高中数学（沪教版）必修第一册第4章单元综合测试B（含答案）

一、单选题
1．设函数若任意给定的，都存在唯一的非零实数满足，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知则（ ）
A． B． C． D．
3．定义“正对数”：，现有四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则，其中错误命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知函数且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．三个数，，的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
6．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知m＝log4ππ，n＝log4ee，p＝，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（　　）
A．p＜n＜m B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m
8．已知关于的不等式在上恒成立（其中、），则（ ）
A．当时，存在满足题意 B．当时，不存在满足题意
C．当时，存在满足题意 D．当时，不存在满足题意
二、多选题
9．已知函数在区间I上连续，若对于任意，，且，都有，则称函数为区间I上的下凸函数，下列函数在定义域上为下凸函数的是（ ）
A．
B．
C．，
D．
10．若不等式在区间上恒成立，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，函数满足.则（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．若实数、满足，则
D．若函数与图象的交点为、、，则
三、填空题
13．已知函数，则不等式的解集是__________
14．已知函数，若不等式（e是自然对数的底数），对任意的恒成立，则整数k的最小值是___________
15．若，在定义域上是单调函数，则的取值范围_______.
16．已知函数，，若，，使得，则______．
四、解答题
17．已知函数，，.
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)求函数在区间上的最大值；
(3)若对，，使得成立，求实数的取值范围.
18．已知函数，，其中且.
（1）若，
（i）求函数的定义域；
（ii）时，求函数的最小值；
（2）若当时，恒有，试确定的取值范围.
19．已知函数.
（1）判断函数的奇偶性以及单调性，并加以证明；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.
20．函数，a为参数，
(1)解关于x的不等式；
(2)当，最大值为M，最小值为m，若，求参数a的取值范围；
(3)若在区间上满足有两解，求a的取值范围
21．已知是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）解不等式；
（3）记，若对任意的成立，求实数的取值范围.
22．已知函数.
(1)求在上的最大值；
(2)设函数的定义域为I，若存在区间，满足:对任意，都存在(其中表示A在I上的补集)使得，则称区间A为的“Γ区间”.已知，若为函数的“Γ区间”，求a的最大值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】结合函数的图象及值域分析，当时，存在唯一的非零实数满足，然后利用一元二次不等式的性质即可得结论.
【详解】解：因为，所以由函数的图象可知其值域为，
又时，值域为；时，值域为，
所以的值域为时有两个解，
令，则，
若存在唯一的非零实数满足，则当时，，与一一对应，
要使也一一对应，则，，任意，即，
因为，
所以不等式等价于，即，
因为，所以，所以，又，
所以正实数的取值范围为.
故选：A.
2．A
【分析】利用中间值进行比较﹒
【详解】∵，∴4＞，∴，即a＞c，
同理，∵，∴3＞，∴，即b＞c，
∵，∴4＞，∴；
∵，∴3＜，∴，
∴a＞b
综上，a＞＞b＞，
故选：A
3．A
【分析】对于①，由“正对数”的定义分别对、分，；，两种情况进行推理；对于②，通过举反例说明错误；对于③④，分别从四种情况，即当，时；当，时；当，时；当，时进行推理．
【详解】因为定义的“正对数”：是一个分段函数 ，所以对命题的判断必须分情况讨论：
对于命题①（1）当，时，有，
从而，，所以；
（2）当，时，有，从而，，
所以；这样若，则，即命题①正确.
对于命题②举反例：当时，，，
所以，即命题②不正确.
对于命题③，首先我们通过定义可知“正对数”有以下性质：，且，
（1）当，时，，而，
所以；
（2）当，时，有，，而，
因为，所以；
（3）当，时，有，，
而，所以；
（4）当，时，，而，
所以，综上即命题③正确.
对于命题④首先我们通过定义可知“正对数”还具有性质：若，则，
（1）当，时，有，
从而，，
所以；
（2）当，时，有，
从而，
，
所以；
（3）当，时，与（2）同理，所以；
（4）当，时，，，
因为，所以，
从而，综上即命题④正确.
通过以上分析可知：错误的命题为②.
故选：A
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用对数函数的性质得出，且，再讨论的值，得出错误命题.
4．B
【分析】易知函数为奇函数，且在R上为增函数，则可化为，则即可解得a的范围.
【详解】函数，定义域为，
满足，
∴，令，∴，∴为奇函数，
，
∵函数，在均为增函数，
∴在为增函数，
∴在为增函数，
∵为奇函数，∴在为增函数，∴，解得.
故选：B.
5．D
【分析】结合对数恒等式进行变换，利用对数函数的单调性即可证明，由此得出三者的大小关系.
【详解】，由于，，所以，所以，即，而，所以，所以，即，所以.
故选：D
6．C
【分析】利用对数函数的性质及放缩法有、，可比较，的大小，再由并构造，根据其单调性即可确定，的大小.
【详解】由题意，，，
∴，
由，则，而在上递增，
∴，故，即，
∴.
故选：C
7．C
【分析】根据已知条件，应用对数函数的单调性、对数的换底公式，可比较m，n，的大小关系，再由指数的性质有p＝，即知m，n，p的大小关系.
