高中数学（沪教版）必修第二册第7章单元综合测试C（含答案）

一、单选题
1．函数在区间上单调递增，且存在唯一，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．函数（，），已知，且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数的值域为，则（ ）
A． B． C．或 D．或
5．设函数在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．在△中，角、、所对的边分别为，，，△的面积为，则（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值1
7．若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数在上单调，且，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
10．在锐角中，角，，所对边分别为，，，外接圆半径为，若，，则（ ）
A．
B．
C．的最大值为3
D．的取值范围为
11．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．关于点对称
C．在上单调递增
D．若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为
12．已知为上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．若的一个零点为，且，则
C．在区间的零点个数为3个
D．若大于1的零点从小到大依次为，则
三、填空题
13．已知函数 (ω>0)，若在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是________.
14．已知函数，若的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值是______．
15．的最大值为________．
16．已知函数，下列关于函数的说法正确的序号有________.
①函数在上单调递增；
②是函数的周期；
③函数的值域为；
④函数在内有4个零点.
四、解答题
17．随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．
(1)按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计算限定高度CD的值．（精确到0.1m）（下列数据提供参考：，，）
(2)在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，在其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F．
①若小汽车卡在直角车道内（即A、B分别在PE、PF上，点O在CD上）（rad），求水平截面的长（即AB的长，用表示）
②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？
18．如图有一块半径为4，圆心角为的扇形铁皮，是圆弧上一点（不包括，），点，分别半径，上．
(1)若四边形为矩形，求其面积最大值；
(2)若和均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围．
19．已知函数的振幅为2，初相为，函数的图象关于轴对称.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)函数，，若恒成立，求的取值范围.
20．已知函数，.
（1）当时，写出的单调递减区间（不必证明），并求的值域；
（2）设函数，若对任意，总有，使得，求实数t的取值范围.
21．已知函数．
(1)当时，恒成立，求实数m的取值范围；
(2)是否同时存在实数a和正整数n，使得函数在上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由．
22．已知函数的图象关于直线对称.
(1)若的最小正周期为，求的解析式.
(2)若是的零点，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】由其在闭区间上递增，而在为增函数，列不等式组求的范围，又存在唯一，使得，而，即，求的范围，取交集即可.
【详解】由正弦函数性质，有，即，
∵在上单调递增，
∴，则，，又，即，
又存在唯一，使得，而此时，
∴，得，
综上，有.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：由区间单调性，结合正弦函数的单调区间列不等式组，在闭区间中有，其中存在唯一最大值，则，求参数范围.
2．D
【分析】结合正弦函数的最值，对称性求的值，再结合单调性确定的最大值.
【详解】∵ ，，
∴ ，，
又对于任意的都有，
∴ ，，
∴ ，又，
∴ 或，
当时， ，且，
当时，，
若，则，
∴在上不单调，C错误，
当时， ，且，
当时，，
若，则，
∴在上不单调，A错误，
当时，，
若，则，
∴在上单调，D正确，
故选：D.
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质求函数解析式的关键在于转化为正弦函数的问题.
3．C
【分析】先由零点个数求出，再用整体法得到不等式组，求出的取值范围.
【详解】，，其中，解得：，
则，要想保证函数在恰有三个零点，满足①，
，令，解得：；或要满足②，，
令，解得：；经检验，满足题意，其他情况均不满足条件，
综上：的取值范围是.
故选：C
【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，确定的范围，本题中就要根据零点个数，先得到，从而求出，再进行求解.
4．C
【分析】由题可得，令，设，则，再利用二次函数的性质分类讨论即求.
【详解】∵，
∴，
令，设，则，
当时，在上单调递减，
∴，解得，∴，
当时，在上单调递增，
∴，解得，∴，
当时，，无解，
当时，，无解.
综上，或.
故选：C.
5．D
【分析】先令，求得或，再根据题意尝试的值可确定，进而得到的4个零点，结合题意排除其中1个零点有两种情况，分别求之即可得到的取值范围.
【详解】∵，即，
∴或，，
∴或，，
∵，即，
∴当时，且，即所有根都小于零，
当时，且，即所有根都大于，
综上：，即在内的三个零点为，，，中的三个.
由于上述4个值是依次从小到大排列，且，
故有两种情况，分别为：
，解得，故，
或，解得，故，
故或，即.
故选：D．
6．C
【分析】A、B由三角形面积公式及余弦定理判断；C由A、B分析，结合辅助角公式、正弦函数性质即可确定目标式最大值；D根据C的分析，结合基本不等式可得，应用同角三角函数关系及三角形内角性质求得，根据A的结论即可求目标式最大值.
【详解】△的面积为，则， A错误；
由且，则，B错误；
由，则，
所以且，故的最大值为，C正确；
由C分析知：，当且仅当时取等号，则，
故，即，即，解得，又，
所以，而，故的最大值为， D错误.
故选：C．
7．B
【分析】利用已知条件可得，则为奇函数，构造即可知为奇函数，又由上存在最大、最小值，易知最小、最大值的和为0，即可求最大、最小值的和.
