高中数学（沪教版）必修第一册第4章单元综合测试C（含答案）

一、单选题
1．给出下列函数，其中在上是增函数且不存在零点的函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，则函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，，， D．，，，，
5．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
6．已知f(x)=，则f(4)+f(-4)=（ ）
A．63 B．83 C．86 D．91
7．已知集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
8．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．若，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
11．在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．若，则 D．若，则
三、填空题
13．已知，若函数在上单调递减，且为偶函数，则______．
14．对数型函数的值域为，且在上单调递增，则满足题意的一个函数解析式为______．
15．幂函数的图象经过点，则=____.
16．已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是___________．
四、解答题
17．已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)．
（1）若f(2)＝，求f(x)解析式；
（2）讨论f(x)奇偶性．
18．已知定义在上的函数为偶函数.
(1)求的值，并判断在上单调性（只作判断，不用说明理由）；
(2)若，求的范围.
19．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．
（1）求f(x)的表达式；
（2）判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．
20．已知，且，，比较和的大小.
21．已知函数（，）
（1）当时，求函数的定义域；
（2）当时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围.
22．已知幂函数为偶函数，
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的最大值为2，求实数的值．
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试卷第1页，共1页
参考答案：
1．A
【分析】利用初等函数的图像与性质以及图像的变换的知识进行判断.
【详解】对于A选项，函数在上是增函数且不存在零点，故A正确；
对于B选项，函数的零点是1，故B错误；
对于C选项，函数在上是减函数，故C错误；
对于D选项，函数在上是减函数，故D错误．
故选：A．
2．A
【分析】根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.
【详解】与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，
该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．
故选：A
3．D
【分析】法一：根据题意列出不等式组解出即得；法二：利用排除法赋值，，即可判断．
【详解】法一：由题意得，解得且，∴函数的定义域为．
法二：由题意得，当时，函数无意义，排除A，C；当时，函数有意义，排除B．
故选：D．
4．C
【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.
【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.
故选：C．
5．A
【分析】利用换元法求解，先求出函数的定义域，然后换元，令，则，求出函数的单调区间，再利用“同增异减”可求得答案
【详解】解：由，得，得或，
令（或），则，
因为二次函数在单调递减，在上单调递增，而在定义域内单调递增，
所以的单调递减区间为，
故选：A
6．C
【分析】由给定条件求得f(-4)=f(5)，f(4)=f(7)，进而计算f(5)、f(7)的值，相加即可得解.
【详解】依题意，当x<5时，f(x)=f(x+3)，于是得f(-4)= f(-1)=f(2)=f(5)，f(4)=f(7)，
当x≥5时，f(x)=2x-x2，则f(5)=25-52=7，f(7)=27-72=79，
所以f(4)+f(-4)=86.
故选：C
7．C
【分析】由题可得，集合B为正整数集，从而与集合A求交集可得结果.
【详解】解：时，恒成立，又，故集合B为正整数集
.
故选：C.
8．A
【分析】先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果
【详解】由，得，
令，则，
在上递增，在上递减，
因为在定义域内为增函数，
所以的单调递减区间为，
故选：A
9．AD
【分析】构造函数，利用函数的单调性可得出、的大小关系，利用函数的单调性、中间值法可判断各选项的正误.
【详解】由，得，令，则．
因为，在上都是增函数，所以在上是增函数，
所以，故A正确；
因为在和上都单调递减，
所以当时，，故B错误；
当，时，，无意义，故C错误；
因为在上是减函数，且，所以，即，故D正确．
故选：AD．
10．BD
【分析】确定函数是增函数，然后比较自变量的大小后可得正确选项．
【详解】是上的增函数，
时，成立，成立，BD一定成立；
与的大小关系不确定，A不一定成立；
同样与的大小关系也不确定，
如时，，C也不一定成立．
故选：BD．
11．ABD
【分析】根据的关系与各图形一个个检验即可判断．
【详解】当时，A正确；当时，B正确；
当时，D正确；当时，无此选项．
故选：ABD．
12．AC
【解析】先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由时，可得可判断C，利用展开和0比即可判断D.
