《等式的性质与方程的解集》基础训练
单项选择题
1.下列命题正确的个数是（ ）
（1）在等式的两边乘以同一个数，等式仍成立；
（2）；
（3）只有二次项系数为1的二次三项式才能使用十字相乘法因式分解；
（4）一元一次方程的解集中只有一个元素，一元二次方程的解集中只有两个元素.
A.1
B.2
C.4
D.0
2.下列选项中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.
D.方程的解集为
3.若可因式分解为，则p等于（ ）
A.
B.
C.
D.
4.下列各式不能用十字相乘法分解因式的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.若集合，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
6.下列选项中，是恒等式的是（ ）
A.
B.
C.
D.
E.当为正实数时，
三、填空题
7.因式分解的结果是_______.
8.若集合，则_______.
四、解答题
9.分解因式：
（1）；（2）.
10.已知集合，且，集合M是由所有满足条件的a的值组成的集合.若集合，用列举法表示N.
参考答案
一、选择题
1.
答案：A
解析：由等式的性质可知（1）正确；
，故（2）不正确；十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目，但二次项系数不是只能为1，故（3）不正确；一元二次方程的解集中至多有两个元素，故（4）不正确.
2.
答案：A
解析：当时，，但，故B不正确；
，故C不正确；由集合中元素满足互异性知D不正确；故选A.
3.
答案：D
解析：由题可知.
4.
答案：C
解析：对于A：由得，故A可以用十字相乘法分解因式；对于B：由得，，故B可以用十字相乘法分解因式；
对于D：由得，，故D可以用十字相乘法分解因式.
5.
答案：A
解析：集合，集合.
二、多项选择题
6.
答案：ABE
解析：易知A是恒等式；B中，，故B是恒等式；C中，是不等式；D中，当时，，故不是恒等式；E是恒等式故ABE是恒等式.
三、填空题
7.
答案：
解析：.
8.
答案：
解析：集合，
集合.
四、解答题
9.
答案：见解析
解析：（1）.
（2）.
10.
答案：见解析
解析：由题知，，且，
，即.又，或或.
1 / 5《等式的性质与方程的解集》提升训练
单项选择题
1.下列各式中，恒等式的个数是（ ）
①；②；③；④.
A.1
B.2
C.3
D.4
2.可分解为，则实数a、b的值分别为（ ）
A.10,
B.,2
C.10,2
D.
3.因式分解的结果是的多项式是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.若集合，则（ ）
A.
B.
C.
D.
5.分解因式可得（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
6.下列各式因式分解的结果中，含有的是（ ）
A.
B.
C.
D.
E.
三、填空题
7.因式分解的结果是______.
8.若方程的解恰是方程的一个解，则方程的解集为______.
四、解答题
9.已知集合，若，求实数m的值.
10.若方程的解为m，方程的整数解为n.
（1）求m、n的值；
（2）将分解因式.
参考答案
一、选择题
1.
答案：B
解析：①为不等式；②是恒等式；③中当时，，故③不是恒等式；④是恒等式因此恒等式的个数是2.
2.
答案：D
解析：，
3.
答案：A
解析：.
4.
答案：A
解析：.
5.
答案：D
解析：原式.
二、多项选择题
6.
答案：ABC
解析：A中，；
B中，；
C中，；
D中，；
E中，.故结果中含有的是ABC.
填空题
7.
答案：
解析：.
8.
答案：
解析：由得，，
解得，，即，解得或.
故方程的解集为.
四、解答题
9.
答案：见解析
解析：由得或，.
由得，.
当时，，符合；
当时，，，或或，即或或.综上，实数m的取值有.
10.
答案：见解析
解析：（1）由得，.
由得.又n为方程的整数解，.
（2）由（1）知，.
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高考通关练：等式的性质与方程的解集
1．填空：
(1)m(x－y)＋n(y－x)＝(x－y)________．
(2)m(x－y)2＋n(y－x)2＝(x－y)2·________.
(3)m(x－y－z)＋n(y＋z－x)＝(x－y－z)·________.
(4)计算992＋99＝________.
2．分解因式：
(1)－13ab2x6－39a3b2x5；
(2)8a3－b3；
(3)x2－2x－1；
(4)4(x－y＋1)＋y(y－2x)．
3．解方程x2－x＋1＝0.
