高中数学（苏教版2019）必修第一册第6章单元综合测试C（含答案）

一、单选题
1．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B．
C． D．
2．已知m＝log4ππ，n＝log4ee，p＝，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（　　）
A．p＜n＜m B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m
3．设是定义在R上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有，则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于的不等式在上恒成立（其中、），则（ ）
A．当时，存在满足题意 B．当时，不存在满足题意
C．当时，存在满足题意 D．当时，不存在满足题意
5．已知实数满足，则的关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知三次函数，且，，，则（ ）
A．2023 B．2027 C．2031 D．2035
7．已知的最小值为2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，直线OB与对数函数的图象交于两点，经过E的线段AC垂直于y轴，垂足为C，若四边形OABC是平行四边形，且平行四边形OABC的面积为4，则实数a的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
二、多选题
9．已知为定义在R上的偶函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（ ）
A．
B．函数在定义域上是周期为2的函数
C．直线与函数的图象有2个交点
D．函数的值域为
10．已知函数在区间I上连续，若对于任意，，且，都有，则称函数为区间I上的下凸函数，下列函数在定义域上为下凸函数的是（ ）
A．
B．
C．，
D．
11．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是减函数
E．m，n是奇数时，幂函数的定义域为
12．已知函数，若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是___________
14．已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是______.
15．设函数在区间上的最大值为，若，则实数t的最大值为___________.
16．某同学向王老师请教一题：若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．王老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号，且在有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中的取值范围是__________．
四、解答题
17．已知函数.
(1)求在上的最大值；
(2)设函数的定义域为I，若存在区间，满足:对任意，都存在(其中表示A在I上的补集)使得，则称区间A为的“Γ区间”.已知，若为函数的“Γ区间”，求a的最大值.
18．（1）当时，解关于x的方程；
（2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围；
（3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围
19．定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)求证：在上是减函数；
(3)若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．
20．已知函数，.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若存在两不相等的实数，使，且，求实数的取值范围.
21．已知是偶函数，是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断的单调性，并简要说明理由；
（3）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
22．已知，（且）．
(1)求的值；
(2)若，解关于x的不等式：（其中）．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】利用对数运算的性质将化简为，从而和c比较大小，同理比较a,c的大小关系，再根据两个指数幂的大小结合对数的运算性质可比较a,b大小，即可得答案.
【详解】由题意：，，故．
又，即，所以，即，
因为，所以．
因为，故，即，
所以，所以，
所以，所以，
故选：B.
2．C
【分析】根据已知条件，应用对数函数的单调性、对数的换底公式，可比较m，n，的大小关系，再由指数的性质有p＝，即知m，n，p的大小关系.
【详解】由题意得，m＝log4ππ，
，
∵lg4＞lgπ＞lge＞0，则lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lge，
∴，
∴，而p＝，
∴n＜m＜p．
故选：C．
3．B
【解析】利用指数的运算性质易得时，进而根据偶函数的性质和函数在上的单调性，将不等式很成立问题转化对任意的恒成立，若，易于得出矛盾，在时利用不等式恒成立的意义不难求得的最大值.
【详解】当时，
若对任意的，均有即为，
由于,当时，为单调递增函数，
又∵函数为偶函数，
∴等价于，即（∵）,
由区间的定义可知,若，于是,即，
由于的最大值为，故显然不可能恒成立；
,即,∴,即,
故的最大值为,
故选：B.
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，涉及指数函数，函数的奇偶性，分类讨论思想，关键是时，化归为，再利用偶函数和单调性转化为对任意的恒成立，注意对的符号的分类讨论.
4．D
【分析】本题首先可根据题意得出函数满足有一零点为、当时、当时，然后对四个选项依次进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.
【详解】因为关于的不等式在上恒成立，
所以必需要满足、，
即对于函数，必有一零点为且零点左右函数值符号不同，
即当时，；当时，，
A项：，，令，，，
此时，不满足零点左右函数值符号不同，A错误；
B项：，，令，，，
此时，存在满足题意，B错误；
C项：，，令，，，
此时，不满足零点左右函数值符号不同，C错误；
D项：，，令，，，
此时，不满足当时且当时，，
即不存在满足题意，D正确，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立的相关问题的求法，主要考查二次函数性质以及对数函数性质，能否根据题意将不等式转化为函数满足有一零点为、当时、当时是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是难题.
