高中数学（沪教版）必修第二册第6章单元综合测试A(含答案）

一、单选题
1．设在中，角所对的边分别为， 若， 则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．钝角三角形
2．已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．终边落在直线上的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知角的终边与单位圆的交点，则（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知角的终边上一点P的坐标为，则角的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知某扇形的圆心角为弧度，其所对的弦长为，则该扇形的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．[多选题]给出下列四个命题，其中正确的有（ ）
A．一定时，单位圆中的正弦线一定
B．单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．和有相同的正切线
D．具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上
10．下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
11．在中，角的对边分别为，若，则角可为（ ）
A． B． C． D．
12．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（ ）
A．
B．若，扇形的半径，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为
三、填空题
13．若，则______．
14．若，则__________
15．在中，，，，则__________.
16．求值：__．
四、解答题
17．已知 ，求.
18．已知，其中是第四象限角．
(1)化简；
(2)若，求，．
19．在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求a的值；
（2）若，求边上的高的长．
20．在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
21．如图，已知圆O的半径r为10，弦AB的长为10．
(1)求弦AB所对的圆心角的大小；
(2)求圆心角所对应的弧长l及阴影部分的面积S．
22．已知函数．
（Ⅰ）求函数在区间上的值域．
（Ⅱ）在中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，，且，求面积的最大值．
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参考答案：
1．A
【分析】根据两角和的正弦公式和正弦定理求得，得到，求得，即可求解.
【详解】因为，
由正弦定理可得，
即，即，所以，
又因为，所以，所以是直角三角形.
故选：A.
2．A
【分析】结合同角三角函数的基本关系式，利用平方的方法求得正确结论.
【详解】由于，所以，故，
所以.
故选：A
3．B
【分析】先确定的倾斜角为，再分当终边在第一和三象限时角度的表达式再求解即可.
【详解】易得的倾斜角为，当终边在第一象限时，，；当终边在第三象限时，，．所以角的集合为．
故选：B
4．C
【分析】首先根据三角函数的定义求得，然后根据诱导公式求得正确结果.
【详解】依题意，
.
故选：C
5．D
【分析】根据二倍角公式与整体法诱导公式进行求解.
【详解】
故选：D
6．D
【分析】先根据角终边上点的坐标判断出角的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角的最小正值．
【详解】因为，，
所以角的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，可知
，
故角的最小正值为．
故选：D．
7．D
【分析】由弦长和圆心角可求得扇形半径，由扇形弧长公式可求得弧长，进而得到周长.
【详解】由题意得：扇形的半径，则该扇形的弧长，
该扇形的周长为.
故选：D.
8．C
【分析】令可得，再代入，结合诱导公式与二倍角公式求解即可
【详解】令可得，故，则
故选：C
9．AD
【分析】利用正弦线的定义及正切线的定义即可判断.
【详解】由正弦线定义可知当一定时，单位圆中的正弦线一定，故A正确；
与有相同正弦线，但，故B错误；
由正切线的定义可知，当时，和的正切线均不存在，故C错误；
具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上，故D正确．
故选：AD．
10．AC
【分析】由二倍角公式计算可得．
【详解】；
；
；
．
故选：AC．
11．BC
【分析】利用余弦定理化简可得；分别验证各个选项中的的取值，根据可确定正确选项.
【详解】由余弦定理得：，
又，，整理可得：；
对于A，，则，A错误；
对于B，，则，B正确；
对于C，，则，C正确；
对于D，，则，D错误.
故选：BC.
12．AC
【分析】首先确定所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；由可求得，代入扇形面积公式可知B错误；由即可求得，知C正确；由扇形面积公式可直接判断出D错误.
【详解】对于A，与所在扇形的圆心角分别为，，
，A正确；
对于B，，，，B错误；
对于C，，，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：AC.
13．
【解析】将展开代入即可.
【详解】
因为，所以.
故答案为：．
14．
【分析】首先利用二倍角公式求出，再利用诱导公式计算可得；
【详解】解：因为所以，则.
因为，所以，即，故.
所以.
故答案为：.
15．
【分析】由已知在中利用余弦定理可得的值，可求，可得，即可得解的值．
【详解】解：因为在中，，，，
所以由余弦定理可得，
所以，即，
则．
故答案为：．
16．
【分析】根据诱导公式与正切和差公式即可求解．
【详解】
．
故答案为：．
17．.
【分析】将给定等式两边平方，再利用同角公式变形求解作答.
【详解】将两边平方得：，
整理得：，即，有，
所以.
18．(1)
(2)，
【分析】（1）因为是第四象限角，即可得到，，再根据平方关系化简可得；
（2）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系求出；
（1）
解：∵是第四象限角，∴，，所以、，
∴
．
即；
（2）
解：∵，∴，
∴．
19．（1）或6；（2）.
【分析】（1）利用余弦定理将化为，化简后再利用余弦定理可求出，由结合已知条件可求出a的值；
（2）由于，所以，可得，然后利用三角形的面积公式可求出面积，再利用面积法可求出边上的高的长
【详解】解：因为，所以，
所以，即．
由余弦定理可得，
因为，所以．
（1）因为，
所以，解得或6．
（2）因为，所以，
，
所以边上的高的长为．
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
21．(1)
(2)；
【分析】（1）根据为等边三角形，可得，即可求解.
（2）利用扇形的弧长公式以及扇形的面积公式即可求解.
（1）
由于圆O的半径r为10，弦AB的长为10，
所以为等边三角形，，所以．
（2）
因为，所以，
．
又，
所以．
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数在区间，上的值域；
（Ⅱ）先求出，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得面积的最大值．
【详解】解：（Ⅰ）
，
由，有，所以
函数的值域为．
（Ⅱ）由，有，
为锐角，，．
，由余弦定理得：，
，．
，
当，即为正三角形时，的面积有最大值．
答案第1页，共2页
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