4．把下列各式分解因式：
(1)3ax－3ay＋xy－y2；
(2)8x3＋4x2－2x－1；
(3)5x2－15x＋2xy－6y；
(4)4a2－20ab＋25b2－36；
(5)4xy＋1－4x2－y2；
(6)a4b＋a3b2－a2b3－ab4；
(7)x6－y6－2x3＋1；
(8)x2(x＋1)－y(xy＋x)．
5．已知方程(2 018x)2－2 017×2 019x－1＝0的较大根为m，方程x2＋2 018x－2 019＝0的较小根为n，求m－n的值．
参考答案
1.解析：(1)m(x－y)＋n(y－x)＝(x－y)(m－n)．
(2)m(x－y)2＋n(y－x)2＝(x－y)2(m＋n)．
(3)m(x－y－z)＋n(y＋z－x)＝(x－y－z)·(m－n)．
(4)992＋99＝(100－1)2＋(100－1)＝(100－1)(100－1＋1)＝99×100＝9 900.
答案：(1)(m－n) (2)(m＋n) (3)(m－n) (4)9 900
2.解：(1)－13ab2x5(x＋3a2)．
(2)8a3－b3＝(2a－b)(4a2＋2ab＋b2)．
(3)x2－2x－1＝(x－1－)(x－1＋)．
(4)4(x－y＋1)＋y(y－2x)＝4x－4y＋4＋y2－2xy＝(y2－4y＋4)－2x(y－2)＝(y－2)2－2x(y－2)＝(y－2)(y－2x－2)．
3.解：(x－t)＝0，x＝t或x＝.
4.解：(1)(x－y)(3a＋y)．
(2)(2x－1)(2x＋1)2.
(3)(x－3)(5x＋2y)．
(4)(2a－5b＋6)(2a－5b－6)．
(5)(1＋2x－y)(1－2x＋y)．
(6)ab(a－b)(a＋b)2.
(7)(x3＋y3－1)(x3－y3－1)．
(8)x(x－y)(x＋y＋1)．
5.解：将方程(2 018x)2－2 017×2 019x－1＝0化为(2 0182x＋1)(x－1)＝0，
∴x1＝－，x2＝1，∴m＝1.
同理，由方程x2＋2 018x－2 019＝0
可得(x＋2 019)(x－1)＝0，
∴x3＝－2 019，x4＝1，∴n＝－2 019，∴m－n＝2 020.
2 / 2《等式的性质与方程的解集》高考达标练
1.已知，下列变形错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2019·湖南长沙一模）下列结论中正确的是（ ）
A.在等式的两边都除以3，可得等式
B如果，那么
C.在等式的两边都除以0.1，可得等式
D.在等式的两边都减去，可得等式
3.解方程，去分母所得结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.若关于x的方程的一个根为，则另一个根为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.已知，那么的值是（ ）
A.9
B.
C.
D.
6.分解因式：________.
7.分解因式：_________，________.
8.若多项式分解因式的结果为，则a的值为_______.
9.求方程的解集.
10.因式分解：
（1）
（2）；
（3）.
11.解方程
；
.
参考答案
1.
答案：B
解析：根据等式的性质判断.
2.
答案：B
解析：A错误，两边同时除以3，各项都必须同时除以3；C错误，两边同时除以0.1时，5÷0.1=50；D错误，两边同时减去时，左边.
3.
答案：B
解析：根据等式的性质去分母时，两边同时乘以6，得，去括号得，故选B.
4.
答案：D
解析：将代入方程求得，故原方程为，解方程得，故另一根为，选D.
5.
答案：A
解析：由，
.故选A.
6.
答案：
解析：根据十字相乘法分解因式.
7.
答案：
解析:根据十字相乘法分解因式.
(1).
(2).
8.
答案：
解析：由，对比各项系数可得.
9.
答案：见解析
解析：去括号得，移项合并同类项得，系数化为1，得.
10.
答案：见解析
解析：（1））
（2）
.
（3）.
11.
答案：见解析
解析：（1），
，
，
，
，
.
.
，
，
，
，
，
.
1 / 5《等式的性质与方程的解集》学考通关练
1.若a，b，c是实数，下列变形正确的是（ ）
A.如果，那么
B.如果，那么
C如果，那么
D.如果，那么
2.方程的解为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.下列说法错误的是（ ）
A.如果，那么
B.如果，那么
C.如果，那么
D.如果，那么
4.方程的解为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.分解因式：________.
6.若是方程的解，求k的值.
7.解下列方程：
（1）；
(2).
参考答案
1.
答案：B
解析：根据等式的两条性质来判断，A错误，两边应同时加上同一个数或式；C错误，c为实数，可取0，不满足；D错误.
2.
答案：B
解析：方程两边同时加上化简得，故方程的解为.
3.
答案：A
解析：根据等式的性质判断，当时，不能两边同除以x，故A错.
4
答案：D
解析：先方程两边同时减去，再两边同时减去2，求得，故选D.