5．C
【分析】利用幂函数的性质知，利用对数的运算性质及作差法可得，再构造，根据指数的性质判断其符号，即可知的大小.
【详解】；
，；
，；
，
∴，
综上，.
故选：C
6．D
【分析】根据题意，构造函数，根据可以知道，进而代值得到答案.
【详解】设，则，所以，所以，所以.
故选：D.
7．D
【分析】注意观察时，，所以让时， 恒成立即可，根据参变分离和换元方法即可得解.
【详解】当时，，
又因为的最小值为2，
，所以需要当时， 恒成立，
所以在恒成立，
所以在恒成立，
即在恒成立，
令 ，则，
原式转化为在恒成立，
是二次函数，开口向下，对称轴为直线，
所以在上 最大值为，
所以，
故选：D.
8．B
【分析】先利用平行四边形以及平行关系，得到E和B点的坐标，再利用四边形面积，求出a即可.
【详解】设，由题意，轴，
从而，而OABC是平行四边形，从而，
故，又E为AC中点，从而有，
而EBO三点共线，即，即
解得，即，从而，，
从而四边形面积，故
故选：B
9．AD
【分析】根据已知条件中函数是偶函数且时，有以及时，，画出函数图象，逐一分析四个结论的真假，可得答案.
【详解】当时，有，
时，是周期为2的函数，且为定义在R上的偶函数，
故图象如图
， ，
，故选项A正确.
由图知，所以函数在定义域上不是周期为2的函数，故选项B错误.
由图知直线与函数的图象有1个交点，故选项C错误.
函数的值域为，故选项D正确.
故选：AD.
10．ACD
【分析】利用下凸函数的定义逐项分析即得.
【详解】对于A，由，可知，任意，，且，
则
，故A正确；
对于B，，，函数在定义域上不连续，故B错误；
对于C，，，任意，，且，
∴，
∵，
∴
，
即，故C正确；
对于D，，可知，任意，，且，
∵，，，
∴ ，故D正确．
故选：ACD．
11．ACE
【解析】将函数还原成根式形式：，分别讨论m，n是奇数偶数的时候辨析函数的奇偶性和单调性.
【详解】，
当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；
当m是偶数，n是奇数，幂函数/在时无意义，故B中的结论错误
当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确；
时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；
当m，n是奇数时，幂函数在上恒有意义，故E中的结论正确.
故选：ACE.
【点睛】此题考查幂函数的奇偶性和单调性的辨析，关键在于准确掌握幂函数的指数变化对第一象限的图象的影响，利用m，n是奇数偶数的变化讨论函数的奇偶性.
12．BCD
【分析】首先根据函数的解析式得到关于直线对称，那么函数图像只取, 的部分图像，的图像将对数函数在轴下方的图像翻到上方即可，从而得到的范围，进而判断AB选项；令得到，从而得到；又时，，再根据基本不等式求解范围即可.
【详解】当时，.
设函数，则有，，
，故是偶函数，且最小值为0.
当时，，
所以在上单调递增，
又是偶函数，所以在上单调递减.
把的图象向左平移一个单位长度，
得到函数的图象，
故函数的图象关于直线对称，
故可得到函数在上的图象.
作出函数的大致图象，如图所示.
又，故函数的图象与轴的交点为.
作平行于轴的直线，
当时，直线与函数的图象有四个交点.
数形结合可知，故A错误；
由，得，
又根据题意知，
所以，即，
即，所以，故B正确；
令，
则，，得，，
因此，故正确；
又时，，
且函数在上单调递增，
所以，故D正确.
故选：BCD
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
13．
【分析】题目等价于函数与函数在区间上同增或者同减，分别讨论两个函数同增或同减的情况列出不等式可求解.
【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增，
若区间为函数的“稳定区间”，
则函数与函数在区间上同增或者同减，
①若两函数在区间上单调递增，
则在区间上恒成立，即，
所以；
②若两函数在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，即，不等式无解；
综上所述：，
故答案为：.
14．
【分析】求出函数在区间上的值域为，由题意可知，由，可得出，由题意知，函数在区间上的值域包含，然后对分、、三种情况分类讨论，求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式（组），解出即可.
