高中数学（苏教版2019）必修第一册第5章单元综合测试B（含答案）

一、单选题
1．函数是偶函数且在上单调递减，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
3．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．8
4．已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
5．函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知是上的奇函数，当时，，则满足的m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或
8．函数的图象是如图所示的折线段，其中，，函数，那么函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数是R上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．
B．点是函数的图象的一个对称中心
C．函数在上单调递增
D．函数在上有3个零点
10．已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线x＝－1对称 B．在上为增函数
C． D．
11．已知函数，，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数为奇函数
C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0
D．设，则的解集为
12．已知、都是定义在上的函数，且为奇函数，的图像关于直线对称，则下列说法中正确的有（ ）
A．为偶函数 B．为奇函数
C．的图像关于直线对称 D．为偶函数
三、填空题
13．若，，，，使则实数a的取值范围是________．
14．已知函数，，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是______.
15．函数是定义在上的奇函数，当时，，则______．
16．已知函数是定义在上的偶函数，则函数在上的最小值为______．
四、解答题
17．已知______，且函数.
①函数在定义域上为偶函数；
②函数在上的值域为.
在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题.
(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；
(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数c的取值范围.
18．已知为定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最小值.
19．已知函数（为常数，且，）．
(1)在①为奇函数，②为偶函数中任选一个，求的值；
(2)当时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
20．已知是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若对所有，恒成立，求实数的取值范围.
21．（1）若，求的最小值及对应的值；
（2）若，求的最小值及对应的值．
22．根据下列条件，求的解析式
(1)已知满足
(2)已知是一次函数，且满足；
(3)已知满足
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．D
【分析】分析可知函数在上为增函数，且有，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为函数是偶函数且在上单调递减，则该函数在上为增函数，
且，
由可得，
所以，，可得或，解得或.
因此，不等式的解集为.
故选：D.
2．A
【分析】根据奇函数的定义可得，整理化简可求得a的值，即得答案.
【详解】由函数为奇函数，可得，
所以，
所以，化简得恒成立，
所以，即,
经验证，定义域关于原点对称，且满足，故；
故选:A．
3．C
【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数，确定，然后结合基本不等式得最小值．
【详解】的解集为，则的两根为，，
∴，∴，，则，即，
，当且仅当时取“=”，
故选：C.
4．A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
5．A
【分析】恒成立求参数取值范围问题，在定义域满足的情况下，可以进行参变分离，构造新函数，通过求新函数的最值，进而得到参数取值范围.
【详解】对任意，恒成立，即恒成立，即知．
设，，则，．
∵，∴，
∴，
∴，故的取值范围是．
故选：A.
6．D
【分析】根据函数在公共的定义域函数单调性的性质及奇函数的性质，再利用函数单调性的定义即可求解.
【详解】因为函数在上均为减函数，
∴在上为减函数.又，且是上的奇函数，∴在上为减函数.
又，得或，解得或.
所以实数m的取值范围是.
故选：D.
7．B
【分析】根据函数的性质推得其函数值的正负情况，由可得到相应的不等式组，即可求得答案.
【详解】因为是偶函数且在上单调递增，，故，
所以当或时，，当时，．
所以等价于或 ，
解得或，所以不等式的解集为，
故选：B．
8．B
【分析】根据图象可得的解析式，进而可得的解析式，再利用二次函数的性质分别求分段函数各段的值域，再求并集即可求解.
【详解】由题图可知，，所以直线的方程是，
因为，所以直线的方程为，
所以，
所以，
当时，在上单调递增，此时函数的值域为；
当时，，
所以当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
此时函数的值域为，
综上可知，函数的值域为，
故选：B.
9．AB
【分析】由，赋值，可得，故A正确；进而可得是对称中心，故B正确；作出函数图象，可得CD不正确.
【详解】在中，令，得，又函数是R上的奇函数，所以，，故是一个周期为4的奇函数，因是的对称中心，所以也是函数的图象的一个对称中心，故A、B正确；
作出函数的部分图象如图所示，易知函数在上不具单调性，故C不正确；
函数在上有7个零点，故D不正确.
故选：AB
【点睛】本题考查了函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题目.
10．AD
【分析】根据题意结合偶函数的性质可得的图象关于直线x＝－1对称，且在上为减函数，然后逐个分析判断即可
【详解】因为为偶函数，且函数在上为增函数，
所以的图象关于直线x＝－1对称，且在上为减函数，所以A正确，B不正确；
因为的图象关于直线x＝－1对称，，所以C不正确；
因为的图象关于直线x＝－1对称，所以，，又在上为增函数，所以，即，所以D正确.
故选：AD.
11．BCD
【分析】根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案
【详解】对于A：，定义域为，，
则为奇函数，故A错误；
对于B：，定义域为，
，
则为奇函数，故B正确；
对于C：，，都为奇函数，
则为奇函数，
在区间上的最大值与最小值互为相反数，
必有在区间上的最大值与最小值之和为0，故C正确；
对于D：，则在上为减函数，
，则在上为减函数，
则在上为减函数，
若即，
则必有，解得，
即的解集为，故D正确；
故选：BCD
12．ACD
【分析】本题可根据为奇函数得出，然后根据关于直线对称得出，最后以此为依据依次分析四个选项，即可得出结果.