5.
答案：
解析：利用十字相乘法分解因式.
6.
答案：见解析
解析：根据方程的解的定义，为方程的解代入方程，等式成11立，从而，解得.
7.
答案：见解析
解析：（1）去括号得，移项并合并同类项得.
（2）两边同时乘以10去分母得去括号得，移项，合并同类项，得，系数化为1，得.
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学考达标练：等式的性质与方程的解集
1．(a＋b)2＋8(a＋b)－20分解因式得( )
A．(a＋b＋10)(a＋b－2) B．(a＋b＋5)(a＋b－4)
C．(a＋b＋2)(a＋b－10) D．(a＋b＋4)(a＋b－5)
2．若多项式x2－3x＋a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值是( )
A．a＝10，b＝2 B．a＝10，b＝－2
C．a＝－10，b＝－2 D．a＝－10，b＝2
3．多项式2x2－xy－15y2的一个因式为( )
A．2x－5y B．x－3y
C．x＋3y D．x－5y
4．若x2＋mx－10＝(x＋a)(x＋b)，其中a，b为整数，则m的值为( )
A．3或9 B．±3 C．±9 D．±3或±9
5．若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝( )
A．－2 B．－ C．1 D．－或1
6．若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．
7．规定一种运算：＝ad－bc.例如：＝8，运算得5x－2＝8，解得x＝2.按照这种运算的规定，那么＝5时，x的值为________．
8．小奇设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数a2－3b－5，例如把(1，－2)放入其中，就会得到12－3×(－2)－5＝2.现将实数对(m,3m)放入其中，得到实数5，则m＝________.
9．把下列各式因式分解：
(1)6m2－5mn－6n2； (2)20x2＋7xy－6y2；
(3)2x4＋x2y2－3y4； (4)6(x＋y)＋7＋2z(x>0，y>0，z>0)．
10．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－10x＋9＝0；
(2)2(x－3)＝3x(x－3)；
(3)4(3x－2)(x＋1)＝3x＋3；
(4)2(2x－3)2－3(2x－3)＝0；
(5)2x2－16＝x2＋5x＋8；
(6)(3x－1)2＋3(3x－1)＋2＝0.
参考答案
1.答案：A
2.解析：选C (x－5)(x－b)＝x2－(5＋b)x＋5b＝x2－3x＋a，∴5＋b＝3,5b＝a，解得b＝－2，a＝－10.
3.解析：选B 2x2－xy－15y2＝(2x＋5y)(x－3y)．
4.解析：选D ∵－10＝(－1)×10＝1×(－10)＝2×(－5)＝(－2)×5，∴m＝±3或±9.
5.解析：选D 设a＋b＝x，则原方程可化为4x(4x－2)－8＝0，整理，得(2x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－，x2＝1.则a＋b＝－或1.
6.解析：x2－8x＋15＝0，即(x－5)(x－3)＝0，
∴x1＝3，x2＝5.
又∵△ABC的两边长分别为2,3，
∴x≠5，即x＝3.
∴△ABC的周长为2＋3＋3＝8.
答案：8
7.解析：由题意，得＝x2－4x＝5，
即x2－4x－5＝0，解得x＝5或x＝－1.
答案：5或－1
8.解析：∵将实数对(m,3m)放入其中，得到实数5，
∴m2－9m－5＝5，即m2－9m－10＝0，
解得m＝10或m＝－1.
答案：10或－1
9.解：(1)(3m＋2n)(2m－3n)．
(2)(4x＋3y)(5x－2y)．
(3)(x＋y)(x－y)(2x2＋3y2)．
(4)(3＋2)(2＋)．
10.解：(1)(x－1)(x－9)＝0，
∴x1＝1，x2＝9，
∴方程的解集为{1,9}．
(2)整理，得(x－3)(2－3x)＝0，
∴x－3＝0或2－3x＝0，
∴x1＝3，x2＝，
∴方程的解集为.
(3)4(3x－2)(x＋1)－3(x＋1)＝0，
∴(x＋1)(12x－11)＝0，
∴x1＝－1，x2＝，
∴方程的解集为.
(4)(2x－3)[2(2x－3)－3]＝0，
(2x－3)(4x－9)＝0，
∴x1＝，x2＝，
∴方程的解集为.
(5)2x2－x2－5x－16－8＝0，
x2－5x－24＝0，
(x－8)(x＋3)＝0，
∴x1＝8，x2＝－3，
∴方程的解集为{－3,8}．
(6)[(3x－1)＋1][(3x－1)＋2]＝0，
3x(3x＋1)＝0，
∴x1＝0，x2＝－，
∴方程的解集为.
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