高中数学（苏教版2019）必修第一册第7章单元综合测试C（含答案）

一、单选题
1．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称．给出下面四个结论：①将的图象向右平移个单位长度后得到函数图象关于原点对称；②点为图象的一个对称中心；③；④在区间上单调递增．其中正确的结论为（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
3．函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论中：
①；②函数的最小正周期为；
③函数在区间上单调递增；④函数关于点中心对称
其中正确结论的个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
4．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．设函数，若存在实数，满足当时，，则正整数的最小值为（ ）
A．505 B．506 C．507 D．508
7．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若存在实数、，使得，且，则的最大值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．5
二、多选题
9．高斯是德国著名的数学家，人们称他为“数学王子”，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数（例如：，），则称为高斯函数．已知函数，，下列结论中不正确的是（ ）
A．函数是周期函数
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的值域是
D．函数只有一个零点
10．设函数，若在有且仅有5个最值点，则（ ）
A．在有且仅有3个最大值点
B．在有且仅有4个零点
C． 的取值范围是
D．在上单调递增
11．已知函数，其中.对于任意的，函数在区间上至少能取到两次最大值，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期小于
B．函数在内不一定取到最大值
C．
D．函数在内一定会取到最小值
12．已知函数（，），的一个零点是，图象的一条对称轴是直线，则下列四个结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．直线是图像的一条对称轴
三、填空题
13．如图，某地区有三个居民小区分别位于点，，处，其中，，的中点为，在线段上选一点建一座供水水塔，向三个小区铺设管道，则管道总长度的最小值为___________.
14．已知函数，若的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值是______．
15．已知函数，若函数的所有零点依次记为且，，若，则__________.
16．已知直线与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点，，满足，则实数______.
四、解答题
17．如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地（圆心角为）和（圆心角为），为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域，一块为平行四边形区域，已知圆的直径百米，且点在劣弧上（不含端点），点在上 点在上 点和在上 点在上，记.
(1)经设计，当达到最大值时，取得最佳观赏效果，求取何值时，最大，最大值是多少？
(2)设矩形和平行四边形面积和为，求的最大值及此时的值.
18．在①f(x)的图像关于直线对称，②f(x)的图像关于点对称，③f(x)在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a存在，求出a的值；若a不存在，说明理由.
已知函数的最小正周期不小于，且___________，是否存在正实数a，使得函数f(x)在[0，]上有最大值3？
注∶如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．已知函数，其中，，，
(1)求的最小正周期和对称中心；
(2)在中，，，分别是角，，的对边，若，，求的取值范围．
20．函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数的图像.
（1）当时，求的值域
（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值
21．已知，函数，其中.
（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；
（2）求函数的最大值（可以用表示）；
（3）若对区间内的任意，，若有，求实数的取值范围.
22．已知函数，.
（1）当时，写出的单调递减区间（不必证明），并求的值域；
（2）设函数，若对任意，总有，使得，求实数t的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数的单调递增区间，结合集合的包含关系求出的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个的范围，两个范围取交集即可求解.
【详解】令，解得，，
而函数在区间上单调递增，
所以，解得，
当时，，
因为在区间上有且仅有一个解，
所以，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得的一个取值范围；然后根据取最值的个数，求得的另一个范围.这里要注意，说明，而根据题意，只有一个解，所以只能取一个值，而根据函数本身的图象可以发现只能等于1.如果能够取到，那么根据自变量的范围，此时肯定也可以取1，所以舍去.
2．C
【解析】根据题设条件，结合三角函数的性质，求得函数的解析式，再结合三角函数的图象变换和三角函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】因为函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，
所以 ，解得，
因为，所以，因此，
①将的图象向右平移个单位长度后函数解析式为，
由，得，所以其对称中心为：，故①错；
②由，解得，即函数的对称中心为；令，则，故②正确；
③由，故③错；
④由，得，
即函数的增区间为，因此在区间上单调递增，故④正确.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
3．C
【分析】对①，先根据图象分析出的取值范围，然后根据分析出的可取值，然后分类讨论的可取值是否成立，由此确定出的取值；对②，根据图象平移确定出的解析式，利用最小正周期的计算公式即可判断；对③，先求解出的单调递增区间，然后根据的取值确定出是否为单调递增区间；对④，根据的值是否为,即可判断.
