人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 《1.2空间中两条直线所成的角、异面直线与空间向量》教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 《1.2空间中两条直线所成的角、异面直线与空间向量》教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 655.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 22:28:14 | ||
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文档简介
《空间中两条直线所成的角、异面直线与空间向量》教学设计
教学设计
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
复习引入 1.空间中两条相交直线所成角的大小如何求？2.空间中两条异面直线所成角的大小如何定义？ 教师提出问题学生思考，并给出回答.1.空间中两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小.2.两条异面直线a，b所成角的大小，等于两条相交直线，所成角的大小，其中，且. 通过复习引入，引发学生对空间中两条直线所成的角的大小的回顾，为本节内容的学习打基础.
形成概念1 问题1:设分别是空间中直线的方向向量,且与所成角的大小为,通过作图讨论与的关系.问题如果用它们的正弦值或者余弦值来表示它们的关系,它们的关系是怎样的 问题3:当两条直线互相垂直时,方向向量夹角如何 问题4:如何根据直线与直线所成的角与它们的方向向量的夹角之间的关系,证明我们在必修部分中归纳出的线面垂直的判定定理 例1 已知是平面内的两条相交直线,直线满足,求证:.证明 设是内的任意一条直线,且分别为直线的方向向量,如图所示,则根据已知有.因为与相交,所以不共线,又因为共面,所以由共面向量定理可知,存在唯一的实数对,使,因此.从而可知,所以.因为直线垂直于平面内的任意一条直线,所以. 教师提出问题1,让学生思考讨论,给出回答,教师点评.学生:如图(1)(2)所示,可以看出或.教师接着提问问题2,学生思考交流并给出回答.学生:，.教师提出问题3,找学生口答即可.教师给出问题4,并给出证明的相关条件.学生思考讨论,并上台演示. 通过问题设置，培养学生合作交流、分析问题的能力，探究并掌握两条直线所成的角与它们方向向量所成角的关系.体会用向量方法证明几何问题的便利性，渗透数形结合思想.
例题解析1 例2 如图所示,在三棱锥中,两两互相垂直,为的中点,且,求直线与所成角的大小.解 (方法一)根据已知可得,不共面,且，.又因为.所以.类似地，..所以.因此,即直线与所成角的大小为.(方法二)因为两两互相垂直,所以能以为原点,的方向分别为轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系.则由可知，，所以,2),因此.从而,即直线与所成角的大小为.(方法三)如图,设的中点为,连接,由分别为中点可知为的中位线,从而,因此直线与所成角的大小等于直线与所成角的大小.又易知,而且，两两互相垂直,因此.所以是等边三角形,从而.因此,直线与所成角的大小为. 教师展示例题，并将全班分成三组，第一组要求根据有关几何条件直接构造出相应的角求解，第二组要求利用合适的基底来完成，第三组要求建立空间直角坐标系来求解，完成后每组派一个代表上台展示.在完成三种方法的解题后，教师让学生总结这三种解法各自的特点方法的优劣以及各自的一般步骤，让学生在进行比较的过程中了解这三种方法各自的特点，丰富解题的思路. 一题多解可以培养学生的发散思维，提高学生分析问题的能力，提升学生数学运算、逻辑推理等核心素养.
形成概念2 问题5:设分别是空间中直线的方向向量.（1）如果与异面,那么与可能平行吗 （2）如果与不平行,那么与一定异面吗 问题6:如果,则“,不共面”与“与异面”有什么关系 教师展示问题5,让学生思考讨论,给出回答.学生:显然,如果与异面,则与是不可能平行的;反之,如果与不平行,则与可能异面,也可能相交.这就是说, “与不平行”是“与异面”的必要不充分条件.教师:因为与不平行不是与异面的充要条件,可以添加适当条件找到和异面时和的关系.教师紧接着提出问题6,学生思考讨论,并给出回答.学生:更进一步,如图(1)(2)所示,如果:则与异面时,可知是不共面的;反之,如果不共面,则与是异面的.也就是说,此时, “不共面”是“与异面”的充要条件.
例题解析2 例3在正方体中,判断满足下列条件的点是否存在:.解 以为原点,的方向分别为轴、轴、轴正方向,正方体的棱长为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系,则，，所以,.假设满足条件的存在,而且..则.因为,所以.从而解得.因此，满足条件的M，N是存在的.问题7：空间中任意两条异面直线的公垂线段一定都存在吗？若存在有几条？ 教师出示例题,学生自主完成,并上台进行演示,教师给予积极的评价并进行讲解.讲解完后教师总结公垂线段的概念：一般地,如果与是空间中两条异面直线,,则称为与的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的距离.教师接着提出问题7.学生思考并回答：存在并且唯一. 通过例题，帮助学生巩固本节所学的基础知识，同时反映学生掌握的情况.
归纳总结 1.空间中两条直线夹角与其方向向量的关系.2.异面直线与其方向向量的关系.3.公垂线段的概念. 学生小组讨论，归纳这节课所学知识. 归纳小结，帮助学生形成系统的知识结构.
课后作业 教材第36页练习A组第3题，B组第3，4题. 教师布置作业，学生按时完成练习. 巩固知识，增强学生的求知欲.