【详解】由题意得，m＝log4ππ，
，
∵lg4＞lgπ＞lge＞0，则lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lge，
∴，
∴，而p＝，
∴n＜m＜p．
故选：C．
8．D
【分析】本题首先可根据题意得出函数满足有一零点为、当时、当时，然后对四个选项依次进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.
【详解】因为关于的不等式在上恒成立，
所以必需要满足、，
即对于函数，必有一零点为且零点左右函数值符号不同，
即当时，；当时，，
A项：，，令，，，
此时，不满足零点左右函数值符号不同，A错误；
B项：，，令，，，
此时，存在满足题意，B错误；
C项：，，令，，，
此时，不满足零点左右函数值符号不同，C错误；
D项：，，令，，，
此时，不满足当时且当时，，
即不存在满足题意，D正确，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立的相关问题的求法，主要考查二次函数性质以及对数函数性质，能否根据题意将不等式转化为函数满足有一零点为、当时、当时是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是难题.
9．ACD
【分析】利用下凸函数的定义逐项分析即得.
【详解】对于A，由，可知，任意，，且，
则
，故A正确；
对于B，，，函数在定义域上不连续，故B错误；
对于C，，，任意，，且，
∴，
∵，
∴
，
即，故C正确；
对于D，，可知，任意，，且，
∵，，，
∴ ，故D正确．
故选：ACD．
10．BC
【分析】先由与的性质得到，再由函数单调性的加减性质得到的单调性，从而求得，由此得到的取值范围，从而得解.
【详解】因为在区间上恒成立，而，
所以在上恒成立，故，即，则在上单调递减，
令，又因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以，则，即，解得，
所以，
由此易得AD错误，BC正确.
故选：BC.
11．BC
【分析】作差法判断选项A；利用对数函数单调性判断选项B；利用幂函数指数函数对数函数的单调性去判断选项C；举反例排除选项D.
【详解】选项A：
由，可得，
则，，
则，则.判断错误；
选项B：由，可得为上减函数，
又，则.判断正确；
选项C：由，可知为R上减函数，又，则
由，可知为上增函数，又，则，则
又为上增函数，则，则.判断正确；
选项D：令，则，
，
则，即.判断错误.
故选：BC
12．AC
【分析】计算得出，可判断A选项；利用函数对称性的定义可判断B选项；分析函数的单调性，可判断C选项；利用函数的对称性可判断D选项.
【详解】对于A选项，对任意的，，
所以，函数的定义域为，
，
所以，，A对；
对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，B错；
对于C选项，对于函数，该函数的定义域为，
，即，
所以，函数为奇函数，
当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，
所以，函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，
因为函数在上连续，故函数在上为增函数，
又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，
因为实数、满足，则，可得，即，C对；
对于D选项，由上可知，函数与图象都关于点对称，
由于函数与图象的交点为、、，
不妨设，若，则函数与图象的交点个数必为偶数，不合乎题意，
所以，，则，由函数的对称性可知，点、关于点对称，
则，，故，D错.
故选：AC.
【点睛】结论点睛：判断函数的对称性，可利用以下结论来转化：
①函数的图象关于点对称，则；
②函数的图象关于直线对称，则.
13．
【分析】令得，令并判断其奇偶性、单调性，由题设不等式等价于，结合的性质求解集.
【详解】令，则，故，
令，则，故为奇函数，且在定义域上单调递增，
由等价于，
所以，故，可得，
故不等式解集为.
故答案为：
14．4
【分析】根据解析式可判断是奇函数且在R上是增函数，则可将不等式转化为对任意的恒成立，即可求解.
【详解】因为函数的定义域为R，关于原点对称，
又，所以是奇函数，
又在R上是增函数，
所以对任意的恒成立，
等价于：对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，因为，所以，
所以，解得，所以整数k的最小值是4.
故答案为：4.
15．.
【分析】分段函数为单调函数先要满足每段都要是单调性相同的单调函数，还要满足两段合在一起整体上也要是单调的，分类讨论列出限制条件解决.
【详解】在定义域上是单调函数，
①函数的单调性是增函数时，可得当时，
即，解之得，
时，是增函数，
时 是增函数，，得或，
综上实数的取值范围是；
②函数的单调性是减函数时，可得当时，
即，解之得或，
时，是减函数，
又时， 减函数，
，得或
综上：实数的取值范围是；
综上所述：的取值范围为。
故答案为：.
16．78
【分析】根据题意可知，y＝f(x)的值域应该是y＝值域的子集，据此即可求解m﹒
【详解】时，，
时，，
∵，，
由题意可知，，
∴，，∴，∴﹒
故答案为：78．
17．(1)最小值为4；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】（1）通过基本不等式即可求得答案；
（2）设，将函数转化为，然后讨论函数对称轴与区间端点的大小关系，进而求出函数的最大值；
（3）将问题转化为，然后结合（2）求得答案.
（1）
当时，，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以，函数在区间上的最小值为4.
（2）
，，令，则上述函数化为，.
因为，所以对称轴，当，即时，函数在上单调递减，所以当时，；当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以；
当，即时，函数在上单调递增，所以.
