高中数学（沪教版）必修第一册第5章单元综合测试A（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学（沪教版）必修第一册第5章单元综合测试A（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 638.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-05 08:35:56 | ||
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文档简介
一、单选题
1．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数在上是减函数，且为实数，则有（ ）
A． B．
C． D．
4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价（元/个）的取值范围应是（ ）
A． B． C． D．
5．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数m不可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．若函数在区间上的最大值为，则实数（ ）
A． B． C． D．或
8．已知是一次函数，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．关于直线与函数的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．不论为何值时都有交点 B．当时，有两个交点
C．当时，有一个交点 D．当时，没有交点
10．已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．已知偶函数满足，下列说法正确的是（ ）
A．函数是以2为周期的周期函数
B．函数是以4为周期的周期函数
C．函数为偶函数
D．函数为偶函数
12．下列给出的式子是分段函数的是（ ）
A．f（x）＝ B．f（x）＝
C．f（x）＝ D．f（x）＝
三、填空题
13．已知具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①；②；③，其中满足“倒负”变换的函数是______.
14．若函数的反函数的图像经过点，则=_______．
15．在用二分法求函数的零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是______．（写出一个符合条件的区间即可）
16．若函数是奇函数，则实数a的值为___________.
四、解答题
17．已知函数.
（1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于的不等式.
18．用定义证明在上单调递增．
19．设，已知函数过点，且函数的对称轴为.
(1)求函数的表达式；
(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.
20．已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求时，函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
21．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
22．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】首先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；
【详解】解：因为函数，开口向下，对称轴为，依题意，解得，即
故选：D
2．B
【分析】要使函数有意义，则有，解出即可.
【详解】要使函数有意义，则有，解得且
所以其定义域为
故选：B
3．C
【分析】利用可排除ABD；根据函数单调性和恒成立可知C正确.
【详解】当时，ABD中不等式左右两侧均为，不等式不成立，ABD错误；
对于恒成立，即恒成立，又为上的减函数，
，C正确.
故选：C.
4．A
【分析】首先设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，结合条件列式，根据，求的取值范围，即可得到的取值范围.
【详解】设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，
则.
要使商家利润有所增加，则必须使，即，得，所以的取值为.
故选：A
5．C
【分析】依题意可得在上单调递减，根据偶函数的性质可得在上单调递增，再根据，即可得到的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集；
【详解】解：因为函数满足对任意的，有，
即在上单调递减，又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递增，
又，所以，函数的大致图像可如下所示：
所以当时，当或时，
则不等式等价于或，
解得或，即原不等式的解集为；
故选：C
6．D
【解析】依题意画出函数图象，函数的零点，转化为函数与函数的交点，数形结合即可求出参数的取值范围；
【详解】解：因为，画出函数图象如下所示，
函数的有两个零点，即方程有两个实数根，即，即函数与函数有两个交点，由函数图象可得或，
故选：D
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
7．B
【分析】函数化为，讨论，和时函数的单调性，运用单调性可得最小值，解方程即可得到所求值．
【详解】函数，即，，
当时，不成立；
当，即时，在递减，可得为最大值，
即，解得成立；
当，即时，在递增，可得为最大值，
即，解得不成立；
综上可得．
故选：．
8．D
【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.
【详解】依题意，设，则有，解得，
所以.
故选：D
9．BCD
【分析】化简函数表达式即为，作出直线与函数的图象，通过数形结合直接判断即可.
【详解】由题意得，，作此函数图像如下图折线所示；即平行于轴的直线，作图像如下图直线所示.
对于A，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故A错误；
对于B，由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故B正确；
对于C，由图可知，当时，直线与函数的图象，有一个交点，故C正确；
对于D，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故D正确.
故选:BCD
10．AC
【分析】分离常数得，若在单调递增，则满足，检验选项即可求解.
【详解】在上单调递增,则满足:,即,故，满足，，满足，
故选:AC
11．BC
【分析】根据函数的奇偶性和周期性确定正确选项.
【详解】依题意是偶函数，且，
，所以A错误.
，所以B正确.
，所以函数为偶函数，C正确.
若是偶函数，则，则函数是周期为的周期函数，这与上述分析矛盾，所以不是偶函数.D错误.
故选：BC
12．AD
【分析】根据函数的定义一一判断即可；
【详解】解：对于A：，定义域为，且，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故A正确；
对于B：，定义域为，但不满足函数的定义，如当时，和，故不是函数，故B错误；
对于C：，定义域为，且，且和，故不是函数，故C错误；
对于D：，定义域为，且，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故D正确；
故选：AD
13．①③
【分析】验证①②③中的函数是否满足，由此可得出结论.
