ＝，因为 0≤θ≤π，故θ＝.
8．解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，
即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，
所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，
故|b|＝.
(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.
又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，所以cos θ＝＝，
又θ∈[0，π]，故θ＝.
9．D
解析：·＝||||cos∠DAC
＝||cos
＝||sin∠BAC＝||sin B
＝||sin B＝||＝.
10．5或－8
解析：因为3a＋mb＋7c＝0，
所以3a＋mb＝－7c，
所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，即9＋m2＋6ma·b＝49，
又a·b＝|a||b|cos 60°＝，
所以m2＋3m－40＝0，
解得m＝5或m＝－8.
11. 解：(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝9，即16－4a·b－3＝9，
∴a·b＝1，∴cos θ＝＝.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7，即|a＋b|＝.
设a与a＋b的夹角为α，
则向量a在a＋b上的投影为
|a|cos α＝|a|×＝
＝＝＝.