四川省德阳市成师德高2022-2023学年高三上学期期中考试理科数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 四川省德阳市成师德高2022-2023学年高三上学期期中考试理科数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 148.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 22:26:15 | ||
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文档简介
成师德高2022-2023学年高三上学期期中考试
理科数学总分: 150分
一 单选题（5分*12）
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若复数 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. D.
5. 设 ，则 的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
7. 已知变量 ， 之间的线性回归方程为 ，且变量 ， 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ）
A.变量 ， 之间呈负相关关系
B.可以预测，当 时，
C.
D.该回归直线必过点
8. 函数 在 上的图象大致是（ ）
A. B.C. D.
9. 一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（ ）
A. B. C. D.
10. 函数 的图象恒过定点 ，若点 在双曲线 上，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
11. 世界人口在过去 年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（ ）
(参考数据 ， )
A. B. C. D.
12. 已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ， 和 是函数 的极值点，则 （ ）
A. B. C. D.
二 填空题（5分*4）
13. 已知平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 ________.
14. 已知等比数列 的前 项和为 ， ，则 ________.
15. 若实数 ， 满足 ，则 的最大值是________.
16. 已知函数 的图象关于直线 对称，则有如下四个命题：
① 是奇函数； ② 的最小正周期是 ;
③ 的一个对称中心是 ； ④ 的一个递增区间是 .
其中所有正确命题的序号是________.
三 解答题
17. （12分）已知等差数列 和等比数列 满足 ， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）求和： .
18. （12分）某地区对高一年级学生进行体质健康测试（简称体测），现随机抽取了 名学生的体测结果等级（“良好及以下”或“优秀”）进行分析．得到如下列联表：
（1）计算并判断是否有 99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系？
（2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从该地区高一所有学生中，采取随机抽样的方法每次抽取 名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取 次，且各次抽取的结果相互独立，记被抽取到的 名学生的体测等级为“优秀”的人数为 ，求 的分布列和数学期望 ．
其中 ， .
19. （12分） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.
20. （12分）若函数 为奇函数，且在 上单调递增，在 上单调递减.
（1）求函数 的解析式；
（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围.
21. （12分）已知函数 ， .
（1）当 时，若曲线 与直线 相切，求 的值；
（2）当 时，证明： ；
（3）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
22. （10分）点 是曲线 上的动点，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点 为中心，将点 逆时针旋转 得到点 ，设点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 ， 的极坐标方程；
（2）射线 与曲线 ， 分别交于 ， 两点，定点 ，求 的面积.
23. （10分）已知 ， ，且 ，证明：
（1） ；
（2） .
试卷第2页，总3页
参考答案
1. C
因为 ， ，
所以 ，
故选： .
2. D
，
所以 的虚部为 .
故选:
3. A
如图，建立平面直角坐标系，
每一个小正方形的边长均为 ，
则 .
故选: .
4. B
【分析】先得到二项式的通项公式，再令 的指数为 得到项数，从而得到常数项大小．
【详解】 的二项展开式的通项公式为
. 令 , 解得 ,
所以展开式的常数项为 .
故选: .
5. B
6. D
【分析】利用倍角公式 ，将条件代入计算即可.
【详解】
故选: .
7. C
【分析】根据 ， 之间的线性回归方程，结合表中数据，判断选项中的命题是否正确即可.
【详解】对于 , 变量 ， 之间的线性回归方程为 ,
而 , 所以变量 ， 之间呈负相关关系，故选项 正确；
对于 ，当 时， ，故选项 正确;
对于 ， , 所以 , 故 正确;
对于 ， ， ，解得 ，故 不正确.
故选: .
8. D
【分析】根据函数的奇偶性和特殊值求得正确答案.
【详解】 ,
所以 是偶函数，图象关于 轴对称，排除 选项.
, 所以 , 所以 , 排除 选项.
所以 选项正确.
故选:
9. C
【分析】设球体的半径 ，根据已知条件把圆锥和球体的体积表示出来相比就可以了.
【详解】设球体的半径为 ，圆锥底面半径为 ，高为
则圆锥的体积为：
球体的体积：
所以圆锥与球的体积之比为：
故选: .
10. B
【分析】根据指数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】设 ，因为 ，所以点 的坐标为 ，
又因为点 在双曲线 上，所以 ,
因此 ,
当且仅当 时取等号, 即 ， 时取等号,
故选：
11. A
由题意得 ,
， ,
， .
12. C
【分析】求得函数的导数, 令 , 求得函数的极值点, 得到 ， ，结合等差数列的通项公式，列出方程组求得 ， 的值，最后利用等差数列的求和公式，即可求求解.
【详解】由题意, 函数 , 其中 ,
可得
令 , 解得 或 ,
又 和 是函数 的极值点, 且公差 , 所以 ， ,
所以 , 解得 ， ,
所以 .
