人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 《1.2空间中的平面与空间向量》教学设计二
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 《1.2空间中的平面与空间向量》教学设计二 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 512.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 22:44:50 | ||
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文档简介
《空间中的平面与空间向量》教学设计二
教学设计
一、课前15分钟
【教学内容1】
1.思考:平面的法向量有何作用 是否唯一
（提示:确定平面的位置关系,不唯一）
2.平面的法向量有哪些性质
(提示:①如果直线垂直平面,则直线的任意一个方向向量都是平面的一个法向量;
②如果是平面的一个法向量,则对任意的实数,空间向量也是平面的一个法向量,而且平面的任意两个法向量都平行;
③如果为平面的一个法向量,为平面上一个已知的点,则对于平面上任意一点,向量一定与向量垂直,即,从而可知平面的位置可由和唯一确定.)
3.如何利用向量来判定直线与平面、平面与平面垂直
(提示:
4.如何利用向量来判定直线与平面、平面与平面平行
（提示:,或,或与重合.)
5.三垂线定理的含义是什么
(提示:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.)
6.三垂线定理的逆定理又是什么
(提示:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.)
【师生活动】师出示问题,检查、评价学生自学成果,解读学习目标.
生阅读、回答问题,交流后根据参考答案进行修改、订正.
设计意图:学生自主预习,通过提纲明确本节课内容重点.
二、承接结果
【教学内容2】
思考:如果给定一个平面,如何求它的法向量呢
(提示:如果是平面内不共线的三点,非零空间向量满足,则是平面的一个法向量.)
【师生活动】师:结合学生预习成果,引导学生学会求平面的法向量的方法.
参考引导问题如下:
1.对于平面内任意不共线的三点,则平面内的任意一个向量与有何关系
2.若是平面的一个法向量,则与有何关系
3.若非零空间向量满足,则是平面的一个法向量吗
生根据线面垂直判定定理,从向量角度思考问题,得出求一个平面法向量的方法.
师生共同总结求给定平面的一个法向量的方法和步骤;
第一步:在已知平面内任找两个不共线的向量
第二步:在空间中确定一个非零向量,满足,.
即通过设未知数解方程组,即可求得平面的一个法向量.
设计意图:通过探索求平面的一个法向量的方法,揭示法向量的本质,即一条与平面垂直的直线的一个方向向量,突破重点,提升学生的直观想象与逻辑推理核心素养.
【教学内容3】
例1如图所示,已知空间直角坐标系中的三棱锥中,,其中,求平面的一个法向量.
解 由已知可得
，
.
设平面的一个法向量为,则
将看成常数,可解得.
令,则.因此为平面的一个法向量.
【师生活动】师利用多媒体展示例1,请位中等生板演,并巡视课堂,对学困生进行指导、点拨.
生板演,其他同学在练习本上完成,并对板演过程进行补充.
教师先对板演情况进行点评,规范答题格式,然后师生共同总结用坐标法(代数法)求法向量的步骤:
（1）设法向量;
（2）在已知平面内找两个不共线的向量,;
（3）建立方程组
（4）解方程组：先用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量.
教师要引导学生注意：方程组有无数多组解,只需给中一个变量赋一个特值,即可确定平面的一个法向量,注意.
设计意图:学生经历、体会坐标法求平面的一个法向量的过程,突破学习重点,提升学生的数学建模核心素养.
【教学内容4】
例2 已知正方体中,分别是与的中点.求证:面.
证明 以为原点,的方向分别为轴、y轴、z轴正方向,正方体的棱长为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系.
则,又因为是的中点,所以的坐标为,即,类似地,可得.因此.
又因为面,所以是平面的一个法向量,而且,因此
，即,由图可知不在平面内,因此面.
【师生活动】师:引导学生审题,请学生提出解决问题的思路.
生几何法,通过添加辅助线,利用线面平行判定定理证明.
生2:代数法,通过建系,转化为证明平面的法向量与直线的方向向量垂直即可.
师请以上两位同学用各自不同的方法进行板演.教师巡视课堂,对学困生进行指导、点拨.
生板演,其他同学在练习本上独立完成.
教师对学生的解答情况进行点评,师生共同分析两种方法的利弊.
设计意图:经历利用向量法证明线面平行的过程,积累基本的解题经验,提升数学运算核心素养.
