高中数学（沪教版）必修第二册第7章单元综合测试A（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学（沪教版）必修第二册第7章单元综合测试A（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 756.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-05 08:21:12 | ||
图片预览
文档简介
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为3，最小值为-1
C．的最大值为，最小值为
D．的最大值为，最小值为
2．已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．若的图像与的图象关于轴对称，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，最后得到函数，则（ ）
A． B．
C． D．
5．要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
6．函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，则在区间上的零点的个数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．函数的图象与直线的交点个数可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知函数 的图象关于直线对称，则（ ）
A．
B．函数在 上单调递增
C．函数的图象关于点成中心对称
D．若，则的最小值为
11．已知函数的图象关于直线对称，那么（ ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．若，则的最小值为
D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
12．下列函数中，以为最小正周期的函数有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为_______．
14．的图象向右平移单位与重合，则正数的最小值为________．
15．函数的最小正周期是______．
16．若函数，的最小正周期为，且，则的取值范围是______．
四、解答题
17．已知函数的最小正周期为，且.
（1）求和的值.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度(纵坐标不变)，得到函数的图象，
①求函数的单调递增区间；
②求函数在上的最大值.
18．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间．
19．已知函数
（1）作出该函数的图象；
（2）若，求的值；
（3）若，讨论方程的解的个数．
20．作出函数，的大致图像．
21．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式．
(2)将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求不等式的解集．
22．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的解的集合.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．C
【分析】利用换元法求解函数的最大值和最小值即可.
【详解】因为函数，
设，，
则，
所以，，
当时，；当时，.
故选：C
2．D
【分析】根据分类讨论，结合的性质可得．
【详解】由题知，．若，选项C满足；
若，，，其中，，函数周期，选项A满足；若，，，其中，，函数周期，选项B满足；
若，则，且周期为．而选项D不满足以上四种情况，故图象不可能是D．
故选：D．
3．B
【分析】根据、、与的图象特征依次判断即可得到结果.
【详解】对于A，，图象与重合，A错误；
对于B，与图象关于轴对称，与图象关于轴对称，B正确；
对于C，当时，，可知其图象不可能与关于轴对称，C错误；
对于D，将位于轴下方的图象翻折到轴上方，就可以得到的图象，可知其图象与的图象不关于轴对称，D错误.
故选：B.
4．A
【分析】按照函数的平移伸缩变换规则，得到解析式即可
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象的解析式为，
再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，
故选：A
5．A
【分析】利用诱导公式将平移前的函数化简得到，进而结合平移变换即可求出结果.
【详解】因为，
而，故将函数的图象向右平移个单位长度即可，
故选：A.
6．A
【分析】作换元,根据已知求得的范围，然后根据正切函数的性质得到所求函数值域，进而作出判定.
【详解】设,因为，所以，
因为正切函数在上为单调递增函数，且,
所以．
∴函数的值域为，
故选：A．
7．B
【分析】将问题转化为函数与函数的图像交点个数，画出图像即可观察出答案.
【详解】由已知在区间上的零点的个数即为函数与函数的图像交点个数，
两个函数在同一坐标系下的图像如下：
明显函数与函数的图像在上有2个交点
故选：B.
8．C
【分析】求出函数在上的值域后可求实数m的取值范围.
【详解】
,
当时，，所以，
故的值域为，
因为在上有解即在上有解，
故即，
故选：C.
9．ABCD
【分析】根据和对应的的范围，去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，对分类讨论即可判断．
【详解】解：由题意知，，
，
在坐标系中画出函数的图象如图所示：
由其图象知，当直线，时，，的图象，与直线有且仅有两个不同的交点．
当直线，或时，，的图象，与直线有且仅有三个不同的交点．
当直线，时，，的图象，与直线有且仅有一个不同的交点．
当直线，时，，的图象，与直线无交点．
故选：ABCD．
10．BD
【分析】首先利用函数的值求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数性质的应用判断A、B、C、D的结论．
【详解】解：对于函数的图象关于对称，
故，
由于，所以，所以，
故，
所以；
对于A：由于，所以，故A错误；
对于B：由于，故，故函数在该区间上单调递增，故B正确；
对于C：当时，，故C错误；
对于D：若，则的最小值为，故D正确．
故选：BD．
11．AC
【分析】利用的图象关于直线对称，即可求出的值，从而得出的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可．
【详解】因为的图象关于直线对称，
所以 ，
得，，因为 ，所以，
所以，
对于A：，所以为奇函数成立，故选项A正确；
对于B：时，，函数在上不是单调函数；故选项B不正确；
对于C：因为，，又因为，所以的最小值为半个周期，即，故选项C正确；
对于D：函数的图象向右平移个单位长度得到
，故选项D不正确；
故选：AC
12．BD
【分析】依次求出每个函数的周期即可.