【详解】由题设，且，
∴，则，
∴为奇函数，令，
∴，即是奇函数，
∴在上的最小、最大值的和为0，即，
∴.
故选：B
【点睛】关键点点睛：由题设求出，构造奇函数，根据区间内存在最值可知，进而求最值的和.
8．A
【分析】先由三角函数图象平移规则求得函数，再利用正弦曲线的零点即可求得的取值范围
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数
由函数在上没有零点，则，则
由，可得
假设函数在上有零点，
则，则
由，可得
又，则
则由函数在上没有零点，且，可得
故选：A
9．ACD
【分析】根据三角函数的周期性、对称性以及函数值相等与周期之间的关系可求得的值.
【详解】本题考查三角函数的图象及其性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
设的最小正周期为T，则由题意可得，即.由在上单调，且，得的一个零点为.因为，所以有以下三种情况：①，则；②，则；③，则.
故选：ACD.
10．ACD
【分析】由正弦定理求外接圆半径；由题设知，结合即可求范围；由余弦定理及基本不等式求的最大值，注意取最大的条件；由C分析有，结合正弦定理边角关系及的范围，应用二倍角正余弦等恒等变换，根据三角函数的值域求范围.
【详解】由题设，外接圆直径为，故，A正确；
锐角中，则，故，B错误；
，则，当且仅当时等号成立，C正确；
由C分析知：，而，
又且，
则
，而，
所以，则，
所以，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项，应用边角关系及角的范围，结合三角恒等变换将转化为三角函数性质求范围.
11．ACD
【分析】先利用辅助角公式化简，再通过图像平移求得新的函数，从而利用关于轴对称求得，由此得到的解析式，最后结合三角函数的性质即可对选项逐一判断.
【详解】因为，
所以把的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，
因为关于轴对称，所以，，即，，
又因为，所以，，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，由，得，
所以当时，的单调递增区间为，
又因为，所以在上单调递增，故C正确；
对于D，若函数在上存在最大值，
由选项C可知，在上单调递增，且，即在时取得最大值，
所以，即实数的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
12．ABD
【分析】运用奇函数的定义和诱导公式可判断A；由零点的定义和同角三角函数关系可判断B；由零点的定义和图象的交点个数，可判断C；由时，和的图象，结合正切函数的性质，可判断D.
【详解】因为，
所以函数为奇函数，故A正确；假设，即，时，
，
所以当，时，，
当，时，，
当，，则，由于的一个零点为，则，故B正确；
如图：
当时，令，，则大于0的零点为，，的交点，由图可知，函数在区间的零点有2个，由于函数为奇函数，则函数在区间的零点有1个，并且，所以函数在区间的零点个数为4个，故C错误；
由图可知，大于1的零点，，，所以，
而，故推出，故D正确.
故选：ABD.
13．
【分析】由在上恰有两个零点，令，，可得，令，，可得f(x)在上单调递增，从而有，联立求解即可得答案.
【详解】解：由题意，令，，得x＝，，
∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为，，
∴，解得，
令，，
∴，，
令k＝0，f(x)在上单调递增，
∴，
∴，解得，
综上，ω的取值范围是.
故答案为：.
14．13
【分析】根据的对称轴，以及其单调性，初步求得的取值范围，再对取值进行验证，即可求得结果.
【详解】由题意可得，，则，．
因为在上单调，所以，所以，即，解得，
则，即．
当时，在上不单调，所以，即不符合题意；
当，即时，在上单调，所以，即符合题意，故的最大值是13．
故答案为：.
【点睛】本题考察三角函数中的参数范围问题，解决问题的关键是充分挖掘函数对称性和单调性，属困难题.
15．
【分析】利用三角函数换元，结合辅助角公式得，即可得解.
【详解】由题意得：，解得：，所以函数的定义域为：.
设，
则，
其中，
显然当时，取得最大值为.
故答案为：.
16．①③④
【分析】①化简解析式，求出范围，根据正弦函数的单调性即可判断；
②根据奇偶性举特例验证f(x＋2π)与f(x)关系即可；
③分类讨论求出f(x)解析式，研究在x≥0时的周期性，再求出值域即可；
④根据值域和单调性讨论即可.
【详解】∵函数，定义域为R，，∴为偶函数.
当时，，，
，此时正弦函数为增函数，故①正确；
∵，
∴，
而，
∴不是函数的周期，故②错误；
当或，k∈Z时，，
此时，
当，k∈Z时，，
此时，
故时，是函数的一个周期，
故考虑时，函数的值域，
当时，，，此时单调递增，
当时，，，此时单调递减，
；
当时，，，此时，
综上可知，，故③正确；
由③知，时，，且函数单调递增，故存在一个零点，
当时，，且函数单调递减，故存在一个零点，
其他区域无零点，
故当时，函数有2个零点，
∵函数为偶函数，∴函数在内有4个零点.故④正确；
故答案为：①③④.
17．(1)2.8m；
(2)①，；②小汽车能够顺利通过直角转弯车道.
【分析】（1）根据给定条件，在两个直角三角形中，利用直角三角形边角关系计算作答.