故选: .
13.
由题得， . 所以 .
14.
【分析】设等比数列 的公比为 ， , 易得 ，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】设等比数列 的公比为 ， ,
若 , 则 , 与题意矛盾,
所以 ,
则 , 解得 ,
所以 .
故答案为: .
15.
【分析】首先画出可行域，再根据 中 的几何意义求最大值.
【详解】根据 ， 满足的条件 画出可行域,
所以当直线 过点 时， 取得最大值,
由 解得 ,
所以 的最大值是 .
故答案为:
16.
②④
【分析】根据题目可以判断 ，所以 ，所以 的对称中心为 ，递增区间为
【详解】②． 的最小正周期是 ，②正确；
①．由于 的图象关于直线 对称, 且最小正周期是 , 因此 的图象也关于直线 对称, 故 是偶函数，①错误；
③．因为是偶函数，且最小正周期是 ，则 或 , 根据 可得解析式为前者. 的对称中心为 ，③错误；
④．由于 ， 在 单调递增，④正确．
故选：②④
17.
（1）设等差数列 的公差为 ,
由 ， ,
可得： ，
解得 ，
所以 的通项公式 .
（2）设等比数列 的公比为 ，则奇数项构成公比为 的等比数列,
由（1）可得 , 等比数列 满足 ， .
由于 , 可得 (舍去 ), (等比数列奇数项符号相同),
所以 ，
则 是公比为 ，首项为 的等比数列，
.
18.
（1）依题意， 的观测值 ，
故有 的把握认为本次体测结果等级与性别有关系.
（2）依题意，体测结果等级为“优秀”的概率为 ,
的取值有 ， ， ， ,
则 ， ,
，
则 的分布列为：
所以 的数学期望 .
19.
（1）因为 , 结合正弦定理得 , 化简得 .
因为 ， ，所以 ，所以 ，即 .
又因为 ，所以 .
（2）由余弦定理得 , 即 , 所以 .
又因为 , 所以 , 所以 , 故 .
所以, 的周长为 .
20.
（1）根据函数的奇偶性求出 ， ，由函数单调性，利用导函数求出 ，确定函数解析式;
（2）点 不在曲线上，设切点为 ，根据导函数的几何意义与斜率公式列出方程，得到 ，设 ，通过研究其单调性，极值情况，求出 的取值范围.
（1）因为函数为奇函数，则 , 故 ， ,
又因为函数 在 上单调递增, 在 上单调递减,
所以 在 处取得极大值,
因为 ,
所以 , 即 ,
解得： ，经检验符合题意，所以 .
（2） , 因为曲线方程为 ， ,
点 不在曲线上, 设切点为 , 则点 的坐标满足 ,
因为 , 故切线的斜率为 ,
整理得: ,
因为过点 可作曲线的三条切线, 所以关于 的方程有三个实根.
设 , 则 ,
由 , 得 ,
, 得 或 ,
所以 在 ， 上单调递增, 在 上单调递减,
所以函数的极值点为 ， ,
所以关于 的方程有三个实根的必要条件是 ,
解得: ,
又当 时, ,
当 时, ,
所以 时, 必有三个实根,
故所求的实数 的取值范围是 .
21.
【分析】（1）设切点坐标为 ，然后利用导数的几何意义列方程，解方程即可得到 ；
（2）证明 即证明 ，然后求导，利用单调性求最值，即可证明 ；
（3）将不等式 转化为 , 然后构造函数 , 根据 的单调性得到 恒成立, 即 , 构造函数 , 根据 的单调性得到 , 然后代入解不等式即可.
【详解】（1）当 时, , 则 ,
设切点坐标为 , 则 , 解得 ,
所以 .
（2）当 时, ，定义域为 ， ,
令 , 则 , 当 时, , 则 在 上单调递增,
又 , 所以当 时, ， 时, , 所以 在 上单调递减, 上单调递增, 所以 , 则 .
（3）由题可知, , 则不等式 恒成立,
即 ,
即 ,
即 ，
即 在 上恒成立,
令 , 易知 在 上单调递增,
所以 在 上恒成立, 即 ,
令 , 则 , 当 时, , 当 时, , 所以 在 上单调递减, 上单调递增,
则 , 所以 , 解得 ,
所以 的取值范围为 .
22.
（1）由曲线 的直角坐标方程 可得曲线 的极坐标方程为 .
设 , 则 ,
则有 .
所以曲线 的极坐标方程为 .
（2） 到射线 的距离 ， ,
则 .
23.
【分析】（1）根据给定条件，消元并结合二次函数推理作答.
（2）根据给定条件，借助“ ”的妙用，计算推理作答.
【详解】（1）因为 ， ， ，则 ， ,
因此 , 当且仅当 ， 时取等号,
所以 成立.