【详解】，其最小正周期为，
的最小正周期为，所以的最小正周期为，
的最小正周期为，所以的最小正周期为，
的最小正周期为
故选：BD
13．
【分析】先根据图象的变换原则得到的解析式为，再由在区间上有且仅有一个零点，根据可判断，即可求解.
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象；
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
若函数在区间上有且仅有一个零点，
因为，
所以，即，
故答案为：
14．
【分析】利用三角函数图象的平移变换求解.
【详解】要得到的图象，可把的图象向左平移个单位，
即可把的图象向右平移个单位，
故答案为：
15．
【分析】求出函数的周期，再由函数与图象间的关系即可得解.
【详解】函数的最小正周期，
函数的图象是函数在x轴上方的不动，将x轴下方的图象关于x轴翻折得到的，
于是得函数的最小正周期是函数的最小正周期的一半，即，
所以函数的最小正周期是.
故答案为：
16．
【分析】求出函数的周期表达式，再由给定条件列式计算作答.
【详解】函数中，，则，因，则，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
17．（1），；（2）①；②最大值为.
【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可；
（2）根据正弦型函数图象的变换性质，得到的解析式.
①根据余弦型函数的单调性进行求解即可；
②根据余弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】解：（1）的最小正周期为，
所以，
即.
又因为，
所以，因为，
所以.
（2）由（1）可知，
函数的图象向右平移个单位长度(纵坐标不变)，
所以.
①由，
得函数的单调递增区间为.
②因为，
所以.
当，
即时，
函数取得最大值，最大值为.
18．(1)
(2)单调递增区间是
【分析】（1）根据公式可求函数的最小正周期；
（2）利用整体法可求函数的增区间.
(1)
∵，
∴最小正周期．
(2)
令，解得，
∴的单调递增区间是．
19．（1）图见解析；（2）或或；（3）当或时，解的个数为0；当或时，解的个数为1；当时，解的个数为3．
【分析】（1）根据正余弦函数的图象即可画出；
（2）讨论的范围根据解析式即可求解；
（3）方程的解的个数等价于与的图象的交点个数，结合图象即可得出.
【详解】（1）的函数图象如下：
（2）当时，，解得，
当时，，解得或，
综上，或或；
（3）方程的解的个数等价于与的图象的交点个数，
则由（1）中函数图象可得，
当或时，解的个数为0；
当或时，解的个数为1；
当时，解的个数为3．
20．图见解析
【分析】将其表示为分段函数的形式，再画出图象即可.
【详解】函数，
其图如下所示：
21．(1)；
(2)
【分析】（1）根据函数经过的特殊点，结合函数的周期性进行求解即可；
（2）根据正弦型函数图象的变换性质可以求出的表达式，然后利用正弦型函数的性质进行求解即可.
（1）
设该函数的最小正周期为，因为，所以，因此有：
，函数图象过点，
，即
，函数图象过点，所以，
因此；
（2）
将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，因此得到，再向右平移个单位长度，
因此得到：，
，
所以不等式的解集为：.
22．(1)
(2)
【分析】（1）由函数图象，得到和，得到，结合图象过点，得到，求得，即可求得的解折式；
（2）根据三角函数的图象变换，得到，根据，得到不等式，进而求得不等式的解集.
（1）
解：由函数图象，可得，，所以，
因为，可得，所以，
又因为图象过点，可得，即，
所以，解得，
又由，所以，所以函数的解折式为.
