高中数学（苏教版2019）必修第一册第5章单元综合测试A（含答案）

一、单选题
1．下列函数中是偶函数且在区间单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
2．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是定义在上的单调递减函数，且 ，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则下列x的范围满足不等式的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
12．(多选)已知函数其中且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数在其定义域上有解
C．函数的图象过定点
D．当时，函数在其定义域上为单调递增函数
三、填空题
13．若函数的定义域为，则实数的取值范围是__________ .
14．偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值范围是___________.
15．已知函数y＝ax2－2x＋3在[2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．
16．已知，，则的解析式为________．
四、解答题
17．已知函数.
（1）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）若，求时函数的值域.
18．用定义证明在上单调递增．
19．已知函数．
（1）用定义法证明:在上单调；
（2）求在上的最大值与最小值．
20．已知函数（，为常数），且满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
21．已知函数，.
（1）判断函数的单调性，并证明；
（2）求函数的值域.
22．已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论．
【详解】解：是偶函数且在区间上单调递减，满足条件；
是非奇非 偶函数，不满足条件；
是偶函数，但在区间上单调递增，不满足条件；
是奇函数不是偶函数，不合题意.
故选：．
2．C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
3．A
【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．
【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD，
由，，故C错误，
故选：A.
4．C
【分析】根据条件可知在上单调递减，从而得出，解出的范围即可．
【详解】解：满足对任意，都有成立，
在上是减函数，
因为
，解得，
的取值范围是．
故选：．
5．A
【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
6．B
【分析】列出使函数有意义的不等式组，解不等式组可得结果.
【详解】要使有意义，则，解得，所以函数的定义域为.
故选：B.
7．D
【分析】根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出a的取值范围.
【详解】∵是定义在上的单调递减函数，且，
则，解得
故选：D..
8．D
【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
9．AD
【解析】设，表示出，根据对应系数相等求解和的值.
【详解】设，则，则，所以，得或，所以或.
故选：AD.
10．BCD
【分析】画出函数的图象，由图象可知函数在上为增函数，再利用函数的单调性简化不等式，即可得到结果．
【详解】因为函数，画出函数图象如图所示：
所以函数在上为增函数，
由得，
即
解得，
故选：B C D．
11．ACD
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，偶函数，且在为增函数，符合题意；
对于，，不是偶函数，不符合题意；
对于，，是偶函数，在上为增函数，故在为增函数，符合题意；
对于，，是偶函数，且在为增函数，符合题意；
故选：．
12．ABD
【分析】对于A，先求出定义域后利用奇函数的定义判断，对于BC，由A可知为上的奇 函数，所以可得，从而可进行判断，对于D，由指数函数的单调性判断
【详解】，定义域为，，所以为奇函数，且，故选项A，B正确，选项C错误；
，，，在上均为增函数，在其定义域上为单调递增函数，所以选项D正确．
故选：ABD．
13．
【分析】分析可知，对任意的，恒成立，分、两种情况讨论，结合已知条件可求得实数的取值范围.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，对任意的，恒成立.
①当时，则有，合乎题意；
②当时，由题意可得，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
14．
【分析】根据函数单调性的定义，结合偶函数的性质进行求解即可.
【详解】因为当时，不等式恒成立，所以有，即
，所以函数在上单调递增，
因为函数的图象经过点，所以，
因此由，可得，函数是偶函数，且在在上单调递增，所以由，
故答案为：
15．(－∞，0]
【分析】根据实数a是否为零，结合一次函数、二次函数的单调性分类讨论进行求解即可.
【详解】当a＝0时，y＝－2x＋3满足题意；
当a≠0时，则，综上得a≤0．
故答案为：(－∞，0]
16．
【分析】将代入条件中，得到，根据两式消元，求得函数的解析式.
【详解】由题知，，①；又，②；
由①②得，，
则，
故答案为：
17．（1）当时，函数在区间上是单调减函数；当时，函数在区间上是单调增函数，证明过程见解析；（2）
【解析】（1）运用单调性的定义进行分类讨论进行判断证明即可；
（2）根据求出的值，结合（1）中的结论进行求解即可.
【详解】解：（1）当时，函数在区间上是单调减函数；当时，函数在区间上是单调增函数.
当时，证明如下：
任取，
则.
因为，
所以，得，故函数在上是单调减函数；
同理可证：当时，函数在上是单调增函数.
（2）由.
由（1）得在上是减函数，
从而函数在上也是减函数，
其最小值为，
最大值为.
由此可得，函数在上的值域为.
18．证明见解析.
【分析】利用定义法证明函数在某区间上的单调性，按步骤求解即可.
【详解】证明：任取，，且.
因为.
又，所以，.
有，，
所以，即.
所以函数在上单调递增.
19．（1）证明见解析；（2），.
【分析】（1）利用单调性的定义证明，首先设，然后作差，然后判断正负，即可证明单调性；（2）根据（1）证明的单调性，求函数的最值.
【详解】（1）证明：设，
由已知，故，
则，故在上单调递增
（2）由（1）可知在上单调递增，故当时
，
20．(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，求解后即得到函数的解析式；
（2）利用基本不等式或者利用函数的单调性即可求得在给定区间上的最小值，然后利用不等式恒成立的意义得到关于t的不等式，求得t的取值范围.
（1）
解：由题意得，解得，故；
（2）
解法一：对任意的，，当且仅当，即时取等号，∴最小值为2，
∵关于的不等式恒成立，∴，∴，
即实数t的取值范围是.
解法二：设，则,
∵，
∴,
∴在上单调递减，∴，下同解法一.
21．（1）单调递增，证明见解析；（2）
【分析】（1）利用函数单调性的定义即可证明函数在区间上的单调性；
（2）根据函数在区间上的单调性即可求其值域.
【详解】（1）在区间上单调递增，
证明如下：任取且，
，
因为，所以，，，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增.
（2）由（1）知：在区间上单调递增，
所以，，
所以函数的值域是.
22．，
【分析】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是利用函数的奇偶性构造方程.
【详解】解析： 以代替条件等式中的，则有，
又，分别是上的奇函数和偶函数，
故．
又，
联立可得，．
答案第1页，共2页
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