【详解】对于①，，该函数的定义域为，
对任意的，，满足条件；
对于②，，该函数的定义域为，
对任意的，，不满足条件；
对于③，因为，当时，，则，
当时，，，
当时，.
所以，对任意的，.
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
故答案为：①③.
14．2
【分析】根据指数函数与对数函数的关系求出的反函数，再代入计算可得；
【详解】解：因为函数的反函数为，，
所以，即，所以或（舍去）；
故答案为：
15．或或或(写一个即可)．
【分析】根据二分法的概念，可求得结果．
【详解】第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是，；第三次所取区间可能是，，，．
故答案为：或或或(写一个即可)．
16．1
【分析】利用奇函数的性质进行求解.
【详解】若是奇函数，则有.
当时，，则，
又当时，，所以，
由，得，解得a=1.
故答案为：1.
17．（1）在R上是增函数，证明见解析；（2）.
【分析】（1）由题可判断函数为奇函数且为增函数，利用定义法的步骤证明即可；
（2）利用函数的单调性及对数函数的单调性即解.
【详解】（1），则函数是奇函数，
则当时，设，
则
，
，
，即，，
则，即，
则在，上是增函数，
是上的奇函数，
在上是增函数.
（2）在上是增函数，
不等式等价为不等式，
即.
即不等式的解集为.
18．证明见解析.
【分析】利用定义法证明函数在某区间上的单调性，按步骤求解即可.
【详解】证明：任取，，且.
因为.
又，所以，.
有，，
所以，即.
所以函数在上单调递增.
19．(1)
(2)
【分析】根据函数过点及二次函数的对称轴，得到方程组，解得、即可求出函数解析式；
（2）将函数配成顶点式，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值.
【详解】（1）解：依题意，解得，所以；
（2）解：由（1）可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，，
即、，所以.
20．(1)；
(2).
【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解；
（2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求解.
（1）
设，则，所以
又为奇函数，所以，
所以当时，.
（2）
作函数的图像如图所示，
要使在上单调递增，结合的图象知，所以，
所以的取值范围是.
21．(1)400吨；
(2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.
（2）根据获利，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度.
（1）
由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；
当且仅当 ，即 时等号成立，
故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.
（2）
不获利，设该单位每个月获利为S元，则 ，
因为，则，
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
22．(1)
(2)70万盒
【分析】（1）根据题意分和两种情况求解即可；
（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.
【详解】（1）当产量小于或等于50万盒时，，
当产量大于50万盒时，，
故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为
（2）当时，；
当时，，
当时，取到最大值，为1200．
因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
1．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数在上是减函数，且为实数，则有（ ）
A． B．
C． D．
4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价（元/个）的取值范围应是（ ）
A． B． C． D．
5．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数m不可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．若函数在区间上的最大值为，则实数（ ）
A． B． C． D．或
8．已知是一次函数，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．关于直线与函数的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．不论为何值时都有交点 B．当时，有两个交点
C．当时，有一个交点 D．当时，没有交点
10．已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．已知偶函数满足，下列说法正确的是（ ）
A．函数是以2为周期的周期函数
B．函数是以4为周期的周期函数
C．函数为偶函数
D．函数为偶函数
12．下列给出的式子是分段函数的是（ ）
A．f（x）＝ B．f（x）＝
C．f（x）＝ D．f（x）＝
三、填空题
13．已知具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①；②；③，其中满足“倒负”变换的函数是______.
14．若函数的反函数的图像经过点，则=_______．
15．在用二分法求函数的零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是______．（写出一个符合条件的区间即可）
16．若函数是奇函数，则实数a的值为___________.
四、解答题
17．已知函数.
（1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于的不等式.
18．用定义证明在上单调递增．
19．设，已知函数过点，且函数的对称轴为.
(1)求函数的表达式；
(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.
20．已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求时，函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
21．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
22．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】首先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；
【详解】解：因为函数，开口向下，对称轴为，依题意，解得，即
故选：D
2．B
【分析】要使函数有意义，则有，解出即可.
【详解】要使函数有意义，则有，解得且
所以其定义域为
故选：B
3．C
【分析】利用可排除ABD；根据函数单调性和恒成立可知C正确.
【详解】当时，ABD中不等式左右两侧均为，不等式不成立，ABD错误；
对于恒成立，即恒成立，又为上的减函数，
，C正确.
故选：C.
4．A
【分析】首先设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，结合条件列式，根据，求的取值范围，即可得到的取值范围.
【详解】设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，
则.
要使商家利润有所增加，则必须使，即，得，所以的取值为.
