高中数学（苏教版2019）必修第一册第5章单元综合测试C（含答案）

一、单选题
1．已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，，，则（ ）注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数.
A．的值域为 B．
C． D．以上选项都不对
3．已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数是定义在上的偶函数，是奇函数，且当时，，则（ ）
A．1 B． C． D．2020
5．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是
A． B．
C． D．
6．若，则（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
7．已知实数，，，满足，且，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.
如果可是函数的一个“黄金区间“，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题
9．已知偶函数的定义域为R，且当时，，当时，，则以下结论正确的是（ ）
A．是周期函数 B．任意
C． D．在区间上单调递增
10．对圆周率的计算几乎贯穿了整个数学史．古希腊数学家阿基米德（公元前287—公元前212）借助正96边形得到著名的近似值：．我国数学家祖冲之（430—501）得出近似值，后来人们发现，这是一个“令人吃惊的好结果” ．随着科技的发展，计算的方法越来越多．已知，定义的值为的小数点后第n个位置上的数字，如，，规定．记，，集合为函数的值域，则以下结论正确的有（ ）
A． B．
C．对 D．对中至少有两个元素
11．对于定义在D函数f(x)若满足:
①对任意的xD，f(x)+f(-x)=0;
②对任意的，存在D，使得=.
则称函数f(x)为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（ ）
A． B．
C． D．
12．若在区间上有恒成立，则称为在区间上的下界，且下界的最大值称为在区间上的下确界，简记为．已知是上的奇函数，且，当时，有．若，，不等式恒成立，下列结论中正确的是（ ）
A．直线是函数图象的一条对称轴
B．若，则的最大值为4
C．当时，
D．若，则是不等式恒成立的充分不必要条件
三、填空题
13．定义在R上的函数是减函数，的图象关于成中心对称，若s，t满足不等式，则当时，的取值范围是______.
14．已知函数，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为___________.
15．若，则________.
16．若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是_________.
四、解答题
17．对任意实数a，b，定义函数，已知函数，，记.
（1）若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，且，求使得等式成立的的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求在区间上的最小值.
18．已知二次函数满足，且的最小值为0．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，且在区间上是增函数，求实数的取值范围．
19．已知函数，函数，其中
（1）若恒成立，求实数t的取值范围；
（2）若，
①求使得成立的x的取值范围；
②求在区间上的最大值．
20．对于定义在R上的函数，若存在正数m与集合A，使得对任意的，当，且时，都有，则称函数具有性质．
(1)若，判断是否具有性质，并说明理由；
(2)若，且具有性质，求m的最大值；
(3)若函数的图像是连续曲线，且当集合（a为正常数）时，具有性质，证明：是R上的单调函数．
21．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数．
（1）求函数图象的对称中心；
（2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
22．给定函数．且用表示，的较大者，记为．
（1）若，试写出的解析式，并求的最小值；
（2）若函数的最小值为，试求实数的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】由题可得函数关于点对称，函数在R上单调递增，进而可得，利用函数的单调性即得.
【详解】由，得且函数关于点对称．
由对任意，，均有，
可知函数在上单调递增．
又因为函数的定义域为R，
所以函数在R上单调递增．
因为a，b为关于x的方程的两个解，
所以，解得，
且，即．
又，
令，则，
则由，得，
所以．
综上，t 的取值范围是.
故选：D．
2．B
【分析】设，（，且，为互质的正整数） ，B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，然后对A选项，根据黎曼函数在上的定义分析即可求解；对B、C选项：分①，；②，；③或分析讨论即可．
【详解】解：设，（，且，为互质的正整数），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，
对A选项：由题意，的值域为，其中是大于等于2的正整数，
故选项A错误；
对B、C选项：
①当，，则，；
②当，，则，＝0；
③当或，则，，
所以选项B正确，选项C、D错误，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数在上的定义去分析.
