高中数学（沪教版）必修第一册第4章单元综合测试A（含答案）

一、单选题
1．已知实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．若实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
3．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
4．已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数（，且），记，若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知a、，有以下3个命题：①若，则；②若，则；③若，则．其中真命题的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
8．已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若函数在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”
B．若，则存在区间M使为“弱增函数”
C．若，则为R上的“弱增函数”
D．若在区间上是“弱增函数”，则
10．下列选项中，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数f(x)＝，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
12．下列各式比较大小，正确的是（ ）
A．1.72.5＞1.73 B．
C．1.70.3＞0.93.1 D．
三、填空题
13．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．
14．已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数___________.
15．函数，若，则实数的范围是____________．
16．已知函数为偶函数，当时，，若直线与函数的图象有4个交点，则实数a的取值范围是______．
四、解答题
17．已知定义域为的函数为奇函数．
(1)求的值；
(2)，恒成立，求的取值范围．
18．（1）已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上，求不等式的解集；
（2）已知，求函数的最大值和最小值.
19．已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)求不等式的解集；
(3)若于恒成立，求的取值范围．
20．已知函数．
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求实数m的取值范围．
（提示：可用换元法）
21．设函数（且）的图像经过点.
（1）解关于x的方程；
（2）不等式的解集是，试求实数a的值.
22．（1）若函数的定义域为，求的范围；
（2）若函数的值域为，求的范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】分别求出，，的大致范围，即可比较，，的大小.
【详解】由题意得，，故；
，
因，根据对勾函数得，因此；
由勾股数可知，又因且，故；
因此.
故选：C.
【点睛】指数式、对数式的大小比较，常利用函数的单调性或中间值进行比较，要根据具体式子的特点，选择恰当的函数，有时还需要借助幂函数比较.对于比较的式子，要先化简转化，再比较大小.
2．C
【分析】由指数函数的性质可知是上的增函数；根据题意可知，即，再根据函数的单调性，可得，由此即可得到结果．
【详解】令，由于，均为上的增函数，所以是上的增函数．
因为，所以，即，所以，所以．
故选：C．
3．A
【分析】由幂函数在上是减函数，可得，由充分、必要条件的定义分析即得解
【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；
若幂函数在上是减函数，
则，解得或
故必要性不成立
因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件
故选：A
4．D
【解析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.
【详解】由于函数是定义在上的减函数，
所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有，
即，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数，要注意分析每支函数的单调性及其在分界点处函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
5．C
【解析】先根据题意得幂函数解析式为，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.
【详解】解：因为幂函数的图像过点，
所以，所以，所以，
由于函数在上单调递增，
所以，解得：．
故的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.
6．A
【分析】先根据对数的运算化简得出,再换元,令,然后根据一元二次函数和复合函数的单调性即可列出不等式,解出即得.
【详解】
，令，当时，，令，因为在区间上是减函数，所以在上是减函数，所以，解得，
故选：A．
7．C
【分析】取值验证判断命题①、③；利用对数函数性质分析判断命题②作答.
【详解】当时，取，则，即命题①不正确；
当时，函数，在都是减函数，
于是得，即命题②正确；
当时，取，则，，即不成立，命题③不正确，
所以真命题个数是1.
故选：C
8．A
【分析】分类讨论最值，当时，当时，分别求出最值解方程，即可得解.
【详解】若，则在上单调递减，则，不符合题意；
若，则在上单调递增，则，
又因为的值域为，所以，解得．
故选：A．
9．ABD
【分析】根据“弱增函数”的定义，结合基本初等函数的性质，对四个选项一一判断，即可得到正确答案.
【详解】对于A：在上为增函数，在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确；
对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，，由幂函数的性质可知，在上为减函数，故存在区间使为“弱增函数”，B正确；
对于C：为奇函数，且时，为增函数，由奇函数的对称性可知为R上的增函数，为偶函数，其在时为增函数，在时为减函数，故不是R上的“弱增函数”，C错误；
对于D：若在区间上是“弱增函数”，则在上为增函数，所以，解得，又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，综上.故D正确．
故选：ABD．
10．ACD
【分析】根据对数运算法则和对数函数的单调性，结合基本不等式、对勾函数的单调性判断．
【详解】，所以，A正确；
因为，所以，即，B错误；
，C正确；
由于对勾函数在上是减函数，，
所以，即，D正确．
故选：ACD．
11．CD
【解析】先将问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，作出图象，进行数形结合即得结果.
【详解】方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知，当时有两个交点，当a>1时有且只有一个交点.
故选：CD.
