《空间中的点、直线与空间向量》高考通关练
一、单项选择题
1.(2020·天津和平区期末)已知向量分别是直线,的方向向量,若,则( )
A.
B.
C.
D.
2.(2020·沈阳一中月考) 如图,正方体中,分别在上,且,,则( )
A.至多与之一垂直
B.与都垂直
C.与相交
D.与异面
3．(2020·河南一中月考)已知直三棱柱中,
,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
4.在正方体中,若为的中点,则下列直线与垂直的是( )
A.
B.
C.
D.
5.(全国Ⅱ高考)直三棱柱中,分别是,的中点, ,则与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
6.(2020·北京159中月考)已知直线过点,且是直线的方向向量,则________,_________.
7．(2020·泰安四中月考)直线与不重合,直线的方向向量为,直线的方向向量为,则直线与的位置关系是________.
8．已知点为线段上一点,且,则点的坐标为_________.
9. (2020·辽宁辽阳高三期末)正三棱锥的侧棱两两垂直,分别为棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为_______.
三、解答题
10.(2020·荣成第三中学月考)如图,在五面体中,
,平面平面.求异面直线与所成角的余弦值.
参考答案
1.
答案：D
解析：由题意可知,所以,所以.
2.
答案：B
解析：以为坐标原点,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为3,则,所以所以,所以.故选B.
3.
答案：C
解析：如图,以点为坐标原点,过点且与垂直的直线为轴,直线为轴,直线为轴,建立空间直角坐标系.
,所以设异面直线与所成的角为,则,故选C.
4.
答案：B
解析：如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则
,所以.因为,所以
5.
答案：C
解析：建立如图所示的空间直角坐标系
设,则
所以,,故与所成角的余弦值.
6.
答案：，
解析：因为,所以,所以.
7.
答案：垂直
解析：因为,所以,所以.
8.
答案：
解析：设,由题意得,解得,所以点的坐标为.
9.
答案：
解析: 设,以为坐标原点,分别为轴,轴,轴的正方向,建立如图所示
的空间直角坐标系,则,所以,则.从而异面直线与所成角的余弦值为.
10.
答案：见解析
解析：如图,连接,因为,所以四边形为菱形.
因为,所以△DEF为正三角形.取的中点,连接,则,所以.因为平面平面, 平面，平面平面,所以平面.因为,所以两两互相垂直.以为坐标原点,的方向分别为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图.
因为,所以),所以.
设异面直线与所成角为,
则.
1 / 7《空间中的点、直线与空间向量》学考达标练
一、单项选择题
1．(2020·聊城一中月考)直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2．若，则直线与平面的位置关系是( )
A.相交
B.平行
C.在平面内
D.平行或在平面内
3．(2020·丹东四中期中)已知直线的方向向量，直线的方向向量,且⊥,则 ( )
A.
B.1
C.0
D.无法确定
4.(2020·河南新乡高二期末)长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，分别是四边形和正方形的中心，则向量与的夹角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
5．(2020·天津六校高二期中)长方体中,，则异面直线与所成角的余弦值为______.
6．(2020·平邑县一中月考)设点在点,确定的平面上，则______.
6.
三、解答题
7.(2020·交大附中检测)如图，在该几何体中，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,是线段EF的中点.求证：平面.
参考答案
1.
答案：B
解析：因为，所以，则，所以=2.
2.
答案：D
解析：因为,所以共面,则与平面的位置关系是平行或在平面内.
3.
答案：A
解析：因为，所以所以,即.
4.
答案：B
解析：以分别为轴,轴,轴的正方向建立空问直角坐标系，则,,则,所以.
5.
答案：
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则
,所以.设向量，的夹角为，则，即异面直线与所成角的余弦值为.
答案：16
解析：由题意得.因为四点共面，所以可设，则，所以，解得.
7.
答案：见解析
解析：因为平面平面，，所以平面.
设,连接.以为坐标原点，的方向分别为轴,轴,轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则点的坐标分别是.所以.
又点的坐标分别是,所以,所以=.又,所以.又因为平面,平面,所以平面.
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