高中数学（苏教版2019）必修第一册第7章单元综合测试A（含答案）

一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．三个数，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
5．下列函数中为周期是的偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则（ ）
A．2 B．-2 C．0 D．
7．要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
8．已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C．若角的终边上有一点，则
D．若角为锐角，则角为钝角
10．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则下列结论中正确的有（ ）
A．函数的最大值为2 B．函数的图象关于点对称
C．函数是偶函数 D．直线是函数图象的一条对称轴
11．[多选题]给出下列四个命题，其中正确的有（ ）
A．一定时，单位圆中的正弦线一定
B．单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．和有相同的正切线
D．具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上
12．若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积变为原来的4倍 D．扇形的圆心角变为原来的2倍
三、填空题
13．函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
14．已知，则______．
15．若与关于轴对称，写出一个符合题意的值______．
16．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为____________．
四、解答题
17．已知.
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值.
18．如图，已知圆O的半径r为10，弦AB的长为10．
(1)求弦AB所对的圆心角的大小；
(2)求圆心角所对应的弧长l及阴影部分的面积S．
19．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及其单调递增区间；
(2)当，时，恒成立，求a的最大值.
20．如图，摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.
（1）试确定在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m？
21．设函数．
(1)求函数的定义域和单调区间;
(2)求不等式的解集．
22．已知函数，其中．
(1)当a为何值时，为偶函数
(2)当a为何值时，为奇函数
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】利用同角三角函数基本关系式先化简再求值.
【详解】，
.
故选：A.
【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：
(1)角的范围的判断；
(2)选择合适的公式进行化简求值．
2．C
【分析】诱导公式化余弦为正弦，然后由正弦函数的单调性比较大小．
【详解】，．
∵，，，
∴．
又∵在上是增函数，
∴．
故选：C．
3．A
【分析】首先将函数化简为“一角一函数”的形式，根据三角函数图象的平移变换求出函数的解析式，然后利用函数图象的对称性建立的关系式，求其最小值．
【详解】，
所以，
由题意可得，为偶函数，所以，
解得，又，所以的最小值为．
故选：A.
4．A
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
5．A
【分析】根据偶函数定义可判断选项,由三角函数的图像与性质可得周期,即可得解.
【详解】对于A，为偶函数,且最小正周期为,所以A正确;
对于B，为偶函数,但不具有周期性,所以B错误;
对于C，为奇函数，所以C错误;
对于D, 为非奇非偶函数,所以D错误.
综上可知,正确的为A
故选:A
6．B
【分析】根据，利用诱导公式和商数关系求解.
【详解】因为，
所以，
，
，
故选：B
7．A
【分析】利用诱导公式将平移前的函数化简得到，进而结合平移变换即可求出结果.
【详解】因为，
而，故将函数的图象向右平移个单位长度即可，
故选：A.
8．C
【分析】求出函数在上的值域后可求实数m的取值范围.
【详解】
,
当时，，所以，
故的值域为，
因为在上有解即在上有解，
故即，
故选：C.
9．BC
【分析】A中，由象限角的定义即可判断；
B中，由弧长公式先求出半径，再由扇形面积公式即可；
C中，根据三角函数的定义即可判断；
D中，取即可判断.
【详解】选项A中，，是第二象限角，故A错误；
选项B中，设该扇形的半径为，则，∴，∴，故B正确；
选项C中，，，故C正确；
选项D中，取，则是锐角，但不是钝角，故D错误．
故选：BC．
10．AC
【分析】先根据平移伸缩表示出函数的解析式，再根据图像性质判断选项即可.
【详解】由题意得，
所以的最大值为2，为偶函数，
的图像关于点对称，关于直线对称，
故B和D错误，A和C正确.
故选：AC.
【点睛】根据三角函数解析式求解性质时，可以用整体代换来进行处理，也可以作图处理.
11．AD
【分析】利用正弦线的定义及正切线的定义即可判断.
【详解】由正弦线定义可知当一定时，单位圆中的正弦线一定，故A正确；
与有相同正弦线，但，故B错误；
由正切线的定义可知，当时，和的正切线均不存在，故C错误；
具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上，故D正确．
故选：AD．
12．BC
【分析】利用扇形面积公式和弧长公式的变形即可求解.
【详解】设原扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为，则原扇形的面积为，
扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍后，其面积为，
故，故A错误，C正确；
由，可知扇形的圆心角不变，故B正确，D错误.
故选：BC．
13．.
【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.
【详解】函数,周期为
【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式 三角函数的最小正周期公式，属于基础题.
14．##
【分析】根据题意，由同角三角函数关系可得的值，而，最后利用齐次式化成关于的分式即可解.
【详解】解：由，得，
则
.
故答案为：.
15．（答案不唯一）
【分析】先由关于轴对称得出关系式，再由诱导公式求解即可.
【详解】由题意得，，由诱导公式知，
显然满足题意，解得.
故答案为：（答案不唯一）.
16．[－4，4]
【分析】根据正切函数的单调性可得－1≤tan x≤1，令tan x＝t，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1，1]，
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4，4]．
故答案为：[－4，4]
【点睛】本题考查了正切函数的单调性、二次函数的单调性求值域，属于基础题.
17．(1);(2).
【分析】(1)根据诱导公式直接化简即可;
(2)由,可以利用诱导公式计算出,再根据角所在象限确定,进而得出结论.
【详解】(1)根据诱导公式
,
所以;
(2)由诱导公式可知,即,
又是第三象限角,
所以,
所以.
【点睛】本题主要考查诱导公式的运用,属于基础题.使用诱导公式时,常利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”进行记忆.
18．(1)
(2)；
【分析】（1）根据为等边三角形，可得，即可求解.
（2）利用扇形的弧长公式以及扇形的面积公式即可求解.
（1）
由于圆O的半径r为10，弦AB的长为10，
所以为等边三角形，，所以．
（2）
因为，所以，
．
又，
所以．
19．(1)最小正周期，单调递增区间为，
(2)最大值为0
【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式以及辅助角公式即可化简为，然后根据周期公式可求周期，整体代入法求单调增区间,（2）根据的范围可求，进而可求的值域，故可求的范围.
【详解】（1）
故函数的最小正周期.
由得.
∴函数的单调递增区间为，.
（2）∵，∴，
∴，.
由恒成立，得，即.故a的最大值为0.
20．（1）；（2）20分钟.
【分析】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，从而可得高度与的关系；
（2）令，从而可得所求的时间长.
【详解】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设离地方的高度为，
则以为终边的角为，
故，
所以，.
（2） 令，即，故，
故在摩天轮转动的一圈内，有20分钟时间长点P距离地面超过70m.
21．(1)定义域为；无单调递减区间；单调递增区间为
(2)
【分析】（1）由可求得定义域；令可解得的单调递增区间；
（2）将看作一个整体，可得，解不等式即可求得不等式的解集.
【详解】（1）由题意得：，解得：，
的定义域为；
令，解得：，
的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由得：，解得：，
则的解集为.
22．(1)
(2)
【分析】（1）由题意求得，根据，求得，结合偶函数的定义，即可求解；
（2）由题意求得，根据，求得，结合奇函数的定义，即可求解；
(1)
解：由函数，
可得，，
若是偶函数，则，即，可得，
当时，函数，
此时函数满足，函数为偶函数.
(2)
解：由，可得，
若是奇函数，则，可得，
当时，，
此时函数满足，函数为奇函数.
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