人教B版（2019）数学必修第三册8_1_3向量数量积的坐标运算课时精练（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）数学必修第三册8_1_3向量数量积的坐标运算课时精练（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 47.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 19:42:51 | ||
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文档简介
8.1.3向量数量积的坐标运算
一、常考题型
1．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为( )
A. B．－ C．1 D．－1
2．已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,0)，且(a＋c)⊥(a－b)，则m＝( )
A．3＋ B．3－
C．3± D．－3±
3．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2，1)，a＋3b＝(5，4)，则sin θ等于( )
A. B. C. D.
4．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1，2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于( )
A．(2,1) B．(1,0)
C. D．(0，－1)
5．已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，若|a＋b|＝|a－b|，则x＝________.
6．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为________．
7．如图，在2×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a＋b，a－b的夹角余弦值是________．
8．已知向量a，b满足|a|＝，b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b.
(1)求向量a的坐标；
(2)求向量a与b的夹角．
二、易错专项
9．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为( )
A．3 B．5
C．7 D．8
10. 已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上存在一点P使·有最小值，则点P的坐标是________．
三、难题突破
11．已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．
参考答案
1．D
解析：向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为：＝＝－1，故选D.
2．C
解析：∵a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,0)，
∴a＋c＝(1＋m，m)，a－b＝(－1，m－5)，
∵(a＋c)⊥(a－b)，
∴－1－m＋m(m－5)＝m2－6m－1＝0，解得：m＝3±.
3．A
解析：设b＝(x，y)，则a＋3b＝(2＋3x,1＋3y)＝(5,4)，
所以解得
即b＝(1,1)，
所以cos θ＝＝，
所以sin θ＝＝.
4．A
解析：设向量c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)，
因为(c＋b)⊥a，所以(c＋b)·a＝x＋1－(y＋2)＝x－y－1＝0，
因为(c－a)∥b，所以＝，即2x－y－3＝0.
由解得所以c＝(2,1)．
5．－1或2
解析：已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，
因为|a＋b|＝|a－b|，两边平方得到a·b＝0，
根据向量的坐标运算公式得x2－x－2＝0，解得x＝－1或2.
6．19
解析：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，
即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，得k＝19.
7．－
解析：不妨设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，
则a＝(2，－1)，b＝(3,2)，
所以a＋b＝(5,1)，a－b＝(－1，－3)，
所以(a＋b)·(a－b)＝－5－3＝－8，
|a＋b|＝，|a－b|＝，
所以向量a＋b，a－b的夹角余弦值为＝－.
8．解：(1)设a＝(x，y)，
因为|a|＝，则＝，①
又因为b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b，
2a＋b＝2(x，y)＋(1，－3)＝(2x＋1,2y－3)，
所以(2x＋1,2y－3)·(1，－3)＝2x＋1＋(2y－3)×(－3)＝0，即x－3y＋5＝0，②
由①②解得或
所以a＝(1,2)或a＝(－2,1)．
(2)设向量a与b的夹角为θ，
所以cos θ＝＝＝－或cos θ＝＝＝－，
因为0≤θ≤π，所以向量a与b的夹角θ＝.
9．B
解析：如图，以D为原点，DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x，则A(2,0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0,0)，P(0，x)(0≤x≤a)，则＋3＝(2，－x)＋3(1，a－x)＝(5,3a－4x)，
所以|＋3|＝≥5.
10. (3,0)
解析：设点P的坐标是(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，
所以·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
当x＝3时，·取得最小值，故点P的坐标为(3,0)．
11．解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴得
∴C点坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
所以·＝8＋8＝16＞0，
||＝2，||＝2.
设与夹角为θ，则
cos θ＝＝＝＞0，
∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
一、常考题型
1．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为( )
A. B．－ C．1 D．－1
2．已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,0)，且(a＋c)⊥(a－b)，则m＝( )
A．3＋ B．3－
C．3± D．－3±
3．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2，1)，a＋3b＝(5，4)，则sin θ等于( )
A. B. C. D.
4．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1，2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于( )
A．(2,1) B．(1,0)
C. D．(0，－1)
5．已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，若|a＋b|＝|a－b|，则x＝________.
6．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为________．
7．如图，在2×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a＋b，a－b的夹角余弦值是________．
8．已知向量a，b满足|a|＝，b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b.
(1)求向量a的坐标；
(2)求向量a与b的夹角．
二、易错专项
9．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为( )
A．3 B．5
C．7 D．8
10. 已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上存在一点P使·有最小值，则点P的坐标是________．
三、难题突破
11．已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．
参考答案
1．D
解析：向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为：＝＝－1，故选D.
2．C
解析：∵a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,0)，
∴a＋c＝(1＋m，m)，a－b＝(－1，m－5)，
∵(a＋c)⊥(a－b)，
∴－1－m＋m(m－5)＝m2－6m－1＝0，解得：m＝3±.
3．A
解析：设b＝(x，y)，则a＋3b＝(2＋3x,1＋3y)＝(5,4)，
所以解得
即b＝(1,1)，
所以cos θ＝＝，
所以sin θ＝＝.
4．A
解析：设向量c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)，
因为(c＋b)⊥a，所以(c＋b)·a＝x＋1－(y＋2)＝x－y－1＝0，
因为(c－a)∥b，所以＝，即2x－y－3＝0.
由解得所以c＝(2,1)．
5．－1或2
解析：已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，
因为|a＋b|＝|a－b|，两边平方得到a·b＝0，
根据向量的坐标运算公式得x2－x－2＝0，解得x＝－1或2.
6．19
解析：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，
即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，得k＝19.
7．－
解析：不妨设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，
则a＝(2，－1)，b＝(3,2)，
所以a＋b＝(5,1)，a－b＝(－1，－3)，
所以(a＋b)·(a－b)＝－5－3＝－8，
|a＋b|＝，|a－b|＝，
所以向量a＋b，a－b的夹角余弦值为＝－.
8．解：(1)设a＝(x，y)，
因为|a|＝，则＝，①
又因为b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b，
2a＋b＝2(x，y)＋(1，－3)＝(2x＋1,2y－3)，
所以(2x＋1,2y－3)·(1，－3)＝2x＋1＋(2y－3)×(－3)＝0，即x－3y＋5＝0，②
由①②解得或
所以a＝(1,2)或a＝(－2,1)．
(2)设向量a与b的夹角为θ，
所以cos θ＝＝＝－或cos θ＝＝＝－，
因为0≤θ≤π，所以向量a与b的夹角θ＝.
9．B
解析：如图，以D为原点，DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x，则A(2,0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0,0)，P(0，x)(0≤x≤a)，则＋3＝(2，－x)＋3(1，a－x)＝(5,3a－4x)，
所以|＋3|＝≥5.
10. (3,0)
解析：设点P的坐标是(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，
所以·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
当x＝3时，·取得最小值，故点P的坐标为(3,0)．
11．解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴得
∴C点坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
所以·＝8＋8＝16＞0，
||＝2，||＝2.
设与夹角为θ，则
cos θ＝＝＝＞0，
∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.