人教B版（2019）高中数学必修第一册 《2.1.1等式的性质与方程的解集》(共27张PPT)

(共27张PPT)
2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
第二章　等式与不等式
学习目标
1.理等式的性质，会用等式性质解决恒等式间题，
2.会用因式分解法解一元二次方程.
学习目标
教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向
等式的性质 数学推理 水平1 水平2 1.掌握等式的基本性质，学会利用等式的性质进行等式的基本变形。 2.了解恒等式的定义，掌握恒等式的证明方法。 3.了解方程的解、解集的定义，会求方程的解。 【考查内容】等式的性质、恒等式的证明、方程解集的求法等是常考知识点。
【考查题型】选择题、填空题和解答题都有可能出现
【分值情况】5-12分
恒等式的定义 数学抽象 水平1 水平2
方程的解集的定义 数学抽象 水平1 水平2
方程的解集的求法 数学运算 水平1 水平2
(1)等式的两边同时加上(减去)_________数或代数式，等式仍成立．
(2)等式的两边同时乘以(除以) _______________的数或代数式，等式仍成立．
(3)一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取_________时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
知识点一　等式的性质与恒等式
(一)教材梳理填空
一、自学教材·注重基础
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)若a＝b，则a＋c＝b＋c. (　　)
(2)若a＋c＝b＋c，则a＝b. (　　)
(3)若a＝b，则ac＝bc. (　　)
(4)若ac＝bc，则a＝b. (　　)
(5)若a＝b，则. (　　)
(6)若，则a＝b. (　　)
√
√
×
×
一、自学教材·注重基础
知识点一　等式的性质与恒等式
√
√
3．x2＋5x＋6可分解因式为___________．
(二)基本知能小试
2．化简(2x＋1)2－(x－1)2＝________.
3x2＋6x
(x＋2)(x＋3)
4．3x2＋11x＋10可分解因式为_______________．
(x＋2)(3x＋5)
一、自学教材·注重基础
知识点一　等式的性质与恒等式
(一)教材梳理填空
一、自学教材·注重基础
知识点二　方程的解集
(1)方程的解(或根)是指能使方程左右两边_________的未知数的值．
(2)一般地，把一个方程_________组成的集合称为这个方程的解集．
1．判断正误
(1)所有的方程都有解． (　　)
(2)一元二次方程的解集中一定有两个元素． (　　)
(二)基本知能小试
×
×
{1,5}

一、自学教材·注重基础
知识点二　方程的解集
2．方程x2－6x＋5＝0的解集为________．
3．方程x2－2x＋4＝0的解集为________．
4．方程x(x＋1)(x－2)(x－3)＝0的解集为____________．
{0，－1,2,3}
题型一　ax2＋bx＋c型式子的因式分解
例1、分解因式：
(1)6x2＋5x＋1；
(2)6x2＋11x－7；
(3)42x2－33x＋6；
(4)2x4－5x2＋3.
(1)如图所示，所以6x2＋5x＋1＝(2x＋1)·(3x＋1)．
解析
二、提升新知·注重综合
(2)如图所示，所以6x2＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7)．
题型一　ax2＋bx＋c型式子的因式分解
例1、分解因式：
(1)6x2＋5x＋1；
(2)6x2＋11x－7；
(3)42x2－33x＋6；
(4)2x4－5x2＋3.
(3)如图所示，所以42x2－33x＋6＝(6x－3)(7x－2)．
解析
二、提升新知·注重综合
(4)如图所示，所以2x4－5x2＋3＝(x2－1)(2x2－3)＝2(x＋1)(x－1) .
方法总结
二、提升新知·注重综合
题型一　ax2＋bx＋c型式子的因式分解
二次项的系数a分解成a1×a2，常数项c分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图： ，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图上一行，a2，c2位于下一行．
变式训练
把下列各式分解因式：
(1)x2－3x＋2＝______________________________.
(2)x2＋37x＋36＝____________________________.
(3)x2＋11x－26＝____________________________.
(4)x2－6x－27＝____________________________.
(5)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝__________________.
(6)6x2＋7x＋2＝____________________________.
(7)4m2－12m＋9＝__________________________.
二、提升新知·注重综合
题型一　ax2＋bx＋c型式子的因式分解
(x－2)(x－1)
(x＋36)(x＋1)
(x＋13)(x－2)
(x－9)(x＋3)
(a－b＋4)(a－b＋7)
(2x＋1)(3x＋2)
(2m－3)2
二、提升新知·注重综合
题型二　ax2＋bxy＋cy2型式子的因式分解
例2、把下列各式因式分解：
(1)a2－2ab－8b2；
(2)x＋5－6y(x>0，y>0)；
(3)m4＋m2n2－6n4.
解析
(1)(a＋2b)(a-4b)．
(2) ．
(3) ．
方法总结
二、提升新知·注重综合
题型二　ax2＋bxy＋cy2型式子的因式分解
ax2＋bxy＋cy2型的因式分解与ax2＋bx＋c型的因式分解其本质是一样的，事实上，ax2＋bxy＋cy2＝ax2＋(by)x＋cy2，令p＝by，q＝cy2，则ax2＋bxy＋cy2＝ax2＋px＋q.　　
变式训练
二、提升新知·注重综合
题型二　ax2＋bxy＋cy2型式子的因式分解
把下列各式分解因式：
(1)x2－6xy－7y2；
(2)x2＋xy－56y2；
(3)8x2＋26xy＋15y2；
(4)7(a＋b)2－5(a＋b)c－2c2；
(5)2a4＋a2b2－3b4.