【点睛】方法点睛：已知方程的根的情况，求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
12．BC
【分析】A、B选项利用指数函数的单调性进行比较；C选项利用中间值1比大小；D选项利用指数函数和幂函数的单调性比较．
【详解】解：对于选项A：∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，
∴1.72.5＜1.73，故选项A错误，
对于选项B：＝，
∵函数y＝2x在R上单调递增，且，
∴＝，故选项B正确，
对于选项C：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，
∴1.70.3＞0.93.1，故选项C正确，
对于选项D：∵函数y＝在R上单调递减，且，
∴，
又∵函数y＝在（0，+∞）上单调递增，且，
∴，
∴＜，故选项D错误，
故选：BC．
13．
【分析】问题转化为ax＞对于任意实数x恒成立，然后对x分类，再由配方法求最值，即可求得实数a的取值范围．
【详解】解：∵函数的定义域是R，
∴+ax＞0对于任意实数x恒成立，
即ax＞对于任意实数x恒成立，
当x＝0时，上式化为0＞﹣1，此式对任意实数a都成立；
当x＞0时，则a＞＝，
∵x＞0，∴，则≥，
则≤，可得a＞；
当x＜0时，则a＜，
∵x＜0，∴，则＞1，
则＞1，可得a≤1．
综上可得，实数a的取值范围是．
故答案为：．
14．答案不唯一
【分析】由变形到可考虑对数函数，然后根据单调性以及“”可考虑构造对数型函数.
【详解】由题意可知，可变化为的形式，由此可想到对数函数，
又因为在上是减函数且，
所以满足条件的一个函数可取，
故答案为：(答案不唯一).
15．
【分析】根据解析式可判断是定义在上的奇函数且在上单调递增，转化不等式即可求解.
【详解】，，
是定义在上的奇函数，且显然在上单调递增，
由可得，
，解得.
故答案为：.
16．
【分析】根据函数为偶函数得到函数的解析式，画出函数图像，根据图像得到答案.
【详解】当时，，则，
故，，，
由题知的图像如图所示．
因为直线与函数的图象有4个交点，所以实数a的取值范围是．
故答案为：.
17．(1)1
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质和定义进行求解即可；
（2）根据函数的单调性和奇偶性及一元二次函数的恒成立进行求解即可.
（1）
因为是定义在上的奇函数，
所以，则（经检验，时为奇函数，满足题意）．
（2）
因为是奇函数，所以不等式等价于，
又由（1）知，易知是上的减函数，
所以，即对任意的有恒成立，
从而对应方程的根的判别式，解得．
所以的取值范围为．
18．（1）；（2），.
【分析】（1）结合指数函数性质首先求的值，再解指数不等式；
（2）通过换元，设，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值.
【详解】（1）由题意知定点A的坐标为，
∴解得.
∴.
∴由得，.
∴.
∴.
∴.
∴不等式的解集为.
（2）由得令，则，
.
∴当，即，时，，
当，即，时，.
【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查求对数型函数的值域，求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数，然后求解．
19．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用换元法，结合二次函数的性质求得函数在区间上的值域.
（2）结合一元二次不等式、对数不等式的解法来求得不等式的解集.
（3）利用换元法并分离常数，结合函数的单调性求得的取值范围.
（1）
令，，则，
函数转化为，，
则二次函数，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5，
故当时，函数的值域为.
（2）
由题得，令，则，即，解得或，
当时，即，解得；当时，即，解得，故不等式的解集为或．
（3）
由于对于上恒成立，
令，，则即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，它的最大值为，
故时，对于恒成立．
20．(1)
(2)
【分析】（1）令，可得，利用二次函数的性质即可求出；
（2）令，可得在上恒成立，求出的最大值即可.
(1)
令，，则，函数转化为，，
则二次函数，，
当时，，当时，，
故当时，函数的值域为．
(2)
由于对于上恒成立，
令，，则
即在上恒成立，所以在上恒成立，
因为函数在上单调递增，所以最大值为，
故时，原不等式对于恒成立．
21．（1）或；（2）.
【分析】(1)根据给定条件求出m值，并代入方程，再解方程即得.
(2)由给定解集借助对数函数单调性求出范围，换元借助一元二次不等式即可得解.
【详解】（1）由已知得，即，则，于是得，
方程，
从而得或，即或，或，
所以原方程的根为或；
（2）依题意，函数中，，从而得.
又，令，
即一元二次不等式的解集为，
因此有-1，2是关于的方程的两根，则，
所以实数a的值为2.
22．（1）；（2）.
【分析】（1）将问题转化为对恒成立，分别在和的情况下进行讨论，从而求得结果；
（2）将问题转化为是的值域的子集的问题，分别在和的情况下根据包含关系构造不等式求解即可.
【详解】（1）的定义域为，对恒成立；
当时，不等式变为，即，不合题意；
当时，若恒成立，则，解得：；
综上所述：实数的取值范围为；
（2）设的值域为，
的值域为，；
当时，，则，满足题意；
当时，若，则，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页