高中数学（苏教版2019）必修第一册第6章单元综合测试B（含答案）

一、单选题
1．“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
2．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，，若存在，对任意，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（1，4）
4．已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．2004年中国探月工程正式立项，从嫦娥一号升空，到嫦娥五号携月壤返回，中国人一步一步将“上九天揽月”的神话变为现实.月球距离地球约38万千米有人说，在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，其厚度就可以超过月球距离地球的距离.那么至少对折的次数n是（参考数据：，）（ ）
A．40 B．41 C．42 D．43
7．设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
8．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．，且
二、多选题
9．函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于轴对称
B．的图象关于原点对称
C．的值域为
D．，且，恒成立
11．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数f(x)＝，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
三、填空题
13．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是_______________________．
14．设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数___________.
15．已知，则________．
16．设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________．
四、解答题
17．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围：
（3）若实数满足，求的最小值.
18．已知函数．
(1)若的值域为R，求实数m的取值范围；
(2)若在内单调递增，求实数m的取值范围．
19．数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.
(1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果,且,,那么;
(2)请你运用上述对数运算性质计算的值;
(3)因为,所以的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断的位数.(注)
20．已知函数．
(1)判断并证明在其定义域上的单调性；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
21．已知幂函数的定义域为全体实数R.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.
22．已知函数的图象过点与点.
（1）求，的值；
（2）若，且，满足条件的的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.
【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，
则，解得：，当时，，，
则，所以函数为奇函数，即充分性成立；
“函数为奇函数”，
则，即，
解得：，故必要性不成立，
故选：A．
2．D
【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式.
【详解】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2．
当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意；
当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．
不等式化为，
函数在和上单调递减，
故或或，解得或．
故应选：D．
3．A
【分析】将问题化为在对应定义域内，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.
【详解】由题意知：在[3,4]上的最大值大于或等于在[4,8]上的最大值即可．
当时，，
由对勾函数的性质得：在[3,4]上单调递增，故．
当时，单调递增，则，
所以，可得．
故选：A
4．A
【分析】分类讨论最值，当时，当时，分别求出最值解方程，即可得解.
【详解】若，则在上单调递减，则，不符合题意；
若，则在上单调递增，则，
又因为的值域为，所以，解得．
故选：A．
5．B
【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由排除不正确的选项，从而得出答案..
【详解】详解：为奇函数，排除A,
，故排除D.
，
当时，，所以在单调递增，所以排除C；
故选：B.
6．C
【分析】设对折n次时，纸的厚度为y（单位：毫米），则由题意可得，然后解不等式可求得结果.
【详解】设对折n次时，纸的厚度为y（单位：毫米），
由题意可知若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，则.
令，即，
所以，即，
所以至少对折的次数n是42.
故选：C.
7．A
【分析】先求出的定义域，然后利用奇函数的性质求出的值，从而得到的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出的值域．
【详解】因为，
所以可得或，
所以的定义域为或，
因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得，
所以的定义域为，
因为函数图象与函数图象关于直线对称，
所以与互为反函数，
故的值域即为的定义域.
故选：.
8．B
【分析】根据指对幂函数的单调性与奇偶性依次讨论个选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，，为偶函数，故错误；
对于B选项，，为奇函数，且函数均为减函数，故为减函数，故正确；
对于C选项，指数函数没有奇偶性，故错误；
对于D选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.
故选：B
9．ABD
【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项.
【详解】当时，，图象A满足；
当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；
当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；
图象C过点，此时，故C不成立.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
10．BC
【解析】判断的奇偶性即可判断选项AB，求的值域可判断C，证明的单调性可判断选项D，即可得正确选项.
【详解】的定义域为关于原点对称,
，所以是奇函数，图象关于原点对称，
故选项A不正确，选项B正确；
，因为，所以，所以，
，所以，可得的值域为，故选项C正确；
设任意的，
则，
因为，，，所以，
即，所以，故选项D不正确；
故选：BC
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法
（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义作出结论.
即取值---作差----变形----定号----下结论.
11．BC
【分析】由对数函数的单调性结合换底公式比较的大小，计算出，利用基本不等式得，而，从而可比较大小．
【详解】由题意可知，对于选项AB，因为，所以，又因为，且，所以，则，所以选项A错误，选项B正确；对于选项CD，，且，所以，故选项C正确，选项D错误；
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的单调性，利用单调性比较对数的大小，对于不同底的对数，可利用换底公式化为同底，再由用函数的单调性及不等式的性质比较大小，也可结合中间值如0或1或2等比较后得出结论．
12．CD
【解析】先将问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，作出图象，进行数形结合即得结果.