解析：(1)(x－7y)(x＋y)．
(2)(x－7y)(x＋8y)．
(3)(2x＋5y)(4x＋3y)．
(4)[7(a＋b)＋2c][(a＋b)－c]．
例3、(1)求下列方程的解集：
①6x(x＋1)＝5(x＋1)；
②(2x－1)2－(x＋1)2＝0；
③(x＋3)(x＋1)＝6x＋2.
(2)求关于x的方程mx＋3＝x－2的解集．
题型三　方程的解集
(1)①分解因式，得(6x－5)(x＋1)＝0，
∴6x－5＝0或x＋1＝0，
∴x1＝，x2＝－1，
∴方程的解集为.
解析
二、提升新知·注重综合
例3、(1)求下列方程的解集：
①6x(x＋1)＝5(x＋1)；
②(2x－1)2－(x＋1)2＝0；
③(x＋3)(x＋1)＝6x＋2.
(2)求关于x的方程mx＋3＝x－2的解集．
题型三　方程的解集
②分解因式，得
[(2x－1)＋(x＋1)]·[(2x－1)－(x＋1)]＝0，
∴3x(x－2)＝0，
∴x1＝0，x2＝2，
∴方程的解集为{0,2}．
解析
二、提升新知·注重综合
例3、(1)求下列方程的解集：
①6x(x＋1)＝5(x＋1)；
②(2x－1)2－(x＋1)2＝0；
③(x＋3)(x＋1)＝6x＋2.
(2)求关于x的方程mx＋3＝x－2的解集．
题型三　方程的解集
③整理，得x2－2x＋1＝0.
即(x－1)2＝0，
∴x1＝x2＝1.
∴方程的解集为{1}．
解析
二、提升新知·注重综合
例3、(1)求下列方程的解集：
①6x(x＋1)＝5(x＋1)；
②(2x－1)2－(x＋1)2＝0；
③(x＋3)(x＋1)＝6x＋2.
(2)求关于x的方程mx＋3＝x－2的解集．
题型三　方程的解集
(2)∵关于x的方程为mx＋3＝m－2.
∴mx＝m－5.
即易知m≠0.
∴x＝1－.
故方程的解集为.
解析
二、提升新知·注重综合
方法总结
二、提升新知·注重综合
题型三　方程的解集
用因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)将方程右边化为0；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．
[提醒]　①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应当移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．
变式训练
二、提升新知·注重综合
题型三　方程的解集
1．下列解方程正确的是 (　　)
A．解方程2x2＝x时，将方程两边同时除以x，得x＝2
B．解方程2x2＋6x＝0时，将方程两边同时除以2x，得x＝－3
C．解方程x2－3＝2x时，分解因式得x(x－2)＝3，解得x1＝0，x2＝2
D．解方程x2＋2x＋1＝0时，分解因式得(x＋1)2＝0，解得x1＝x2＝－1
D
变式训练
2．用因式分解法解下列方程：
(1)x＝x；
(2)(x－3)2＋2x－6＝0；
(3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0.
解析：(1)x＝0，
即x＝0，∴x1＝0，x2＝，∴方程的解集为.
(2)(x－3)2＋2(x－3)＝0，(x－3)(x－3＋2)＝0，
∴x－3＝0或x－1＝0，
∴x1＝3，x2＝1，∴方程的解集为{3,1}．
二、提升新知·注重综合
题型三　方程的解集
变式训练
2．用因式分解法解下列方程：
(1)x＝x；
(2)(x－3)2＋2x－6＝0；
(3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0.
解析：(3)[3(2x＋3)＋2(2x－5)][3(2x＋3)－2(2x－5)]＝0，
∴(10x－1)(2x＋19)＝0，
∴10x－1＝0或2x＋19＝0，
∴x1＝，x2＝，
∴方程的解集为.
二、提升新知·注重综合
题型三　方程的解集
当堂练习
1．在多项式(1)x2＋7x＋6；(2)x2＋4x＋3；(3)x2＋6x＋8；(4)x2＋7x＋10；(5)x2＋15x＋44中，有相同因式的是 (　　)
A．只有(1)(2)
B．只有(3)(4)
C．只有(3)(5)
D．(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)
一、基础经典题
三、训练素养·注重应用、创新
解析：x2＋7x＋6＝(x＋1)(x＋6)，
(x2＋4x＋3)＝(x＋1)(x＋3)，
x2＋6x＋8＝(x＋2)(x＋4)，
x2＋7x＋10＝(x＋2)(x＋5)，
x2＋15x＋44＝(x＋4)(x＋11)．故选D.
当堂练习
三、训练素养·注重应用、创新
2．分解因式a2＋8ab－33b2得 (　　)
A．(a＋11)(a－3)　　　　 B．(a＋11b)(a－3b)
C．(a－11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b)
解析：a2＋8ab－33b2＝(a＋11b)(a－3b)．
B
3．方程x2＋x－6＝0的解是 (　　)
A．x1＝－2，x2＝3 B．x1＝2，x2＝3
C．x1＝－2，x2＝－3 D．x1＝2，x2＝－3
解析：∵x2＋x－6＝(x－2)(x＋3)＝0，
∴x1＝2，x2＝－3.
D
当堂练习
三、训练素养·注重应用、创新
4．方程3x(x－2)＝2－x的解集为________．
解析：由3x(x－2)＝2－x，
得3x(x－2)＋(x－2)＝0，
即(3x＋1)(x－2)＝0，
所以x1＝－，x2＝2.
当堂练习
5．解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.
解析：设x2＋3＝y，原方程可化为y2－4y＝0，
即y(y－4)＝0，∴y1＝0，y2＝4.
当y＝0时，方程为x2＋3＝0，此时方程无解；
当y＝4时，x2＋3＝4，
∴x＝±1，∴x1＝1，x2＝－1.
二、创新应用题
三、训练素养·注重应用、创新