3．C
【分析】题目比较综合，先要通过的奇偶性，列出关于的方程组，用方程组的方法求出关于的解析式，，可以变形为，是单调性的定义，说明构造新函数之后，函数在单调递增，最后根据新函数在区间的单调性，可以分类讨论得到函数中参数的范围
【详解】由题得：是奇函数，所以；是偶函数，所以
将代入得：
联立 解得：
，等价于，
即：，令，则在单增
①当时，函数的对称轴为，所以在单增
②当时，函数的对称轴为，若在单增，则，得：
③当时，单增，满足题意
综上可得：
故选：C
【点睛】题目考察的知识点比较综合，涉及到：
①函数奇偶性的应用
②通过方程组法求解函数的解析式
③构造新函数
④已知函数在某一区间内的单调性，求解参数的范围
需要对函数整个章节的内容都掌握比较好，才能够顺利解决
4．B
【分析】依题意得到函数是周期为4的周期函数，继而分别求得，进而求得结果.
【详解】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则有，
又是奇函数，则，
所以
即，则有，
所以函数是周期为4的周期函数，
则，，
故.
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：依题意探究得到函数是周期为4的周期函数.
5．D
【分析】利用对勾函数求得在的最小值，再得图象向右移动个单位，其函数值扩大倍，从而求解.
【详解】当时，的最小值是
由知
当时，的最小值是
当时，的最小值是
要使，则，
解得：或
故选：D.
【点睛】本题考查对勾函数和的图象平移和函数值的倍数关系，属于难度题.
6．B
【分析】由，构造函数，可得，再结合的单调性和奇偶性即可求解
【详解】构造函数，
由，
可得，
，且定义域为，
是奇函数，
，
又易得为上的单调递增函数
故选：B
7．D
【分析】先求解出方程的解，然后利用换元法（）将表示为关于的函数，根据条件分析的取值范围，然后分析出关于的函数的单调性，由此求解出的取值范围.
【详解】因为，所以且，
令，则，且，所以，
又因为且，所以且，
所以，所以，所以，
当时，，
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
当时，，当时，，所以；
当时，，
因为、在上单调递增，所以在上单调递减，
当时，，当时，，所以，
综上可知：，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于构造函数方法的使用，通过方程根的计算以及换元方法的使用将多变量问题转化为单变量问题，最后通过函数的性质解决问题.
8．C
【分析】根据题意得到在上单调，从而得到为方程的两个同号实数根，然后化简，进而结合根与系数的关系得到答案.
【详解】由题意， 在和上均是增函数，而函数在“黄金区间” 上单调，所以或，且在上单调递增，故，即为方程的两个同号实数根，
即方程有两个同号的实数根，因为，所以只需要或，
又，所以，则当时，有最大值.
9．BCD
【分析】根据已知条件，求出时，；时，，再结合时，及偶函数的性质，对各选项逐一分析即可求解.
【详解】解：因为为R上的偶函数，所以，
又时，，
所以时，，
所以，，
当时，，
由题意，，
所以时，，，
因为时，，所以不是周期函数，故选项A错误；
因为为R上的偶函数，且时，，
所以任意，故选项B正确；
因为，
所以选项C正确；
因为，，所以，，
又当时，，，
所以由二次函数性质知在区间上单调递增，所以选项D正确，
故选：BCD.
10．AC
【分析】对于A：根据定义，直接求出，即可判断；
对于B：根据定义，直接求出的值域为，即可判断；
对于C：求出，即可判断；
对于D：求出k=10时，的值域为，即可否定结论.
【详解】对于A：由题意，集合为函数的值域，所以集合为函数的值域.
所以由可得：，，，，，，，，，，故.故A正确.
对于B：由题意，集合为函数的值域，所以集合为函数的值域.
规定．记，，
所以，令，，则，
因为
，
所以
所以的值域为.故B错误.
对于C：因为，所以，所以对.故C正确；
对于D：
由C的推导可知：.
因为，，
所以，令，，则，
因为
，
所以
，
，
即k=10时，的值域为.故D错误.
故选：AC
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：
(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；
(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.
11．ABC
【分析】对于四个选项中的函数，分别验证是否满足题干中的两个条件，特别是条件②，A选项，对任意的，存在满足要求；B选项，对任意的，则存在满足要求；C选项，对任意的，存在满足要求.