【详解】方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知，当时有两个交点，当a>1时有且只有一个交点.
故选：CD.
【点睛】方法点睛：已知方程的根的情况，求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
13．
【分析】应用换元法将题设不等式转化为在上恒成立，根据二次函数的性质求的范围.
【详解】令，则在上恒成立，
若，开口向上且对称轴
∴，解得.
故答案为：
14．（答案不唯一）
【分析】利用幂函数的图像、单调性得到指数满足的条件，写出一个满足题意的幂函数即可.
【详解】由题意可得，幂函数需满足在第二象限内有图象且在上是单调递减即可，所以，故满足上述条件的可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
15．
【分析】先把指数式化为对数式，再由换底公式化为同底数对数运算即可.
【详解】解：因为，
所以，，．
故答案为：.
【点睛】本题考查指对数互化公式、换底公式和对数运算，属于基础题.
16．
【分析】由函数在每一段上都递增，列出不等式，且有，再联立求解即得.
【详解】因函数在上单调递增，则有在上递增，于是得，
在上也递增，于是得，即，并且有，即，解得，
综上得：，
所以的取值范围是.
故答案为：
17．（1）；（2）；（3）2．
【分析】（1）由幂函数定义得值，由单调性得的范围，结合奇偶性得值．
（2）利用偶函数和单调性解不等式；
（3）由（1）得，用“1”的代换凑配出定值，由基本不等式得最小值．
【详解】（1）是幂函数，则，，又是偶函数，所以是偶数，
在上单调递增，则，，所以或2．
所以；
（2）由（1）偶函数在上递增，
．
所以的范围是．
（3）由（1），，，
，当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值是2．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由题意能取内的一切值，故转化为函数的判别式大于等于0求解即可；
（2）根据复合函数的单调性可得在内单调递减且恒正，再根据二次函数的性质求解即可.
（1）
由的值域为R，可得能取内的一切值，
故函数的图象与x轴有公共点，
所以，解得或．
故实数m的取值范围为．
（2）
因为在内单调递增，
所以在内单调递减且恒正，
所以，解得．
故实数m的取值范围为．
19．(1)见解析(2) (3)的位数为6677
【解析】(1)根据指数与对数的转换证明即可.
(2)根据对数的运算性质将真数均转换成指数幂的形式再化简即可.
(3)分析的值的范围再判断位数即可.
【详解】(1)方法一:
设
所以
所以
所以,得证.
方法二:
设
所以
所以
所以
所以
所以
方法三:
因为
所以
所以得证.
(2)方法一:
.
方法二:
.
(3)方法一:
设,
所以
所以
所以
所以
因为
所以
所以的位数为6677
方法二:
设
所以
所以
所以
所以
因为,
所以有6677位数,即的位数为6677
【点睛】本题主要考查了对数的运算以及利用对数的运算求解数字位数的问题,需要取对数分析对数值进行分析,属于中档题.
20．(1)在上单调递增；证明见解析
(2)
【分析】（1）设，可整理得到，由此可得结论；
（2）利用奇偶性定义可证得为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为，由单调性可求得，由此可得的取值范围.
（1）
在上单调递增，证明如下：
设，
；
，，又，，，
在上单调递增.
（2）
，为上的奇函数，
由得：，
由（1）知：在上单调递增，在上恒成立；
当时，，在上恒成立；
令，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，，，
即实数的取值范围为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合幂函数的定义域可确定m的值，即得函数解析式;
（2）将在上恒成立转化为函数在上的最小值大于0，结合二次函数的性质可得不等式，解得答案．
【详解】（1）∵是幂函数，∴，∴或2.
当时，，此时不满足的定义域为全体实数R，
∴m＝2,∴.
（2）即，要使此不等式在上恒成立，
令,只需使函数在上的最小值大于0.
∵图象的对称轴为，故在上单调递减，
∴，
由，得，
∴实数k的取值范围是.
22．（1），；（2）.
【分析】(1)由给定条件列出关于，的方程组，解之即得；
(2)由(1)的结论列出指数方程，借助换元法即可作答.
【详解】（1）由题意可得，解得，，
（2）由（1）可得，而，且，
于是有，设，，
从而得，解得，即，解得，
所以满足条件的.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页