人教B版（2019）数学必修第三册期末复习：三角恒等变换(1)课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
三角恒等变换(1)
考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、余弦、正切公式． 3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式． 2.简单的三角恒等变换． 1.逻辑推理．
2.数学运算．
3.数据分析．
课前自测
(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　)
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　　)
(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝ .(　　)
(4)公式tan(α＋β)＝ 可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)
√
×
×
×
√
A．sin ＝sin cos ＋ cos
B．cos ＝sin sin －coscos
C．cos ＝cos cos ＋sin sin
D．cos ＝cos －cos
2．(多选)下面各式中，正确的是( 　　)
sin ＝sin cos ＋cos ·sin ＝sin cos ＋cos
√
cos ＝－cos ＝－cos＝sin sin －cos cos
√
cos ＝cos＝cos cos ＋sin ·sin
√
cos ＝cos ≠cos －cos
×
ABC
3．已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
2tan θ－tan ＝7
2tan θ－ ＝7
tan θ＝2
D
4．若sin x＝－，则cos 2x＝____________．
cos 2x＝1－2sin2x
sin x＝－
cos 2x＝1－2× ＝
5．(易错题)若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin ＝________．　
所以sin ＝－ × ＋ × ＝－ .
α是第三象限角
sin α＝－
cos α＝－
sin α＝－
－
考点梳理
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
tan(α±β)＝ (α±β, α, β均不为).
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；
cos(α β)＝cosαcosβ±sinαsinβ；
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
tan 2α＝ (α, 2α均不为).
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
3．三角函数公式的关系
令=
以
利用
利用
利用
令=
以代
两式相除
两式相除
两式相除
令=
以代
常用结论
asin x＋bcos x＝ sin (x＋φ)，其中tan φ＝ .
四个必备结论
(1)降幂公式：cos2α＝ ，sin2α＝ .
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
sin α±cos α＝ sin.
(3) tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)，
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
(4)辅助角公式
常见误区
(1)明确二倍角是相对的，如： 是的2倍，3α是的2倍．
(2)解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
(3)运用公式时要注意公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变形．
(4)在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一．
!
典例剖析
考点
1
和差公式的直接应用
1．已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)
A. B. C. D.
3cos 2α－8cos α＝5
3(2cos2α－1)－8cos α＝5
3cos2α－4cos α－4＝0
cos α＝2(舍去)或cos α＝－
α∈(0，π)
sin α＝＝
A
2．已知sin α＝ ，α∈ ，tan(π－β)＝ ，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－ B. C. D．－
则tan(α－β)＝ ＝－ .
因为sin α＝ ，α∈ ，
所以cos α＝－ ＝－ ，
所以tan α＝ ＝－ .
因为tan(π－β)＝ ＝－tan β，
所以tan β＝－，
A
3．已知α∈，sin α＝ .
(1)求sin 的值；
故sin ＝sin cos α＋cos sin α
因为α∈，sin α＝ ，
所以cos α＝－＝－ ，
＝ × ＋ ×
＝－ .
(2)求cos 的值．
sin 2α＝2sin αcos α
＝2× × ＝－
cos 2α＝1－2sin2α
＝1－2×＝
cos＝cos cos 2α＋sin sin 2α
＝ × ＋ ×
＝－
方法总结
使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反．”
三角函数公式的应用策略
1
2
使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．　
考点
2
三角函数公式的逆用与变形应用
[例1] (1)(多选)下列各式中，值为的是(　　)
D.
C．cos 42°sin 78°＋sin 42°cos 78°
B．cos2 －sin2
A.
cos2 －sin2
BC
(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)
A．－ B. C. D．－
B
tan Atan B＝tan A＋tan B＋1
＝－1
tan(A＋B)＝－1
(A＋B)∈(0，π)
A＋B＝
C＝
cos C＝
方法总结
②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．
(1)三角函数公式活用技巧
①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
跟踪训练
1．已知sin θ＋sin ＝1，则sin ＝(　　)
A. B. C. D.
sin θ＋sin ＝ sin θ＋ cos θ
sin ＝
B
＝ sin
＝1
2．sin2 ＋sin2 －sin2α＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
＝ .
原式＝ ＋ －sin2α
＝1－ ·[cos＋cos]－sin2α
＝1－cos 2αcos －sin2α
＝1－ －
C
考点
3
三角公式的灵活运用
角度一　三角函数公式中变“角”
[例2] (1)(多选)若tan ＝2，则(　　)
A．tan α＝ B．tan α＝
C．tan 2α＝ D．tan 2α＝
tan α＝ tan
＝
tan 2α＝
＝
BD
(2) 已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝ ，sin(α－β)＝ ，则cos 2α＝________．
则cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
因为α，β都是锐角，所以0<α＋β<π，－<α－β< ，
又因为cos(α＋β)＝ ，sin(α－β)＝ ，
所以sin(α＋β)＝ ，cos(α－β)＝ ，
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝ × － ×
＝－ .
－
方法总结
＝ － 等．
(1)三角公式求值中变角的解题思路
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2)常见的配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，
α＝(α＋β)－β，
β＝ － ，
α＝ ＋ ，
角度二　三角函数公式中变“名”
[例3] 求值： .
原式
方法总结
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．　
三角函数名的变换技巧
跟踪训练
1．求4sin 20°＋tan 20°的值为________．
4sin 20°＋tan 20° 4sin 20° ＋
2．已知sin α＝－ ，α∈ ，若＝2，则tan(α＋β)＝________．
所以tan(α＋β)＝ .
因为sin α＝－ ，α∈ ，所以cos α＝ .
又因为＝2，
所以sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．
展开并整理，得cos(α＋β)＝ sin(α＋β)，
随堂训练
1．若α，β都是锐角，且cos α＝ ，sin(α＋β)＝ ，则cos β＝(　　)
A. B.
C. 或 D. 或
A
cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝ .
因为α，β都是锐角，且cos α＝ < ，
所以<α< ，sin α＝ ＝ ，
又sin(α＋β)＝ < ，
所以<α＋β<π，所以cos(α＋β)＝ ＝－ .
2．已知sin ＝ ，α∈ ，则cos 的值为________．
cos α＝
α∈
sin α＝－
cos ＝ cos α＋ sin α＝－
－
3．已知sin α＋cos α＝ ，则cos 4α＝________．
sin α＋cos α＝
sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝
sin 2α＝
cos 4α＝1－2sin22α＝1－2× ＝
4．若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝________，tan α＝________．
＝
因为tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，
所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)
＝
＝
＝－1.
tan α＝tan(α＋β－β)
＝
＝ .
－1
5．已知α∈ ，tan α＝ ，求tan 2α和sin 的值．
且＝ ，即cos α＝2sin α.
＝ × － ×
因为tan α＝ ，
所以tan 2α＝ ＝ ＝ .
又sin2α＋cos2α＝1，所以5sin2α＝1.
又α∈ ，所以sin α＝ ，cos α＝ .
所以sin ＝sin αcos －cos αsin
＝－ .