【详解】解：由图可知： ，
，
即，
又，，
由图可知：，
又，
，
且，
，
故，
当时，，解得：，满足条件，
，
故，
对①，由上述可知①错误；
对②，，
的最小正周期为，故②正确；
对③，令，
即，
令，此时单调递增区间为，且，故③正确；
对④，，
不是对称中心，故④错误；
故选：C.
【点睛】方法点睛：已知函数，
若求函数的单调递增区间，则令，；
若求函数的单调递减区间，则令，；
若求函数图象的对称轴，则令，；
若求函数图象的对称中心或零点，则令，．
4．D
【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围
【详解】因为，所以.由，得.
当时，，又，则.
因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.
故选：D.
5．D
【分析】利用函数的图象变换规律，利用三角函数的图象和三角恒等变形，可得，即，，从而得到，进而得到的值.
【详解】函数的图像向左平移个单位长度后，可得的图象.
由条件为奇函数，则，即
又，所以，即
关于的方程在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即，其中(为锐角) 在内有两个不同的解，
即方程即在内有两个不同的解，
由，则，
所以，
所以
则，即，
所以，
故选：D
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，诱导公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
6．C
【解析】根据正弦函数的性质，确定的最值，根据题中条件，得到尽可能多的取得最大值，即可求解.
【详解】因为，即，，所以，当与一个等于，另一个为时，取得最大值；
为使满足的正整数最小，只需尽可能多的取得最大值，
而，
所以至少需个，才能使，
此时，即.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于根据三角函数的性质，确定的最大值，得到中有项取得最大值时，即可求解.
7．A
【解析】根据图象变换求出的解析式，利用周期缩小的范围，再从反面求解可得结果.
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，周期，
因为函数在上没有零点，所以，得，得，得，
假设函数在上有零点，
令，得，，得，，
则，得，，
又，所以或，
又函数在上有零点，且，
所以或.
故选：A
【点睛】关键点点睛：求出函数的解析式，利用间接法求解是解决本题的关键.
8．A
【分析】本题首先可根据正弦函数性质得出、，然后根据得出，根据得出，最后根据得出，即可得出结果.
【详解】因为，，
所以，，
，即，，
，即，，
则，
因为，所以，，
因为，所以的最大值为，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦函数性质求参数，能否根据求出、是解决本题的关键，考查计算能力，是难题.
9．AB
【分析】由题可知函数为偶函数，结合条件可得，然后逐项判断即得.
【详解】∵，
∴，
∴函数为偶函数，不是周期函数，是周期函数，
对于，当时，，当时，，
∴，
由函数为偶函数，函数是偶函数，时函数成周期性，但起点为，所以函数不是周期函数，故选项A不正确；
由函数是偶函数，函数的图象关于对称，由，，故函数的图象不关于对称，故B不正确；
由上可知函数的值域是，故C正确；
由可得，，当时，，，当时，，，当时，，，故直线与的图象只有一个交点，即函数只有一个零点，故D正确.
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正弦函数的性质分析函数的图象和性质，进而利用高斯函数的定义可得函数的性质即得.
10．ACD
【分析】令，利用图像逐项分析最值点、零点个数，单调性即可.
【详解】，
，，
令，，
画出图像进行分析:
对于A选项：由图像可知：在上有且仅有这3个最大值点，故A选项正确；
对于B选项：当，即时，在有且仅有个零点；
当，即时，在有且仅有个零点，故B选项不正确；
对于C选项：在有且仅有个最值点，
，，
的取值范围是，故C选项正确；
对于D选项：，，，
由C选项可知，，
，在上单调递增，故D选项正确.
故选：ACD.
