《空间中的平面与空间向量》学考达标练
一、单项选择题
1.(2020·浙江台州段检)设直线的方向向量为,平面的一个法向量为,则直线与平面的位置关系是（ ）
A.
B.
C.
D.不确定
2.(2020东北育才中学月考)若平面,的一个法向量分别为,并且,则的值为（ ）
A.
B.
C.10
D.
3.(2020·日照一中月考)如图,在四面体中,已知和都是以为直角顶点的直角三角形,且,,为的中点,那么以下向量为平面的法向量的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
4.给定下列命题正确的有（ ）
A.若,分别是平面,的法向量,则
B.若,分别是平面,的法向量,则
C.若是平面的法向量,且向量在内,则
D.若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直
三、填空题
5.(2020·山东寿光一中高二月考)如图,已知正四棱锥,在①,②,③④中,不能作为底面的法向量的是_______.
6.(2020·北大附中月考)已知点是平行四边形所在平面外一点,如果,,.对于结论：①；②；③是平面的法向量.其中正确的是_______.（填序号）
四、解答题
7.(2020·北京十四中期中)如图,已知正方体,点是的中点,点是的中点.
（1）求证：⊥平面；
（2）求证：平面⊥平面.
参考答案
1.
答案：C
解析：因为,所以,所以
2.
答案：D
解析：因为,所以它们的法向量互相垂直,所以,解得.
3.
答案：B
解析：设,则.因为和都是以为直角顶点的直角三角形,所以.又因为,所以.所以也是直角三角形,且,从而可得平面.
4.
答案：ACD
解析：ACD正确,B中由,得
5.
答案：①
解析：由题意可知,,,,所以填①
6.
答案：①②③
解析：,所以,①正确. ,所以,②正确.又因为平面,所以平面,即是平面的一个法向量,③正确.
7.
答案：见解析
解析：(1)以点为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则,,所以.
设平面的一个法向量为,则即
取,得,则.又,所以,所以,所以,即⊥平面.
（2）因为,所以.设平面的一个法向量为,则即 取,得,则.
所以,所以.所以平面平面.
1 / 4《空间中的平面与空间向量》高考通关练
一、选择题
1.(2020·沈阳高中月考)已知向量, , .若∥平面,则的值是（ ）
A.
B.2
C.3
D.5
2.(2020·宁阳四中月考)已知平面内有一点,平面的一个法向量为,则下列各点中,在平面内的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.(2020·定陶一中月考)已知平面内的两个向量,,则平面的一个法向量的坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.已知,则平面的一个单位法向量是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.(2020·大连开发区一中月考)在如图的坐标系中, 为棱长为1的正方体,给出下列结论：
直线的一个方向向量为；
直线的一个方向向量为；
平面的一个法向量为；
平面的一个法向量为.
其中正确的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题
6.(2020·山东淄博淄川中学月考)设平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,若,则=_______.
7.(2020·山东师范大学附属中学高二期中)如图,在直棱柱的底面中, ,,棱,以为原点,分别以所在直线为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,则平面的一个法向量为_______.
8.(2020·北京铁路二中月考)如图,在三棱锥中, ,点是在平面内的射影,则点是的______.（填“内心”“外心”“垂心”或“重心”）
9.(2020·辽阳一中月考)由向量确定的平面的一个法向量为,则向量在上的射影的长是_______.
三、解答题
10.(2020·沂水一中月考)如图,平面⊥平面,是以为斜边的等腰直角三角形, 分别为,,的中点, .
（1）设是的中点,证明：平面；
（2）证明在内存在一点,使得平面,并求点到,的距离.
参考答案
1.
答案：D
解析：方法一：设平面的法向量为,则,即令,得为平面的一个法向量.因为∥平面,则,即,解得.
方法二：若∥平面,则存在实数对,使得,即,解得,故选D .
2.
答案：B
解析：对于选项A, ,则,故排除A；同理可排除选项C,D；对于选项B,则,故选B.
3.
答案：C
解析：显然与不平行.设平面的法向量为,则 ,所以令,得,所以.故选C.
4.
答案：D
解析：.设平面的单位法向量为,则,,得,易知,结合选项知选D.
5.
答案：C
解析：因为,所以,因为,所以①正确；因为,所以,因为,所以②正确；因为,所以,易知平面,所以③正确；因为,所以,显然与平面不垂直,所以④错误.
6.
答案：4
解析：因为,所以存在实数,使,所以.
7.
答案：（答案不唯一）
解析：由题意可知,,故.设为平面的一个法向量,则,,解得令,则,即平面的一个法向量为.
8.
答案：垂心
解析：连接（图略）,则分别为在平面内的射影.因为,所以由三垂线定理的逆定理知.同理, ,所以点是的垂心.
9.
答案：1
解析：由是,所确定的平面的一个法向量,知,即不妨设：,可解得,所以,所以在上的射影长为 .
10.
答案：见解析
解析：（1）如图,连接,由题意可得两两互相垂直,所以以点为坐标原点,以所在直线分别为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,则,,,,
则,.
设平面的一个法向量为,则,解得令,则,则,所以平面的一个法向量为.由,得.又直线不在平面内,所以平面
（2）设点的坐标为,则.
因为平面,所以,故,因此,,即点M的坐标是.在平面直角坐标系中, 的内部区域可表示为不等式组经检验,点的坐标满足上述不等式组.所以在内存在一点,使得平面.由点的坐标,得点到的距离分别为4, .
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