【详解】设幂函数
将点(4,2)代入函数得：，则.
所以，
显然在定义域上为增函数，所以A正确.
的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.
当时，，即，所以C正确.
当若时，
.
即成立，所以D不正确.
故选：AC
【点睛】关键点睛：本题主要考查了幂函数的性质，解答本题的关键是由，化简得到，从而判断出选项D的正误，属于中档题.
13．
【分析】根据幂函数的单调性知，即可确定的可能值，讨论并判断对应奇偶性，即可得结果.
【详解】由题知：，
所以的值可能为，，．
当时，为偶函数，符合题意．
当时，为奇函数，不符合题意．
当时，，定义域为，则为非奇非偶函数，不符合题意．
综上，．
故答案为：
14．（答案不唯一，满足，，即可）
【分析】根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.
【详解】∵函数的值域为，且在上单调递增，
∴满足题意的一个函数是．
故答案为：（答案不唯一）
15．2
【分析】根据幂函数过点，求出解析式，再有解析式求值即可.
【详解】设，
则，
所以，
故，
所以.
故答案为：
16．
【分析】由题可判断f(x)为偶函数，再根据单调性即可求解不等式.
【详解】根据题意的图象关于对称，则函数的图象关于y轴对称，即函数为偶函数，
由得，
又由函数在区间上单调递增，
则，
解可得：.
故答案为：.
17．（1）；（2）奇函数．
【分析】（1）根据，求函数的解析式；（2）化简，再判断函数的奇偶性.
【详解】解：（1），．
即，．
即．
（2）因为f(x)的定义域为R，
且，
所以f(x)是奇函数．
18．(1)，在上单调递减
(2)或.
【分析】（1）依题意可得，即可求出参数的值，即可得到的解析式，再根据偶函数的定义检验即可，最后根据复合函数的单调性判断函数的单调性；
（2）根据函数的奇偶性与单调性得到，将两边平方，解一元二次不等式，即可得解；
（1）
解：因为函数的定义域是为，且函数为偶函数，
则，即，所以.
所以，则，
经检验，时，为偶函数，符合题意.
因为，令、、，
因为在上单调递增，且，
又对勾函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
而在上单调递减，所以在上单调递减，
即在上单调递减；
（2）
解：因为，则
又因为在上单调递减，所以，即
解得或.
19．（1）f(x)＝2x；（2）奇函数；证明见解析．
【分析】（1）利用指数函数的定义，求出，即可求的表达式，
（2），即可利用定义判断的奇偶性.
【详解】（1）由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，
∴f(x)＝2x．
（2），
∴，且定义域为R，
∴F(x)是奇函数．
20．只要且，都有.
【分析】利用作差法结合指数函数的性质比较大小即可
【详解】
.
，.
①当时，，，.
，即.
②当时，，，
仍有，即有.
综上所述，只要且，都有.
21．（1）；（2）.
【分析】（1）利用真数大于0，即可求解定义域；（2）令，由题意可知，令，求解的取值范围，然后可求，从而求出的取值范围.
【详解】（1）当时，，故：，解得：，故函数的定义域为；
（2）由题意知，（），定义域为，易知为上的增函数，
设，，设，，故，，因为单调递增，则.
因为存在使得不等式成立故：,即.
22．(1)
(2)或
【分析】（1）根据幂函数的定义及性质求出参数，即可得解；
（2）首先得到的解析式，再对对称轴与区间中点的关系分类讨论，即可求出函数的最大值，从而求出参数的值；
（1）
解：因为为幂函数，
所以，解得或
因为为偶函数，
所以，故的解析式；
（2）
解：由（1）知，对称轴为，开口向上，
当即时，，即；
当即时，，即；
综上所述：或．
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