（2）
解：将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，
由，可得，解得，
所以，
即不等式的解集为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
1．已知函数，则（ ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为3，最小值为-1
C．的最大值为，最小值为
D．的最大值为，最小值为
2．已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．若的图像与的图象关于轴对称，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，最后得到函数，则（ ）
A． B．
C． D．
5．要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
6．函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，则在区间上的零点的个数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．函数的图象与直线的交点个数可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知函数 的图象关于直线对称，则（ ）
A．
B．函数在 上单调递增
C．函数的图象关于点成中心对称
D．若，则的最小值为
11．已知函数的图象关于直线对称，那么（ ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．若，则的最小值为
D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
12．下列函数中，以为最小正周期的函数有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为_______．
14．的图象向右平移单位与重合，则正数的最小值为________．
15．函数的最小正周期是______．
16．若函数，的最小正周期为，且，则的取值范围是______．
四、解答题
17．已知函数的最小正周期为，且.
（1）求和的值.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度(纵坐标不变)，得到函数的图象，
①求函数的单调递增区间；
②求函数在上的最大值.
18．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间．
19．已知函数
（1）作出该函数的图象；
（2）若，求的值；
（3）若，讨论方程的解的个数．
20．作出函数，的大致图像．
21．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式．
(2)将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求不等式的解集．
22．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的解的集合.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．C
【分析】利用换元法求解函数的最大值和最小值即可.
【详解】因为函数，
设，，
则，
所以，，
当时，；当时，.
故选：C
2．D
【分析】根据分类讨论，结合的性质可得．
【详解】由题知，．若，选项C满足；
若，，，其中，，函数周期，选项A满足；若，，，其中，，函数周期，选项B满足；
若，则，且周期为．而选项D不满足以上四种情况，故图象不可能是D．
故选：D．
3．B
【分析】根据、、与的图象特征依次判断即可得到结果.
【详解】对于A，，图象与重合，A错误；
对于B，与图象关于轴对称，与图象关于轴对称，B正确；
对于C，当时，，可知其图象不可能与关于轴对称，C错误；
对于D，将位于轴下方的图象翻折到轴上方，就可以得到的图象，可知其图象与的图象不关于轴对称，D错误.
故选：B.
4．A
【分析】按照函数的平移伸缩变换规则，得到解析式即可
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象的解析式为，
再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，
故选：A
5．A
【分析】利用诱导公式将平移前的函数化简得到，进而结合平移变换即可求出结果.
【详解】因为，
而，故将函数的图象向右平移个单位长度即可，
故选：A.
6．A
【分析】作换元,根据已知求得的范围，然后根据正切函数的性质得到所求函数值域，进而作出判定.
【详解】设,因为，所以，
因为正切函数在上为单调递增函数，且,
所以．
∴函数的值域为，
故选：A．
7．B
【分析】将问题转化为函数与函数的图像交点个数，画出图像即可观察出答案.
【详解】由已知在区间上的零点的个数即为函数与函数的图像交点个数，
两个函数在同一坐标系下的图像如下：
明显函数与函数的图像在上有2个交点
故选：B.
8．C
【分析】求出函数在上的值域后可求实数m的取值范围.
【详解】
,
当时，，所以，
故的值域为，
因为在上有解即在上有解，
故即，
故选：C.
9．ABCD
【分析】根据和对应的的范围，去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，对分类讨论即可判断．
【详解】解：由题意知，，
，
在坐标系中画出函数的图象如图所示：
由其图象知，当直线，时，，的图象，与直线有且仅有两个不同的交点．
当直线，或时，，的图象，与直线有且仅有三个不同的交点．
当直线，时，，的图象，与直线有且仅有一个不同的交点．
当直线，时，，的图象，与直线无交点．
故选：ABCD．
10．BD
【分析】首先利用函数的值求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数性质的应用判断A、B、C、D的结论．
【详解】解：对于函数的图象关于对称，
故，
由于，所以，所以，
故，
所以；
对于A：由于，所以，故A错误；
对于B：由于，故，故函数在该区间上单调递增，故B正确；
对于C：当时，，故C错误；
对于D：若，则的最小值为，故D正确．
故选：BD．
11．AC
【分析】利用的图象关于直线对称，即可求出的值，从而得出的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可．
【详解】因为的图象关于直线对称，
所以 ，
得，，因为 ，所以，
所以，
对于A：，所以为奇函数成立，故选项A正确；
对于B：时，，函数在上不是单调函数；故选项B不正确；
对于C：因为，，又因为，所以的最小值为半个周期，即，故选项C正确；
对于D：函数的图象向右平移个单位长度得到
，故选项D不正确；
故选：AC
12．BD
【分析】依次求出每个函数的周期即可.
