高中数学（沪教版）必修第二册第7章单元综合测试B（含答案）

一、单选题
1．已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数在区间内恰好有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．若将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象，已知函数.）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．在上的最小值是
B．是的一个对称中心
C．在上单调递减
D．的图象关于点对称
5．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
6．函数的图像与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．设函数，，则下列结论错误的是（ ）
A．的值域为 B．是偶函数
C．不是周期函数 D．不是单调函数
8．已知曲线的图像，，则下面结论正确的是（ ）
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
二、多选题
9．已知函数的部分图像如图所示，则下列关于函数的说法中正确的是（ ）
A．函数最靠近原点的零点为
B．函数的图像在轴上的截距为
C．函数是偶函数
D．函数在上单调递增
10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，则下列叙述正确的是（ ）
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
11．已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．点是图象的一个对称中心
C．的值域为
D．不等式的解集为
12．将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的周期为 B．的一条对称轴为
C．是奇函数 D．在区间上单调递增
三、填空题
13．已知函数在上有且仅有2个零点，则整数的值为________．
14．设，则函数的最小值是___________．
15．若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则___________.
16．已知函数，且函数在区间上单调递减，则的最大值为___________.
四、解答题
17．已知函数．
(1)求在上的单调递增区间；
(2)令函数，求在区间上的值域．
18．已知(a为实常数).
（1）当定义域为R时，求的单调递增区间；
（2）当定义域为时，的最大值为4，求实数a的值.
19．已知函数，其中常数.
（1）在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，将函数图像向左平移个单位，得到函数的图像，且过，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数.
（1）求的最小值，并求出此时对应的x的值；
（2）写出在的单调区间，并求出此时的值域.
21．函数（其中）部分图象如图所示，是该图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点．
(1)求的最小正周期及的值；
(2)若，求A的值．
22．已知函数.
(1)若，求f（x）的单调递增区间；
(2)若f（x）在[0，m]上的最小值为2，求实数m的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】先通过三角恒等变换将化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可．
【详解】函数化简得，
由，
可得函数的对称轴为，
由题意知，且，
即，，若使该不等式组有解，
则需满足，即，又，
故，即，所以，又，
所以或，所以．
2．C
【分析】先求出的范围，然后结合函数图象和零点个数可得：，进而求出.
【详解】因为，所以，因为在区间内恰好有3个零点，结合函数图象可得：，解得：，的取值范围是
故选：C
3．D
【分析】由三角函数平移变换可得平移后函数为，根据对称性得到，结合可得所求最小值.
【详解】将向左平移个单位长度得：，
图象关于原点对称，
，解得：，又，
当时，取得最小值.
故选：D.
4．C
【分析】根据函数的图形，求得，利用三角函数的图象变换得到，结合三角函数的性质，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数，）的部分图象，
可得且，解得，所以，
又由时，，即，解得，
因为，可得，所以，
所以，
对于A中，当时，可得，
当时，即时，函数取得最小值，所以A正确；
对于B中，当时，可得，
所以点点是的一个对称中心，所以B正确；
对于C中，当时，可得，
此时为先减后增的函数，所以C不正确；
对于D中，当时，可得，
所以是函数的对称中心，所以D正确.
故选：C.
.
5．A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
6．D
【分析】确定函数的单调性、极值，得出对称性，及的范围，从而确定的性质得出结论．
【详解】由得，，
又，所以在和上单调递增，同理在上递减，
，，是的图象的一条对称轴，
所以时，存在满足题意，不妨设，则，
，，所以，
所以．
故选：D．
7．C
【分析】求出函数的值域，判断函数的奇偶性，函数的周期性，以及函数的单调性，即可得到选项．
【详解】解：因为函数，，所以函数的值域为，，A正确．
因为，所以函数是偶函数，B正确．
因为，所以函数是周期函数，C不正确．
因为，不具有单调性，D正确．
故选：C．
8．D
【分析】先将转化为，再根据三角函数图像变换的知识得出正确选项.
【详解】对于曲线，，要得到，则把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，即得到曲线.
故选：D.
9．ABC
【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项.
【详解】根据函数的部分图像知，，
设的最小正周期为，则，∴，．
∵，且，∴，
故．
令，得，，
即，，因此函数最靠近原点的零点为，故A正确；
由，因此函数的图像在轴上的截距为，故B正确；
由，因此函数是偶函数，故C正确；
令，，得，，此时函数单调递增，于是函数在上单调递增，在上单调递减，故D不正确．
故选：ABC．
【点睛】思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证此区间是否是函数的增或减区间.
10．ABD
【分析】根据题意及函数过点求出解析式判断A，由函数值域可判断B，根据正弦型函数的单调性可判断C，t＝20时求出P点，根据两点间距离公式判断D.