【教学内容5】
例3 如图所示,已知是一个正方体,求证:.
证明连接.
因为是正方体,所以面,因此在平面内的射影为.
又因为是正方形,所以,因此根据三垂线定理可知.
例4 如图所示的三棱锥中,,且为的边上的高,求证:.
证明 因为,所以面.
因此在平面内的射影为,又因为,所以根据三垂线定理的逆定理可知.
【师生活动】生独立完成例3、例4.
师生结合例3、例4的解题过程,明确三垂线定理及其逆定理揭示的是平面内直线与平面的斜线,及斜线在平面内的投影三者之间的垂直关系.
设计意图:加深理解三垂线定理及其逆定理,提升学生的逻辑推理核心素养.
三、小结升华
【教学内容6】
1.本节课学习的主要知识是什么
2.怎样求一个平面的法向量？
3.三垂线定理及其逆定理的内容分别是什么？
【师生活动】师提出问题，适时点拨.
生回顾知识，回答问题.
设计意图：培养学生归纳总结习惯，强化知识及方法.
板书设计
1.2.2空间中的平面与空间向量1.平面的法向量的性质①如果直线垂直平面,则直线的任意一个方向向量都是平面的一个法向量;②如果是平面的一个法向量,则对任意的实数,空间向量也是平面的一个法向量,而且平面的任意两个法向量都平行;③如果为平面的一个法向量,为平面上一个已知的点,则对于平面上任意一点,向量一定与向量垂直,即,从而可知平面的位置可由和唯一确定2.利用向量来判定直线与平面、平面与平面垂直3.利用向量来判定直线与平面、平面与平面平行,或,或与重合4.三垂线定理如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直5.三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直6.如果给定一个平面,求它的法向量:如果是平面内不共线的三点,非零空间向量满足,则是平面的一个法向量例1例2例3例4
教学研讨
本案例在设计上注重学生的自学能力的培养，问题设计合理，基本上体现了“学生为主体”的思想，把学习的主动权还给学生，让学生自主经历发现问题、研究问题、解决问题的学习过程，使数学课堂生动起来.
三垂线定理及其逆定理的内容比较简单，但应用性却很强，作为判定线线垂直的一种方法，建议结合已学过的判定线线垂直的其他方法对比学习，补充、完善几何法证明线线垂直的知识体系.
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教学设计
一、课前15分钟
【教学内容1】
1.思考:平面的法向量有何作用 是否唯一
（提示:确定平面的位置关系,不唯一）
2.平面的法向量有哪些性质
(提示:①如果直线垂直平面,则直线的任意一个方向向量都是平面的一个法向量;
②如果是平面的一个法向量,则对任意的实数,空间向量也是平面的一个法向量,而且平面的任意两个法向量都平行;
③如果为平面的一个法向量,为平面上一个已知的点,则对于平面上任意一点,向量一定与向量垂直,即,从而可知平面的位置可由和唯一确定.)
3.如何利用向量来判定直线与平面、平面与平面垂直
(提示:
4.如何利用向量来判定直线与平面、平面与平面平行
（提示:,或,或与重合.)
5.三垂线定理的含义是什么
(提示:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.)
6.三垂线定理的逆定理又是什么
(提示:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.)
【师生活动】师出示问题,检查、评价学生自学成果,解读学习目标.
生阅读、回答问题,交流后根据参考答案进行修改、订正.
设计意图:学生自主预习,通过提纲明确本节课内容重点.
二、承接结果
【教学内容2】
思考:如果给定一个平面,如何求它的法向量呢
(提示:如果是平面内不共线的三点,非零空间向量满足,则是平面的一个法向量.)
【师生活动】师:结合学生预习成果,引导学生学会求平面的法向量的方法.
参考引导问题如下:
1.对于平面内任意不共线的三点,则平面内的任意一个向量与有何关系
2.若是平面的一个法向量,则与有何关系
3.若非零空间向量满足,则是平面的一个法向量吗
生根据线面垂直判定定理,从向量角度思考问题,得出求一个平面法向量的方法.
师生共同总结求给定平面的一个法向量的方法和步骤;
第一步:在已知平面内任找两个不共线的向量
第二步:在空间中确定一个非零向量,满足,.
即通过设未知数解方程组,即可求得平面的一个法向量.