11．AD
【分析】先根据在区间上至少能取到两次最大值可得，据此可得，从而可得判断AB的正误，再根据的范围可得判断CD的正误，注意范围的进一步探究.
【详解】由题意可知，，即A正确；
因为，所以，
则当时，，
又，，
所以函数在上一定有最大值点，即B错误；
由题意可知，任意，总存在，使得：
，故，
整理得，
可得，，即C错误；
当时，，
又因为，，故，
所以函数在上一定有最小值点，即D正确.
故选：AD.
【点睛】思路点睛：对于含参数的正弦型函数问题，注意根据最值的特征合理刻画函数的性质，从而得到参数的取值范围内，此类问题，整体法是处理此类问题的基本策略.
12．AC
【分析】利用三角函数对称轴和零点之间的距离与周期的关系求得，代入求得；从而得到的解析式，利用诱导公式化简求得和即可.
【详解】设函数的最小正周期为，
图象的一条对称轴是直线，的一个零点是,
（），解得：（）,
所以（）,故B错误.
由上得：（）,
代入得：（）,
则（，）,解得：（，）,
又,当时，，故A正确.
又知是正奇数,设,则,
则（）,故C正确.
则（）,故D错误.
故选：AC.
13．##
【分析】首先设，，利用三角函数表示，再利用三角函数求最值.
【详解】解：设，，由，，的中点为，
可得，，，
则，，，
所以，
设，，
则， (其中)，
所以，即，因为，所以，所以当时，，取得最小值.
故答案为:.
14．13
【分析】根据的对称轴，以及其单调性，初步求得的取值范围，再对取值进行验证，即可求得结果.
【详解】由题意可得，，则，．
因为在上单调，所以，所以，即，解得，
则，即．
当时，在上不单调，所以，即不符合题意；
当，即时，在上单调，所以，即符合题意，故的最大值是13．
故答案为：.
【点睛】本题考察三角函数中的参数范围问题，解决问题的关键是充分挖掘函数对称性和单调性，属困难题.
15．
【详解】由题意，令，解得.
∵函数的最小正周期为，，
∴当时，可得第一个对称轴，当时，可得.
∴函数在上有条对称轴
根据正弦函数的图象与性质可知：函数与的交点有9个点，即关于对称，关于对称，…，即，，…，.
∵
∴
∴
故答案为.
点睛：本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期性，单调性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法结合函数的图象，本题解答的关键是根据对称性找到与的数量关系，本题有一个易错点是，会算错定义域内的交点的个数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错.
16．或##或
【分析】根据题意将条件转化为直线与函数的图象相交，由三角函数的周期性结合已知得出的长并用和的横坐标之差表示，再结合和的中点函数值取最值即可求解.
【详解】解：由题知，直线与与函数的图象相交
等价于直线与函数的图象相交
设，，
所以，
又由得：
即
化简得：①
由题知点和点的中点坐标为：
当直线与函数的交点在轴上方，则
即，
化简得：②
由①②联立得：，
所以
即
解得：
当直线与函数的交点在轴下方，则
即，
化简得：③
由①③联立得：，
所以
即
解得：
所以或
故答案为：或.
【点睛】关键点睛：本题的关键是设坐标之后列方程求出或者的整体，进而求出，并且要讨论交点在正弦型函数的下半部分和上半部分的情况.
17．(1)时，最大值为百米
(2)百米，
【分析】对于小问1，分别用变量来表达，，代入，得关于的函数，进行三角恒等变换整理成型函数求最大值；
对于小问2，分别用变量来表达矩形和平行四边形面积相加，得关于的函数，进行三角恒等变换整理成型函数求最大值.
（1）
在矩形OEFG中，，，所以.
因为MN∥PQ，，所以，
在△OQP中，，，由正弦定理可知：
，即，
得.
所以
因为，所以，当，时，最大值为百米.
（2）
设平行四边形MNPQ边MN上的高为h，所以有，
所以平行四边形MNPQ的面积为，
在矩形OEFG中，，所以矩形OEFG的面积为，
所以
.