【详解】由题意可知T＝60，所以＝60，解得ω＝，
又从点A(，)出发，
所以R＝6，6sin φ＝－3，又|φ|<，所以φ＝，故A正确；
，当t∈[35，55]时，，
则，，点到x轴的距离为，
所以点到x轴的距离的最大值为6，故B正确；
当t∈[10，25]时，，所以函数在[10，25]上不单调，故C不正确；
当t＝20时，，则，且，所以P(0，6)，
则，故D正确．
综上，正确的是ABD.
故选：ABD
11．CD
【分析】把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答.
【详解】，作出的图象，如图，观察图象，
的最小正周期为，A错误；
的图象没有对称中心，B错误；
的值域为，C正确；
不等式，即时，得，解得，
所以的解集为，D正确.
故选：CD
12．AD
【分析】求出，A. 的最小正周期为，所以该选项正确；B. 函数图象的对称轴是，所以该选项错误；C.函数不是奇函数，所以该选项错误； D. 求出在区间上单调递增，所以该选项正确.
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到函数.
A. 的最小正周期为，所以该选项正确；
B. 令，函数图象的对称轴不可能是，所以该选项错误；
C. 由于，所以函数不是奇函数，所以该选项错误；
D. 令，当时，，所以在区间上单调递增，所以该选项正确.
故选：AD
13．1
【分析】根据的取值范围，求得的取值范围，结合余弦函数的零点列不等式，由此求得的取值范围，即得.
【详解】依题意，.由得，
要使函数在有且只有个零点，
则需，即，
所以整数的值为1.
故答案为：1
14．
【分析】由正弦函数的性质得出，利用换元法以及对勾函数的性质，即可得出答案.
【详解】由得到，即
令，则
因为，所以函数为减函数
当时，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求含有正弦函数的最值，涉及了对勾函数的性质的应用，属于中档题.
15．##-0.25
【分析】先根据函数在上单调递减及周期，确定，再根据函数的最大值求解.
【详解】因为函数在上单调递减，
所以，，则，
又因为函数在上的最大值为，
所以，即，
所以.
故答案为：
16．
【分析】由结合的取值范围可求得的值，由可求得的取值范围，根据已知条件可得出关于的不等式组，解出的范围即可得解.
【详解】因为，又，所以，所以，，
当且时，，
因为在区间上单调递减，则，
即，即，
因为，则，则且，故，从而，
因此，的最大值为.
故答案为：.
17．(1)，和
(2)
【分析】（1）直接利用三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出函数的单调递增区间；
（2）利用三角函数的变换和诱导公式的应用，利用函数的定义域求出函数的值域．
(1)
函数，
令，
整理得，
所以函数的单调递增区间为，
由于，，
当，1时，单调递增区间为，和．
(2)
由于；
由于，
所以，
故，
故，
故函数的值域为．
18．（1）；（2）
【解析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简函数，进而求得单调递增区间；
（2）由（1）得，再求出的取值范围，进而得到函数的最大值，从而求得实数a的值.
【详解】（1）
，
，
的单调递增区间为；
（2） ，，
当，即时，
.
【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦函数的单调区间、由函数的最值求参数的值等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
19．（1）；（2）.
【分析】（1）根据正弦型函数的性质，可得在ω＞0时，区间是函数y＝2sinωx+1的一个单调递增区间，结合已知条件列出一个关于ω的不等式组，解不等式组，即可求出实数ω的取值范围．
（2）由函数的图像变换得，且g（x）的图像过，可解得ω＝2k，k∈Z，结合范围0＜w＜4，可得g（x）的解析式．结合，得，令，参变分离得在恒成立，求出的取值范围即可.
【详解】（1）由题意得，又，得的最小正周期为，
由正弦函数的性质，当，函数取得最小值，函数取得最大值，
∴是函数的一个单调递增区间，
又因为函数()在上单调递增，则，解得.
（2）由（1）得，将函数图像向左平移个单位，得到函数的图像，
即，∵的图像过，∴，
得：，即：，，∴，，∵，∴，
得，，，，
令，参变分离得在恒成立，令，
则函数在上递增，当时，..
【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式．
第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或）的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
20．（1）当时，；（2）在上递增，在上递减，值域为
【解析】略
21．(1)2；；
(2).
【分析】（1）利用的解析式求出周期，再由给定的最高点P求出作答.
（2）由（1）求出点M，N的坐标，结合图形求出和的正切，再利用和角公式计算作答.
（1）
函数的最小正周期，
因是函数图象的最高点，则，而，有，，
所以函数的最小正周期为2，.
（2）
由（1）知，，由得，即点，由得，即点，
于是得，，而，
则，又，解得，
所以.
22．(1)（）
(2)
【分析】（1）先化简得到，利用复合函数单调性“同增异减”列不等式求出f（x）的递增区间；.
（2）利用单调性实数m的取值范围.
(1)
.
令，（）
解得，（）
∴f（x）的递增区间为（）.
(2)
，得.
∵f（x）在上的最小值为2，
∴，
解得.
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