设计意图:通过探索求平面的一个法向量的方法,揭示法向量的本质,即一条与平面垂直的直线的一个方向向量,突破重点,提升学生的直观想象与逻辑推理核心素养.
【教学内容3】
例1如图所示,已知空间直角坐标系中的三棱锥中,,其中,求平面的一个法向量.
解 由已知可得
，
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设平面的一个法向量为,则
将看成常数,可解得.
令,则.因此为平面的一个法向量.
【师生活动】师利用多媒体展示例1,请位中等生板演,并巡视课堂,对学困生进行指导、点拨.
生板演,其他同学在练习本上完成,并对板演过程进行补充.
教师先对板演情况进行点评,规范答题格式,然后师生共同总结用坐标法(代数法)求法向量的步骤:
（1）设法向量;
（2）在已知平面内找两个不共线的向量,;
（3）建立方程组
（4）解方程组：先用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量.
教师要引导学生注意：方程组有无数多组解,只需给中一个变量赋一个特值,即可确定平面的一个法向量,注意.
设计意图:学生经历、体会坐标法求平面的一个法向量的过程,突破学习重点,提升学生的数学建模核心素养.
【教学内容4】
例2 已知正方体中,分别是与的中点.求证:面.
证明 以为原点,的方向分别为轴、y轴、z轴正方向,正方体的棱长为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系.
则,又因为是的中点,所以的坐标为,即,类似地,可得.因此.
又因为面,所以是平面的一个法向量,而且,因此
，即,由图可知不在平面内,因此面.
【师生活动】师:引导学生审题,请学生提出解决问题的思路.
生几何法,通过添加辅助线,利用线面平行判定定理证明.
生2:代数法,通过建系,转化为证明平面的法向量与直线的方向向量垂直即可.
师请以上两位同学用各自不同的方法进行板演.教师巡视课堂,对学困生进行指导、点拨.
生板演,其他同学在练习本上独立完成.
教师对学生的解答情况进行点评,师生共同分析两种方法的利弊.
设计意图:经历利用向量法证明线面平行的过程,积累基本的解题经验,提升数学运算核心素养.
【教学内容5】
例3 如图所示,已知是一个正方体,求证:.
证明连接.
因为是正方体,所以面,因此在平面内的射影为.
又因为是正方形,所以,因此根据三垂线定理可知.
例4 如图所示的三棱锥中,,且为的边上的高,求证:.
证明 因为,所以面.
因此在平面内的射影为,又因为,所以根据三垂线定理的逆定理可知.
【师生活动】生独立完成例3、例4.
师生结合例3、例4的解题过程,明确三垂线定理及其逆定理揭示的是平面内直线与平面的斜线,及斜线在平面内的投影三者之间的垂直关系.
设计意图:加深理解三垂线定理及其逆定理,提升学生的逻辑推理核心素养.
三、小结升华
【教学内容6】
1.本节课学习的主要知识是什么
2.怎样求一个平面的法向量？
3.三垂线定理及其逆定理的内容分别是什么？
【师生活动】师提出问题，适时点拨.
生回顾知识，回答问题.
设计意图：培养学生归纳总结习惯，强化知识及方法.
板书设计
1.2.2空间中的平面与空间向量1.平面的法向量的性质①如果直线垂直平面,则直线的任意一个方向向量都是平面的一个法向量;②如果是平面的一个法向量,则对任意的实数,空间向量也是平面的一个法向量,而且平面的任意两个法向量都平行;③如果为平面的一个法向量,为平面上一个已知的点,则对于平面上任意一点,向量一定与向量垂直,即,从而可知平面的位置可由和唯一确定2.利用向量来判定直线与平面、平面与平面垂直3.利用向量来判定直线与平面、平面与平面平行,或,或与重合4.三垂线定理如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直5.三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直6.如果给定一个平面,求它的法向量:如果是平面内不共线的三点,非零空间向量满足,则是平面的一个法向量例1例2例3例4
教学研讨
本案例在设计上注重学生的自学能力的培养，问题设计合理，基本上体现了“学生为主体”的思想，把学习的主动权还给学生，让学生自主经历发现问题、研究问题、解决问题的学习过程，使数学课堂生动起来.
三垂线定理及其逆定理的内容比较简单，但应用性却很强，作为判定线线垂直的一种方法，建议结合已学过的判定线线垂直的其他方法对比学习，补充、完善几何法证明线线垂直的知识体系.
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