【详解】因为为奇函数，所以，
因为的图像关于直线对称，所以，
A项：，
则函数为偶函数，A正确；
B项：，不是奇函数，B错误；
C项：因为，所以，
则的图像关于直线对称，C正确；
D项：因为，所以，
则函数为偶函数，D正确，
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数奇偶性和对称性的判断，若函数为奇函数，则满足，若函数为偶函数，则满足，若函数关于直线对称，则，考查推理能力，是中档题.
13．
【分析】原问题等价于g(x)的值域是f(x)值域的子集，据此即可求解﹒
【详解】原问题等价于函数的值域是函数值域的子集．
在上，二次函数的值域是，
单调递增的一次函数的值域是，
则，
则且，解得．
故答案为：．
14．
【分析】先通过取x的特殊值0，1，-1得到a≤0，然后，利用分类讨论思想，分和两个范围分别证明a≤0时符合题意.
【详解】由题易知，即，
所以，
又，
所以.
下证时，在上最大值为3.
当时，，;
当，若，即，
则，满足;
若，即，
此时，
而，满足;
因此，符合题意.
【点睛】本题考查带有绝对值的含参数的二次函数函数的最值问题，利用特值求得a≤0，然后分类讨论证明a≤0时符合题意，是十分巧妙的方法，要注意体会和掌握.
15．11
【分析】根据奇函数性质求出函数的解析式，然后逐层代入即可.
【详解】，，当时，，
即，
，，．
故答案为：11.
16．－6
【分析】先利用题意能得到和，解得和，代入中，再代入，再结合二次函数的性质求最小值
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，
故，即，则解得，
所以，，
所以，，
则，
故答案为：-6
17．(1)选择条件见解析，a＝2，b＝0；为奇函数，证明见解析；
(2).
【分析】（1）若选择①，利用偶函数的性质求出参数；
若选择②，利用单调性得到关于的方程，求解即可；
将的值代入到的解析式中，再根据定义判断函数的奇偶性；
（2）将题中条件转化为“的值域是的值域的子集”即可求解.
（1）
选择①.
由在上是偶函数，
得，且，所以a＝2，b＝0.
所以.
选择②.
当时，在上单调递增，则，解得，
所以.
为奇函数.
证明如下：的定义域为R.
因为，所以为奇函数.
（2）
当时，，因为，当且仅当，即x＝1时等号成立，所以；
当时，因为为奇函数，所以；
当x＝0时，，所以的值域为.
因为在上单调递减，所以函数的值域是.
因为对任意的，总存在，使得成立，
所以，所以,解得.
所以实数c的取值范围是.
18．（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）利用奇函数的定义即可求函数的解析式．
（2）根据函数的解析式，先画出图象，然后对进行分类讨论即可求出函数的值域．
【详解】（1）∵ 函数是定义在上的奇函数，
∴，且，
∴，
设，则，
∴，
∴
（2）可画出分段函数的图象如图所示，令，可解得
结合图象可知：
（1）当时，
（2）当时，
（3）当时，
19．(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）根据题意，奇偶函数的定义，分别求出这两种情况下的参数即可；
（2）分离参数用解决恒成立的问题来做，但为此需先分析时的符号.
（1）
由题意得，．
选①，当为奇函数时，，即，可得；
选②，当为偶函数时，，
则，可得．
（2）
由（1）知，当时，为奇函数，．
因为函数在上为增函数，函数在上为减函数，
所以函数在上为增函数，则在上的值域为．
所以当时，对任意的，都有成立．
设，，令，．
任取，，且，即，
则
．
因为，所以，，可得，即，所以函数在上为增函数，．
所以，所以的取值范围是．
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用奇函数的定义可得函数的解析式；
（2）由二次函数的性质可得函数的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数的取值范围．
【详解】（1）因为函数为定义域上的奇函数，所以，
当时，，所以，
因为是奇函数，所以，
所以，
所以
（2）作出在区间上的图象，如图：
可得函数在上为减函数，所以的最小值为，
要使对所有，恒成立，
即对所有恒成立，
令，，
则，即，
可得：，
所以实数的取值范围是.
21．（1）最小值为5，；（2）最小值为，．
【分析】（1）化简，再利用基本不等式求解；
（2）化简，再利用基本不等式求解.
【详解】（1）因为，所以，
当且仅当即时等号成立，函数取最小值5；
（2）
当且仅当即时等号成立，函数取最小值.
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用换元法即可求解；
（2）设，然后结合待定系数法即可得解；
（3）由题意可得，利用方程组思想即可得出答案.
【详解】（1）解：令，则，
故，
所以；
（2）解：设，
因为，
所以，
即，
所以，解得，
所以；
（3）解：因为①，
所以②，
②①得，
所以.
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