综上，当时，的最大值为；当时，的最大值为；当时，的最大值为.
（3）
对，，使得成立，等价于成立，即，由（1）可知，当时，，因此，只需要.
所以当时，，解得，所以；
当时，，解得或，所以，；当时，，解得，此时解集为空集；
综上，实数m的取值范围为.
18．（1）（i）；（ii）；（2）.
【解析】（1）(i)把代入，可得答案；
(ii)时，，求得，利用动轴定区间讨论求得函数最小值；
（2）由得，
令，其对称轴为，讨论在上单调性，可得在上单调递减，得答案.
【详解】（1）(i)时，，
，解得，
当时，函数的定义域是；
(ii)时，，
，
令，，，
即求函数在的最小值.
对称轴，
①当，即时，函数在上单调递增，
当时函数取最小值，最小值为；
②当，即时，函数在上单调递减，
当时函数取最小值，最小值为；
③当，即时，当时函数取最小值，
最小值为；
综上，时，函数的最小值为
.
（2）由得，即，
，即，
由可得：，
即，也即，
令，其对称轴为，
，，在上单调递增，
在上单调递减，
，，
又，则，解得，
所以的取值范围为.
【点睛】本题考查了函数解析式的求法，函数的最值，函数恒成立的问题，综合性较强，所谓“动轴定区间法”，轴动区间定：比较对称轴与区间端点的位置关系，根据函数的单调性数形结合判断y的范围，需要分类讨论.
19．（1）为偶函数，在上是增函数，在上是减函数，证明见解析；（2）.
【解析】（1）本题首先可通过判断出函数为偶函数，然后取，令，，再然后通过二次函数性质判断出是增函数，通过定义法判断出函数是增函数，即可判断出当时函数是增函数，最后通过偶函数性质即可判断出函数的单调性；
（2）本题首先可根据函数将不等式转化为在上恒成立，然后求出以及的取值范围，即可得出结果.
【详解】（1）因为函数的定义域为，且，
所以函数为偶函数，
当时，令，，则是增函数，
任取、，且，
则
，
因为，所以，，，
故在上是增函数，在上是增函数，
根据偶函数性质易知，函数在上是减函数，
综上所述，函数为偶函数，在上是增函数，在上是减函数.
（2）结合偶函数性质以及函数的单调性易知，
不等式即，
转化为，
则不等式对任意恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
，
，
故，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数奇偶性以及单调性的判断以及奇偶性与单调性的灵活应用，若函数是偶函数，则函数满足，考查定义法判断函数单调性，考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.
20．(1)当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
(2)
(3)
【分析】（1）分，，进行讨论，可得不等式的解集；
（2）对化简可得是开口向上，以为对称轴的二次函数，分，进行讨论，由题意结合二次函数的性质可得参数a的取值范围；
（3）由题意可得所在的区间，可得a的取值范围，同时由有两解，可得有两解，结合二次函数的性质可列出关于a的不等式组，综合可得a的取值范围.
(1)
由题意可得：，
当时，，不等式的解为或；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为或；
综上：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
(2)
由题意：，
即是开口向上，以为对称轴的二次函数，
当时，即时，
满足，即，解得；
当时，即时，有，可得，故a不存在；
综上可得参数a的取值范围；
(3)
由题意：，可得且，
且，解得或，由因为的对称轴为，
故可得在上单调递减，在上单调递增，
故当或时，不可能有两解，
故，解得①
由有两解，可得有两解，由是开口向上，以为对称轴的二次函数可知，只需
②
联立①②求得：
故a的取值范围为.
21．（1）；（2）或；（3）.
【分析】（1）利用偶函数的定义求解；
（2）先分析原函数的单调性，再结合奇偶性解不等式；
（3）先写出函数，然后将转化为，即恒成立，转化为二次不等式恒成立问题求解.
【详解】（1）因为是偶函数，则对任意实数恒成立，
即，
对任意实数恒成立，则；
（2），，
当时，，在上是增函数，
又因为是偶函数，
∴，
两边平方可得，解得或；
故不等式的解集为或；
（3），问题即为恒成立，显然，
首先对任意成立，即，
因为，则，所以，
其次，，即为，
即成立，
亦即成立，
因为，所以对于任意成立，
即所以，
综上，实数的取值范围为.
【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，其中函数与不等式的结合求参问题是难点，考查学生分析转化问题的能力.
22．（1）答案见解析；（2）1.
【解析】（1）作出函数的图象，分， ，利用数形结合法求解.
(2)根据对任意，都存在使得，分，，分别求得在和上的值域，利用集合法求解.
【详解】（1）函数的图象如图所示：
当时，的最大值为，
当时，的最大值为.
(2) 当时，在上的值域为，在上的值域为，
因为满足:对任意，都存在使得，
所以 ，成立；
此时为函数的“Γ区间”，
当时，在上的值域为，在上的值域为，
当时， ，所以， ，
即存在，对任意使得，
所以不为函数的“Γ区间”，
所以a的最大值是1.
【点睛】方法点睛：双变量存在与恒成立问题：
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 的值域是的子集；
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页