【详解】，其最小正周期为，
的最小正周期为，所以的最小正周期为，
的最小正周期为，所以的最小正周期为，
的最小正周期为
故选：BD
13．
【分析】先根据图象的变换原则得到的解析式为，再由在区间上有且仅有一个零点，根据可判断，即可求解.
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象；
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
若函数在区间上有且仅有一个零点，
因为，
所以，即，
故答案为：
14．
【分析】利用三角函数图象的平移变换求解.
【详解】要得到的图象，可把的图象向左平移个单位，
即可把的图象向右平移个单位，
故答案为：
15．
【分析】求出函数的周期，再由函数与图象间的关系即可得解.
【详解】函数的最小正周期，
函数的图象是函数在x轴上方的不动，将x轴下方的图象关于x轴翻折得到的，
于是得函数的最小正周期是函数的最小正周期的一半，即，
所以函数的最小正周期是.
故答案为：
16．
【分析】求出函数的周期表达式，再由给定条件列式计算作答.
【详解】函数中，，则，因，则，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
17．（1），；（2）①；②最大值为.
【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可；
（2）根据正弦型函数图象的变换性质，得到的解析式.
①根据余弦型函数的单调性进行求解即可；
②根据余弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】解：（1）的最小正周期为，
所以，
即.
又因为，
所以，因为，
所以.
（2）由（1）可知，
函数的图象向右平移个单位长度(纵坐标不变)，
所以.
①由，
得函数的单调递增区间为.
②因为，
所以.
当，
即时，
函数取得最大值，最大值为.
18．(1)
(2)单调递增区间是
【分析】（1）根据公式可求函数的最小正周期；
（2）利用整体法可求函数的增区间.
(1)
∵，
∴最小正周期．
(2)
令，解得，
∴的单调递增区间是．
19．（1）图见解析；（2）或或；（3）当或时，解的个数为0；当或时，解的个数为1；当时，解的个数为3．
【分析】（1）根据正余弦函数的图象即可画出；
（2）讨论的范围根据解析式即可求解；
（3）方程的解的个数等价于与的图象的交点个数，结合图象即可得出.
【详解】（1）的函数图象如下：
（2）当时，，解得，
当时，，解得或，
综上，或或；
（3）方程的解的个数等价于与的图象的交点个数，
则由（1）中函数图象可得，
当或时，解的个数为0；
当或时，解的个数为1；
当时，解的个数为3．
20．图见解析
【分析】将其表示为分段函数的形式，再画出图象即可.
【详解】函数，
其图如下所示：
21．(1)；
(2)
【分析】（1）根据函数经过的特殊点，结合函数的周期性进行求解即可；
（2）根据正弦型函数图象的变换性质可以求出的表达式，然后利用正弦型函数的性质进行求解即可.
（1）
设该函数的最小正周期为，因为，所以，因此有：
，函数图象过点，
，即
，函数图象过点，所以，
因此；
（2）
将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，因此得到，再向右平移个单位长度，
因此得到：，
，
所以不等式的解集为：.
22．(1)
(2)
【分析】（1）由函数图象，得到和，得到，结合图象过点，得到，求得，即可求得的解折式；
（2）根据三角函数的图象变换，得到，根据，得到不等式，进而求得不等式的解集.
（1）
解：由函数图象，可得，，所以，
因为，可得，所以，
又因为图象过点，可得，即，
所以，解得，
又由，所以，所以函数的解折式为.
（2）
解：将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，
由，可得，解得，
所以，
即不等式的解集为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页