故选：A
5．C
【分析】依题意可得在上单调递减，根据偶函数的性质可得在上单调递增，再根据，即可得到的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集；
【详解】解：因为函数满足对任意的，有，
即在上单调递减，又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递增，
又，所以，函数的大致图像可如下所示：
所以当时，当或时，
则不等式等价于或，
解得或，即原不等式的解集为；
故选：C
6．D
【解析】依题意画出函数图象，函数的零点，转化为函数与函数的交点，数形结合即可求出参数的取值范围；
【详解】解：因为，画出函数图象如下所示，
函数的有两个零点，即方程有两个实数根，即，即函数与函数有两个交点，由函数图象可得或，
故选：D
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
7．B
【分析】函数化为，讨论，和时函数的单调性，运用单调性可得最小值，解方程即可得到所求值．
【详解】函数，即，，
当时，不成立；
当，即时，在递减，可得为最大值，
即，解得成立；
当，即时，在递增，可得为最大值，
即，解得不成立；
综上可得．
故选：．
8．D
【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.
【详解】依题意，设，则有，解得，
所以.
故选：D
9．BCD
【分析】化简函数表达式即为，作出直线与函数的图象，通过数形结合直接判断即可.
【详解】由题意得，，作此函数图像如下图折线所示；即平行于轴的直线，作图像如下图直线所示.
对于A，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故A错误；
对于B，由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故B正确；
对于C，由图可知，当时，直线与函数的图象，有一个交点，故C正确；
对于D，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故D正确.
故选:BCD
10．AC
【分析】分离常数得，若在单调递增，则满足，检验选项即可求解.
【详解】在上单调递增,则满足:,即,故，满足，，满足，
故选:AC
11．BC
【分析】根据函数的奇偶性和周期性确定正确选项.
【详解】依题意是偶函数，且，
，所以A错误.
，所以B正确.
，所以函数为偶函数，C正确.
若是偶函数，则，则函数是周期为的周期函数，这与上述分析矛盾，所以不是偶函数.D错误.
故选：BC
12．AD
【分析】根据函数的定义一一判断即可；
【详解】解：对于A：，定义域为，且，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故A正确；
对于B：，定义域为，但不满足函数的定义，如当时，和，故不是函数，故B错误；
对于C：，定义域为，且，且和，故不是函数，故C错误；
对于D：，定义域为，且，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故D正确；
故选：AD
13．①③
【分析】验证①②③中的函数是否满足，由此可得出结论.
【详解】对于①，，该函数的定义域为，
对任意的，，满足条件；
对于②，，该函数的定义域为，
对任意的，，不满足条件；
对于③，因为，当时，，则，
当时，，，
当时，.
所以，对任意的，.
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
故答案为：①③.
14．2
【分析】根据指数函数与对数函数的关系求出的反函数，再代入计算可得；
【详解】解：因为函数的反函数为，，
所以，即，所以或（舍去）；
故答案为：
15．或或或(写一个即可)．
【分析】根据二分法的概念，可求得结果．
【详解】第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是，；第三次所取区间可能是，，，．
故答案为：或或或(写一个即可)．
16．1
【分析】利用奇函数的性质进行求解.
【详解】若是奇函数，则有.
当时，，则，
又当时，，所以，
由，得，解得a=1.
故答案为：1.
17．（1）在R上是增函数，证明见解析；（2）.
【分析】（1）由题可判断函数为奇函数且为增函数，利用定义法的步骤证明即可；
（2）利用函数的单调性及对数函数的单调性即解.
【详解】（1），则函数是奇函数，
则当时，设，
则
，
，
，即，，
则，即，
则在，上是增函数，
是上的奇函数，
在上是增函数.
（2）在上是增函数，
不等式等价为不等式，
即.
即不等式的解集为.
18．证明见解析.
【分析】利用定义法证明函数在某区间上的单调性，按步骤求解即可.
【详解】证明：任取，，且.
因为.
又，所以，.
有，，
所以，即.
所以函数在上单调递增.
19．(1)
(2)
【分析】根据函数过点及二次函数的对称轴，得到方程组，解得、即可求出函数解析式；
（2）将函数配成顶点式，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值.
【详解】（1）解：依题意，解得，所以；
（2）解：由（1）可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，，
即、，所以.
20．(1)；
(2).
【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解；
（2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求解.
（1）
设，则，所以
又为奇函数，所以，
所以当时，.
（2）
作函数的图像如图所示，
要使在上单调递增，结合的图象知，所以，
所以的取值范围是.
21．(1)400吨；
(2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.
（2）根据获利，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度.
（1）
由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；
当且仅当 ，即 时等号成立，
故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.
（2）
不获利，设该单位每个月获利为S元，则 ，
因为，则，
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
22．(1)
(2)70万盒
【分析】（1）根据题意分和两种情况求解即可；
（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.
【详解】（1）当产量小于或等于50万盒时，，
当产量大于50万盒时，，
故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为
（2）当时，；
当时，，
当时，取到最大值，为1200．
因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．
答案第1页，共2页
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