其中，，，因为，所以，
当，时，百米2，
此时.
18．答案见解析
【分析】若选择①，即的图像关于直线对称，则可推出，进而利用正弦型函数的性质，求得的最大值，从而得到，不符合题意.
若选择②，可得，进而求得的最大值，，从而得到，不符合题意.
若选择③，可得，进而求得的最大值，从而得到，符合题意.
【详解】解：由于函数的最小正周期不小于，所以，
所以，，
若选择①，即的图像关于直线对称，
有，解得，
由于，，，所以，，
此时，，
由，得，
因此当，即时，取得最大值，
令，解得，不符合题意.
故不存在正实数a，使得函数在上有最大值
若选择②，即的图象关于点对称，
则有，解得，
由于，，，所以，
此时，
由，得，因此当，即时，
取得最大值，
令，解得，不符合题意.
故不存在正实数a，使得函数在上有最大值3；
若选择③，即在上单调递增，
则有，
解得，
由于，，，所以，
此时，
由，得，
因此当，即时，取得最大值，
令，解得，符合题意.
故存在正实数，使得函数在上有最大值
19．(1)最小正周期为，对称中心为，
(2)
【分析】（1）根据向量数量积公式、降幂扩角及辅助角公式化简成的形式，然后可求最小正周期和对称中心；
（2）求出，根据正弦定理把边，都转化到用角表示，确定角的范围，然后就能求出的取值范围．
(1)
，，所以的最小正周期为，，，，
的对称中心为，．
(2)
，，，
，∴，∴，
在中，由正弦定理得，，即：，
∴，，∴，存在，使，，∴，
，则，由，，
∴，∵，
综上：的取值范围为．
20．（1）（2）
【分析】（1）根据图象的最低点求得的值，根据四分之一周期求得的值，根据点求得的值，由此求得函数的解析式，进而根据图象平移变换求得的解析式，并由此求得时的值域.（2）先求得的值域，由此求得的值域.令对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围，由此求得的最大值.
【详解】（1）根据图象可知
代入得，，
把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数
，
设，则，
此时，
所以值域为.
（2）由（1）可知
对任意都有恒成立
令，
，是关于的二次函数，开口向上
则恒成立
而的最大值，在或时取到最大值
则，，
解得
所以，则的最大值为.
【点睛】本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
21．（1），；（2）；（3）.
【分析】（1）由题设得，则，代入可得.
（2）由（1）知，的最大值即为的最大值，讨论、、时在上的单调性，即可得对应的最大值.
（3）将问题转化为，结合（2）所得单调性，求的范围.
【详解】（1）由题意，，而，则，
∴，显然，则，且，
∴，；
（2）的最大值，即的最大值.
①时，在递减，；
②时，在递增，；
③时，在递增，递减，；
综上，
（3）由题意，，即，；
①时，在递减，
则：；
②时，在递增，
则：；
③时，在递增，递减，，
则：：
综上，.
【点睛】关键点点睛：第二问，要求的最大值，即求的最大值，讨论参数a结合的区间单调性写出最大值；第三问，将问题转化为，结合所得单调性求参数范围即可.
22．（1）单调递减区间为；值域为；（2）.
【分析】（1）由对勾函数的图像，直接写出递减区间和值域；
（2）先求出的值域，把对任意，总有，使得转化为两个值域的包含关系，解不等式即可.
【详解】（1）当时，的图像如图示，
∴的单调递减区间为；值域为
（2），由知：，
∵上递减；上递增；
∴在上单增，在上单减，
∴在上的值域为，记B=
设的值域为A，要使“对任意，总有，使得”，只需.
对于：
当时，在上单增，有，
此时，只需，解得：.
当时，在上单减，值域为；在上单增，值域为，
此时，只需，解得：；
当时，在上单减，有，
此时，只需，无解.
综上：.
∴实数t的取值范围为
【点睛】方法点睛：含双量词的数学问题中参数范围的求解分为两大类：
（1）不等式型转化为最值的比较；
（2）等式型的转化为值域的包含关系.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页