【详解】A选项，，若，则，则，同理，则，则，
对任意的，存在，使得，
对任意的，则存在，使得，
综上：满足条件①②，故是“等均值函数”，A正确；
B选项，，定义域为，，
对任意的，存在，使得，符合要求，故B正确；
C选项，，定义域为R，且，对任意的，存在，使得，C符合要求，故C正确；
D选项，，定义域为，不能使得对于任意的均有，故D选项不合题意，舍去
故选：ABC
12．BCD
【解析】由函数的奇偶性、、的解析式可得函数的图象，根据图象可判断AB，由周期性求出上的解析式可判断C，根据下确界定义，结合图象和已知可判断D.
【详解】因为是上的奇函数，所以，
当时，有，所以时，有，
因为，所以，
所以的周期为16，且，所以关于对称，
图象如图，
对于A， 可知是函数的对称中心，直线不是对称轴，错误；
对于B， 若，，即，正确；
对于C，当时，函数经过，，设解析式为，
所以，解得，，
当时，函数经过，，设解析式为，
所以，解得，，
所以时，，因为周期为16，当时， ，正确；
D. 若，即恒成立，当时，故存在矛盾；当时，也存在矛盾；因此，k在上考虑，此时，所以，即在上的最小值大于等于-3，在上的范围为，所以，解得，
因为，所以是的充分不必要条件，正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查了对新定义和性质的理解，关键点是作出函数的图象，结合图象可正确理解性质，考查了学生的理解能力、推理能力及运算能力.
13．
【分析】根据题意分析出为奇函数，从而由得，
然后结合即可求出.
【详解】因为的图象关于中心对称，所以的图象关于中心对称，
所以为奇函数，所以由得，
又因为函数是R上的减函数，
所以，化简得.
又，所以，
所以，而，故.
故答案为：.
14．
【分析】问题可转化为，分类讨论结合即可得出结论.
【详解】，
，即对任意的 ，都存在，使 恒成立，
有，
当时，显然不等式恒成立；
当时，，解得 ；
当时，，此时不成立.
综上，.
故答案为：
15．
【解析】利用换元法，令，则，代入关系式，再用方程法求出解析式，
【详解】令，则，.
原式可变为①，
用代替t，则有②，
由①②消去得，
.
故答案为：
【点睛】此题考查求函数解析式，涉及换元法代换，方程法求解析式，考查通式通法.
16．
【分析】令，讨论的取值范围，确定函数的单调性，根据单调性确定函数的最大值与最小值，使且恒成立，进而确定的取值范围以及的取值范围，即求.
【详解】令
I.当时，函数显然单调递增，
所以，，
由题意可得，
这与矛盾，故舍去；
II，当时， 在单调递减，单调递增，
①.当时，即，所以，
由题意可得，
这与矛盾（舍去）.
②．当时，即，
所以，
，
由题意得，
a.当时，此时，
所以
，故，
而 ，故，
b.当时，此时，所以
，
故，
而，
故.
③．当时，即，
所以，，
由题意可得，
这与矛盾，
综上所述：.
故答案为：
【点睛】本题考查了对勾函数的单调性、利用单调性求函数的最值，考查了分类讨论的思想，属于难题.
17．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）一元二次不等式在R上恒成立问题，用判别式求解即可.
（2）将整理为，表示出，分类讨论即可
（3）由（2）得到，分类讨论求出的取值范围，进而得到的最小值.
【详解】解：（1）根据题意知，恒成立，即有对于任意的恒成立，
∴由得，∴；
（2）∵，
∴，又由知，，
∴若，则有时，，
①当时，，
∴，又，∴；
②当时，，∴，
∵，∴，
∴上式不成产，
综上①②知，使等式成立的的取值范围是.
（3）由（2）知，且，
∴，
∴当时，，∴，
当时，.
①当时，又，即时，
；
②当，即时，；
∴，
由，时，
；
由，
无实数解；
由时，
，
综上，当时，；
当时，.
【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
18．（1）；（2）或．
【分析】（1）利用待定系数法即求；
（2）由题知，结合二次函数的性质分类讨论即求.