板书设计
第2课时 空间中两条直线所成的角、异面直线与空间向量一、复习引入二、形成概念1.空间中两直线所成角与其方向向量的关系如图(1)(2)所示,可以看出或.2.异面直线与其方向向量的关系如图(1)(2)所示,如果:则与异面时,可知是不共面的;反之,如果不共面,则与是异面的.也就是说,此时, “不共面”是“与异面”的充要条件3.公垂线段的概念一般地,如果与是空间中两条异面直线,,则称为与的公垂线段.两条异面直线的公垂线段MN的长称为这两条异面直线之间的距离三、例题解析例1例2例3四、归纳总结
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教学设计
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
复习引入 1.空间中两条相交直线所成角的大小如何求？2.空间中两条异面直线所成角的大小如何定义？ 教师提出问题学生思考，并给出回答.1.空间中两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小.2.两条异面直线a，b所成角的大小，等于两条相交直线，所成角的大小，其中，且. 通过复习引入，引发学生对空间中两条直线所成的角的大小的回顾，为本节内容的学习打基础.
形成概念1 问题1:设分别是空间中直线的方向向量,且与所成角的大小为,通过作图讨论与的关系.问题如果用它们的正弦值或者余弦值来表示它们的关系,它们的关系是怎样的 问题3:当两条直线互相垂直时,方向向量夹角如何 问题4:如何根据直线与直线所成的角与它们的方向向量的夹角之间的关系,证明我们在必修部分中归纳出的线面垂直的判定定理 例1 已知是平面内的两条相交直线,直线满足,求证:.证明 设是内的任意一条直线,且分别为直线的方向向量,如图所示,则根据已知有.因为与相交,所以不共线,又因为共面,所以由共面向量定理可知,存在唯一的实数对,使,因此.从而可知,所以.因为直线垂直于平面内的任意一条直线,所以. 教师提出问题1,让学生思考讨论,给出回答,教师点评.学生:如图(1)(2)所示,可以看出或.教师接着提问问题2,学生思考交流并给出回答.学生:，.教师提出问题3,找学生口答即可.教师给出问题4,并给出证明的相关条件.学生思考讨论,并上台演示. 通过问题设置，培养学生合作交流、分析问题的能力，探究并掌握两条直线所成的角与它们方向向量所成角的关系.体会用向量方法证明几何问题的便利性，渗透数形结合思想.
例题解析1 例2 如图所示,在三棱锥中,两两互相垂直,为的中点,且,求直线与所成角的大小.解 (方法一)根据已知可得,不共面,且，.又因为.所以.类似地，..所以.因此,即直线与所成角的大小为.(方法二)因为两两互相垂直,所以能以为原点,的方向分别为轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系.则由可知，，所以,2),因此.从而,即直线与所成角的大小为.(方法三)如图,设的中点为,连接,由分别为中点可知为的中位线,从而,因此直线与所成角的大小等于直线与所成角的大小.又易知,而且，两两互相垂直,因此.所以是等边三角形,从而.因此,直线与所成角的大小为. 教师展示例题，并将全班分成三组，第一组要求根据有关几何条件直接构造出相应的角求解，第二组要求利用合适的基底来完成，第三组要求建立空间直角坐标系来求解，完成后每组派一个代表上台展示.在完成三种方法的解题后，教师让学生总结这三种解法各自的特点方法的优劣以及各自的一般步骤，让学生在进行比较的过程中了解这三种方法各自的特点，丰富解题的思路. 一题多解可以培养学生的发散思维，提高学生分析问题的能力，提升学生数学运算、逻辑推理等核心素养.
形成概念2 问题5:设分别是空间中直线的方向向量.（1）如果与异面,那么与可能平行吗 （2）如果与不平行,那么与一定异面吗 问题6:如果,则“,不共面”与“与异面”有什么关系 教师展示问题5,让学生思考讨论,给出回答.学生:显然,如果与异面,则与是不可能平行的;反之,如果与不平行,则与可能异面,也可能相交.这就是说, “与不平行”是“与异面”的必要不充分条件.教师:因为与不平行不是与异面的充要条件,可以添加适当条件找到和异面时和的关系.教师紧接着提出问题6,学生思考讨论,并给出回答.学生:更进一步,如图(1)(2)所示,如果:则与异面时,可知是不共面的;反之,如果不共面,则与是异面的.也就是说,此时, “不共面”是“与异面”的充要条件.
例题解析2 例3在正方体中,判断满足下列条件的点是否存在:.解 以为原点,的方向分别为轴、轴、轴正方向,正方体的棱长为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系,则，，所以,.假设满足条件的存在,而且..则.因为,所以.从而解得.因此，满足条件的M，N是存在的.问题7：空间中任意两条异面直线的公垂线段一定都存在吗？若存在有几条？ 教师出示例题,学生自主完成,并上台进行演示,教师给予积极的评价并进行讲解.讲解完后教师总结公垂线段的概念：一般地,如果与是空间中两条异面直线,,则称为与的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的距离.教师接着提出问题7.学生思考并回答：存在并且唯一. 通过例题，帮助学生巩固本节所学的基础知识，同时反映学生掌握的情况.
归纳总结 1.空间中两条直线夹角与其方向向量的关系.2.异面直线与其方向向量的关系.3.公垂线段的概念. 学生小组讨论，归纳这节课所学知识. 归纳小结，帮助学生形成系统的知识结构.
课后作业 教材第36页练习A组第3题，B组第3，4题. 教师布置作业，学生按时完成练习. 巩固知识，增强学生的求知欲.
板书设计
第2课时 空间中两条直线所成的角、异面直线与空间向量一、复习引入二、形成概念1.空间中两直线所成角与其方向向量的关系如图(1)(2)所示,可以看出或.2.异面直线与其方向向量的关系如图(1)(2)所示,如果:则与异面时,可知是不共面的;反之,如果不共面,则与是异面的.也就是说,此时, “不共面”是“与异面”的充要条件3.公垂线段的概念一般地,如果与是空间中两条异面直线,,则称为与的公垂线段.两条异面直线的公垂线段MN的长称为这两条异面直线之间的距离三、例题解析例1例2例3四、归纳总结
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