（2）因 ， , 且 , 则 ,
因此 ,
当且仅当 且 , 即 ， 时取等号,
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所以 成立.答案第8页，总9页
理科数学总分: 150分
一 单选题（5分*12）
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若复数 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. D.
5. 设 ，则 的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
7. 已知变量 ， 之间的线性回归方程为 ，且变量 ， 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ）
A.变量 ， 之间呈负相关关系
B.可以预测，当 时，
C.
D.该回归直线必过点
8. 函数 在 上的图象大致是（ ）
A. B.C. D.
9. 一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（ ）
A. B. C. D.
10. 函数 的图象恒过定点 ，若点 在双曲线 上，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
11. 世界人口在过去 年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（ ）
(参考数据 ， )
A. B. C. D.
12. 已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ， 和 是函数 的极值点，则 （ ）
A. B. C. D.
二 填空题（5分*4）
13. 已知平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 ________.
14. 已知等比数列 的前 项和为 ， ，则 ________.
15. 若实数 ， 满足 ，则 的最大值是________.
16. 已知函数 的图象关于直线 对称，则有如下四个命题：
① 是奇函数； ② 的最小正周期是 ;
③ 的一个对称中心是 ； ④ 的一个递增区间是 .
其中所有正确命题的序号是________.
三 解答题
17. （12分）已知等差数列 和等比数列 满足 ， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）求和： .
18. （12分）某地区对高一年级学生进行体质健康测试（简称体测），现随机抽取了 名学生的体测结果等级（“良好及以下”或“优秀”）进行分析．得到如下列联表：
（1）计算并判断是否有 99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系？
（2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从该地区高一所有学生中，采取随机抽样的方法每次抽取 名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取 次，且各次抽取的结果相互独立，记被抽取到的 名学生的体测等级为“优秀”的人数为 ，求 的分布列和数学期望 ．
其中 ， .
19. （12分） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.
20. （12分）若函数 为奇函数，且在 上单调递增，在 上单调递减.
（1）求函数 的解析式；
（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围.
21. （12分）已知函数 ， .
（1）当 时，若曲线 与直线 相切，求 的值；
（2）当 时，证明： ；
（3）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
22. （10分）点 是曲线 上的动点，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点 为中心，将点 逆时针旋转 得到点 ，设点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 ， 的极坐标方程；
（2）射线 与曲线 ， 分别交于 ， 两点，定点 ，求 的面积.
23. （10分）已知 ， ，且 ，证明：
（1） ；
（2） .
试卷第2页，总3页
参考答案
1. C
因为 ， ，
所以 ，
故选： .
2. D
，
所以 的虚部为 .
故选:
3. A
如图，建立平面直角坐标系，
每一个小正方形的边长均为 ，
则 .
故选: .
4. B
【分析】先得到二项式的通项公式，再令 的指数为 得到项数，从而得到常数项大小．
【详解】 的二项展开式的通项公式为
. 令 , 解得 ,
所以展开式的常数项为 .
故选: .
5. B
6. D
【分析】利用倍角公式 ，将条件代入计算即可.
【详解】
故选: .
7. C
【分析】根据 ， 之间的线性回归方程，结合表中数据，判断选项中的命题是否正确即可.
【详解】对于 , 变量 ， 之间的线性回归方程为 ,
而 , 所以变量 ， 之间呈负相关关系，故选项 正确；
对于 ，当 时， ，故选项 正确;
对于 ， , 所以 , 故 正确;
对于 ， ， ，解得 ，故 不正确.
故选: .
8. D
【分析】根据函数的奇偶性和特殊值求得正确答案.
【详解】 ,
所以 是偶函数，图象关于 轴对称，排除 选项.
, 所以 , 所以 , 排除 选项.
所以 选项正确.
故选:
9. C
【分析】设球体的半径 ，根据已知条件把圆锥和球体的体积表示出来相比就可以了.
【详解】设球体的半径为 ，圆锥底面半径为 ，高为
则圆锥的体积为：
球体的体积：
所以圆锥与球的体积之比为：
故选: .
10. B
【分析】根据指数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】设 ，因为 ，所以点 的坐标为 ，
又因为点 在双曲线 上，所以 ,
因此 ,
当且仅当 时取等号, 即 ， 时取等号,
故选：
11. A
由题意得 ,
， ,
， .
12. C
【分析】求得函数的导数, 令 , 求得函数的极值点, 得到 ， ，结合等差数列的通项公式，列出方程组求得 ， 的值，最后利用等差数列的求和公式，即可求求解.
【详解】由题意, 函数 , 其中 ,
可得
令 , 解得 或 ,
又 和 是函数 的极值点, 且公差 , 所以 ， ,
所以 , 解得 ， ,
所以 .
故选: .
13.
由题得， . 所以 .
14.