【详解】（1）设二次函数，
∵，∴，
即，
∴，，
∴，
又∵，∴，
∴函数的解析式为．
（2）．
①若时，即，，在上是增函数；
②若，即时，设方程的两个根为，，且，
此时在和上是增函数，令，
(i)若，则，∴．
(ii)若，则，∴．
综上所述，或．
19．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）将问题转化为“恒成立”，然后根据与的大小关系求解出的取值范围；
（2）①分别考虑时不等式的解集，由此确定出成立的的取值范围；
②先将写成分段函数的形式，然后分段考虑的最大值，其中时注意借助二次函数的单调性进行分析.
【详解】（1）因为恒成立，所以恒成立，
所以恒成立，所以，解得，
所以；
（2）①当时，，所以，解得；
当时，，所以，
因为，所以，
所以无解，
综上所述：的取值范围是；
②由①可知：，
当时，，所以，所以；
当时，的对称轴为，所以，
且，所以，
令，所以，所以，
综上可知：.
【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于对取最小值函数（）的理解以及分类讨论思想的运用，通过分类讨论的思想确定出的解析式，再分析对应的每段函数的最大值，从而确定出的最大值.
20．(1)具有性质，理由见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）对一切，，且
由于
具有性质.
（2）令，
则
∵具有性质，
∴当时，恒有，即
，.
（3）∵函数具有性质，
∴对任意的区间，当时，都有成立.
下面证明此时，恒有或恒有
若存在，使得①，
不妨设②
当①或②式中有等号成立时，与矛盾
当①②两式中等号均不成立时， 的函数值从连续增大到时，必在存使得，也与矛盾，
同理可证也不可能.
∴对任意的区间，当时，
恒有或恒有，
∵对任意的，总存在，使得：，
∴当时，，
此时在单调递增，
当时，
成立，
此时在上单调递减，
综上可知是上的单调函数.
【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，关键在于理解所给定义，一般就是需要具体化新定义的内容，研究所给特例问题，一般需要化抽象为具体，具有很强的类比性，对类比推理要求较高.
21．（1）；（2）在区间上为增函数；（3）.
【解析】（1）根据题意可知，若函数关于点中心对称，则，
然后利用得出与，代入上式求解；
（2）因为函数及函数在上递增，所以函数在上递增；
（3）根据题意可知，若对任意，总存在，使得，则只需使函数在上的值域为在上的值域的子集，然后分类讨论求解函数的值域与函数的值域，根据集合间的包含关求解参数的取值范围．
【详解】解：（1）设函数图象的对称中心为，则．
即，
整理得，
于是，解得．
所以的对称中心为；
（2）函数在上为增函数；
（3）由已知，值域为值域的子集．
由（2）知在上单增，所以的值域为．
于是原问题转化为在上的值域．
①当，即时，在单增，注意到的图象恒过对称中心，可知在上亦单增，所以在上单增，又，，所以．
因为，所以，解得．
②当，即时，在单减，单增，
又过对称中心，所以在单增，单减；
此时．
欲使，
只需且
解不等式得，又，此时．
③当，即时，在单减，在上亦单减，
由对称性，知在上单减，于是．
因为，所以,解得．
综上，实数的取值范围为．
【点睛】本题考查函数的对称中心及对称性的运用，难点在于（3）的求解，解答时应注意以下几点：
（1）注意划归与转化思想的运用，将问题转化为两个函数值域之间的包含问题求解；
（2）注意分类讨论思想的运用，结合对称性，分析讨论函数的单调性及最值是关键．
22．（1），；（2）或．
【分析】由的定义可得，（1）将代入，写出解析式，结合分段区间，求，的最小值并比较大小，即可得的最小值；（2）结合的解析式及对称轴，讨论、、分别求得对应最小值关于的表达式，结合已知求值.
【详解】由题意，
当时，，
当时，，
∴
（1）当时，，
∴当时，，此时，
当时，，此时，
.
（2），且对称轴分别为，
①当时，即时，在单调递减，单调递增；
，即，（舍去），
②当，即时，在单调递减，单调递增；
，有，故此时无解.
③当，即时，在单调递减，单调递增；
，即，（舍去）
综上，得：或.
【点睛】关键点点睛：写出的解析式，第二问需结合各分段上的函数性质-对称轴，讨论参数范围求最小值关于参数的表达式，进而求参数值.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页