（2）①利用给定图形结合直角三角形锐角三角函数定义，用表示EF，BE，CF即可作答；
②由①的结论，利用换元法并借助函数单调性，求出AB长的最小值作答.
（1）
图1中：在中，，，，又，
则(m)，而m，有(m)，
在中，，，，
则(m)，
结合实际意义，四舍五入会使车辆卡住，可以使用去尾法，则m，
所以限定高度的值约为2.8m.
（2）
①图2中：依题意，则，，，，
又，设，
，；
②由①知，设，则，，，
则，
而，函数在上单调递增，则在上是减函数，
于是得当，即时，，
所以小汽车能够顺利通过直角转弯车道.
【点睛】思路点睛：涉及含有和的三角函数值域或最值问题，可以通过换元转化为整式函数或分式函数在某区间上的值域或最值问题解答.
18．(1)8；
(2).
【分析】(1)连接OP，令，用表示出矩形的面积，再借助三角函数计算作答.
(2)利用(1)中信息，用表示出和的面积和，再换元变形结合二次函数性质计算作答.
(1)
连接OP，如图，令，
因四边形为矩形，则，
于是得矩形的面积，而，
则当，即时，取最大值1，即有，
所以矩形面积最大值为8.
(2)
由(1)知，，则，，
和的面积和：
，
令，即，而，则，
，
则，显然在上单调递减，
当，即时，，而，因此，，
所以和的面积和的取值范围是：.
【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.
19．(1)最小正周期，单调递增区间为，
(2)
【分析】（1）根据振幅，初相及对称性求出的解析式，进而求出最小正周期，单调递增区间；（2）对进行化简整理，换元，转化为在上恒成立，利用对勾函数单调性求出最值，从而求出的取值范围.
(1)
由题意可知，.
令.
∵的图象关于轴对称，
∴，∴，，
∴，.
∵，∴，∴，
∴函数的最小正周期.
令，，
解得，，
∴函数的单调递增区间为，.
(2)
.
令，
∵，∴，
∴恒成立等价于在上恒成立.
易知.
由函数在上单调递增可得：，
∴，∴，
即的取值范围为.
20．（1）单调递减区间为；值域为；（2）.
【分析】（1）由对勾函数的图像，直接写出递减区间和值域；
（2）先求出的值域，把对任意，总有，使得转化为两个值域的包含关系，解不等式即可.
【详解】（1）当时，的图像如图示，
∴的单调递减区间为；值域为
（2），由知：，
∵上递减；上递增；
∴在上单增，在上单减，
∴在上的值域为，记B=
设的值域为A，要使“对任意，总有，使得”，只需.
对于：
当时，在上单增，有，
此时，只需，解得：.
当时，在上单减，值域为；在上单增，值域为，
此时，只需，解得：；
当时，在上单减，有，
此时，只需，无解.
综上：.
∴实数t的取值范围为
【点睛】方法点睛：含双量词的数学问题中参数范围的求解分为两大类：
（1）不等式型转化为最值的比较；
（2）等式型的转化为值域的包含关系.
21．(1)；
(2)存在；当时，；当时， ；当时， .
【分析】（1）求得在区间上的值域，根据二次函数在区间上恒成立问题的等价转化，即可求得的不等关系，求解即可；
（2）根据题意，对参数进行分类讨论，
(1)
当时， ，
，则
要使对任意恒成立，
令，则对任意恒成立，
只需，解得，
实数的取值范围为．
(2)
假设同时存在实数和正整数满足条件，函数在上恰有2021个零点，
即函数与直线在上恰有2021个交点，
故数形结合分类讨论如下：
①当或时，函数与直线在上无交点；
②当或时，函数与直线在上仅有一个交点，
此时要使函数与直线在上有2021个交点，则；
③当或时，函数直线在上有两个交点，
此时函数与直线在上有偶数个交点，不可能有2021个交点，不符合；
④当时，函数与直线在上有3个交点，
此时要使函数与直线在上恰有2021个交点，则；
综上所述，存在实数和正整数满足条件：
当时，；当时， ；当时， .
【点睛】本题考查三角函数值域的求解以及图象的绘制、涉及恒成立问题的处理，以及函数零点问题的求解，属综合困难题.
22．(1)
(2)存在实数，使得在上单调，且的取值集合为
【分析】（1）根据的最小正周期为可得，再结合图象关于直线对称，代入到对称轴的表达式求解可得；
（2）根据为的零点，为图象的对称轴，可分别代入对称点与对称轴的表达式，进而求得的表达式，可得为正奇数，再根据在上单调，可得，进而分别代入讨论是否成立即可.
（1）
因为的最小正周期为，所以.
因为，所以.
因为的图象关于直线对称，所以，，
即，.因为，所以.
故.
（2）
因为为的零点，为图象的对称轴，
所以①，②，，.
得，所以.
因为，，所以，即为正奇数.
因为在上单调，所以，即，解得.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递增，在上单调递减，
故在上不单调，不符合题意.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意.
综上，存在实数，使得在上单调，且的取值集合为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页