【分析】设等比数列 的公比为 ， , 易得 ，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】设等比数列 的公比为 ， ,
若 , 则 , 与题意矛盾,
所以 ,
则 , 解得 ,
所以 .
故答案为: .
15.
【分析】首先画出可行域，再根据 中 的几何意义求最大值.
【详解】根据 ， 满足的条件 画出可行域,
所以当直线 过点 时， 取得最大值,
由 解得 ,
所以 的最大值是 .
故答案为:
16.
②④
【分析】根据题目可以判断 ，所以 ，所以 的对称中心为 ，递增区间为
【详解】②． 的最小正周期是 ，②正确；
①．由于 的图象关于直线 对称, 且最小正周期是 , 因此 的图象也关于直线 对称, 故 是偶函数，①错误；
③．因为是偶函数，且最小正周期是 ，则 或 , 根据 可得解析式为前者. 的对称中心为 ，③错误；
④．由于 ， 在 单调递增，④正确．
故选：②④
17.
（1）设等差数列 的公差为 ,
由 ， ,
可得： ，
解得 ，
所以 的通项公式 .
（2）设等比数列 的公比为 ，则奇数项构成公比为 的等比数列,
由（1）可得 , 等比数列 满足 ， .
由于 , 可得 (舍去 ), (等比数列奇数项符号相同),
所以 ，
则 是公比为 ，首项为 的等比数列，
.
18.
（1）依题意， 的观测值 ，
故有 的把握认为本次体测结果等级与性别有关系.
（2）依题意，体测结果等级为“优秀”的概率为 ,
的取值有 ， ， ， ,
则 ， ,
，
则 的分布列为：
所以 的数学期望 .
19.
（1）因为 , 结合正弦定理得 , 化简得 .
因为 ， ，所以 ，所以 ，即 .
又因为 ，所以 .
（2）由余弦定理得 , 即 , 所以 .
又因为 , 所以 , 所以 , 故 .
所以, 的周长为 .
20.
（1）根据函数的奇偶性求出 ， ，由函数单调性，利用导函数求出 ，确定函数解析式;
（2）点 不在曲线上，设切点为 ，根据导函数的几何意义与斜率公式列出方程，得到 ，设 ，通过研究其单调性，极值情况，求出 的取值范围.
（1）因为函数为奇函数，则 , 故 ， ,
又因为函数 在 上单调递增, 在 上单调递减,
所以 在 处取得极大值,
因为 ,
所以 , 即 ,
解得： ，经检验符合题意，所以 .
（2） , 因为曲线方程为 ， ,
点 不在曲线上, 设切点为 , 则点 的坐标满足 ,
因为 , 故切线的斜率为 ,
整理得: ,
因为过点 可作曲线的三条切线, 所以关于 的方程有三个实根.
设 , 则 ,
由 , 得 ,
, 得 或 ,
所以 在 ， 上单调递增, 在 上单调递减,
所以函数的极值点为 ， ,
所以关于 的方程有三个实根的必要条件是 ,
解得: ,
又当 时, ,
当 时, ,
所以 时, 必有三个实根,
故所求的实数 的取值范围是 .
21.
【分析】（1）设切点坐标为 ，然后利用导数的几何意义列方程，解方程即可得到 ；
（2）证明 即证明 ，然后求导，利用单调性求最值，即可证明 ；
（3）将不等式 转化为 , 然后构造函数 , 根据 的单调性得到 恒成立, 即 , 构造函数 , 根据 的单调性得到 , 然后代入解不等式即可.
【详解】（1）当 时, , 则 ,
设切点坐标为 , 则 , 解得 ,
所以 .
（2）当 时, ，定义域为 ， ,
令 , 则 , 当 时, , 则 在 上单调递增,
又 , 所以当 时, ， 时, , 所以 在 上单调递减, 上单调递增, 所以 , 则 .
（3）由题可知, , 则不等式 恒成立,
即 ,
即 ,
即 ，
即 在 上恒成立,
令 , 易知 在 上单调递增,
所以 在 上恒成立, 即 ,
令 , 则 , 当 时, , 当 时, , 所以 在 上单调递减, 上单调递增,
则 , 所以 , 解得 ,
所以 的取值范围为 .
22.
（1）由曲线 的直角坐标方程 可得曲线 的极坐标方程为 .
设 , 则 ,
则有 .
所以曲线 的极坐标方程为 .
（2） 到射线 的距离 ， ,
则 .
23.
【分析】（1）根据给定条件，消元并结合二次函数推理作答.
（2）根据给定条件，借助“ ”的妙用，计算推理作答.
【详解】（1）因为 ， ， ，则 ， ,
因此 , 当且仅当 ， 时取等号,
所以 成立.
（2）因 ， , 且 , 则 ,
因此 ,
当且仅当 且 , 即 ， 时取等号,
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
所以 成立.答案第8页，总9页
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