【详解】由于函数在上的减函数，则，即，
所以，函数在区间上的值域为.
对于函数，内层函数为，外层函数为.
令，得.
由题意可知，函数在区间上的值域包含.
函数的图象开口向上，对称轴为直线.
（i）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，，即，
此时，函数在区间上的值域为，
由题意可得，解得，此时，；
（ii）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，，即，
此时，函数在区间上的值域为，
由题意可得，解得或，此时；
（iii）当时，函数在区间上单调递减，则，，则函数在区间上的值域为，
由题意可得，解得，此时，.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查指数函数与对数函数的综合问题，根据任意性和存在性将问题转化为两个函数值域的包含关系是解题的关键，在处理二次函数的值域问题时，要分析对称轴与区间的位置关系，考查分类讨论思想、化归与转化思想的应用，属于难题.
15．
【分析】由题意：在区间，为正数）上的最大值为，转化为，当时，则有：，可得：，或因此只需要，即可得出．
【详解】解：由题意：在区间，为正数）上的最大值为，转化为，
当时，
则有：
那么：①
当或时，
或
只需要，
即：
得：②
把①式代入②，
得：，
化为：，
，解得．
的最大值为．
故答案为：．
16．
【解析】由参变量分离法可得出，利用已知条件求出函数在上的最小值，由此可得出实数的取值范围.
【详解】，，由可得，
由于不等式恒成立，当且仅当时取等号，且存在，使得，
所以，，当且仅当时，等号成立，.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
17．（1）答案见解析；（2）1.
【解析】（1）作出函数的图象，分， ，利用数形结合法求解.
(2)根据对任意，都存在使得，分，，分别求得在和上的值域，利用集合法求解.
【详解】（1）函数的图象如图所示：
当时，的最大值为，
当时，的最大值为.
(2) 当时，在上的值域为，在上的值域为，
因为满足:对任意，都存在使得，
所以 ，成立；
此时为函数的“Γ区间”，
当时，在上的值域为，在上的值域为，
当时， ，所以， ，
即存在，对任意使得，
所以不为函数的“Γ区间”，
所以a的最大值是1.
【点睛】方法点睛：双变量存在与恒成立问题：
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 的值域是的子集；
18．（1）；（2）或；（3）
【分析】（1）解对数方程，其中；（2）有意义，要求真数大于0；（3）通过化简变为有且仅有一个解，对进行分类讨论，注意变形中的真数要始终成立，所以要检验.
【详解】（1）∵
∴
∴
（2）对数有意义，则，解得：或，
所以实数x的取值范围为或；
（3）
即
=①
方程两边同乘x得：
即②
当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求
当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求
当且时方程②的解为或，
若是方程①的解，则，即
若是方程①的解，则，即
则要使方程①有且仅有一个解，则
综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明.
（2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明.
（3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理.
【详解】（1）令，，得，所以．令，得，即，所以函数是奇函数．
（2）设，则，所以．
因为，，，所以，即，所以．
又，所以，所以，
所以，即．所以在上是减函数．
（3）由（2）知函数在上是减函数，
所以当时，函数的最大值为，
所以对任意，恒成立等价于对任意恒成立，即对任意恒成立．
设，是关于a的一次函数，，
要使对任意恒成立，
所以，即，解得或，
所以实数t的取值范围是．
20．（1）为奇函数；（2）
【分析】（1）先求出函数的定义域，进而根据奇偶函数的定义，判断即可；
（2）易知是定义域内的减函数，由，可知且，进而可将原问题转化为不等式在有解，求取值范围，由，令，可得在上有解，进而分离参数得在有解，求出的取值范围，进而可得到的取值范围.
【详解】（1）∵，
∴，解得，
∴的定义域为，其定义域关于原点对称，
又，
∴，
故为定义域内的奇函数.
（2）∵函数都是上的减函数，
∴是定义域内的减函数，
∵，且为定义在的奇函数，
∴且，
∴原问题等价于不等式在有解，求取值范围.
而，
令，，则，
令，可知，则，
构造函数，，
根据对数函数的单调性，可知在上单调递减，在上单调递增，
由，可得，所以，
所以在上有解，
注意到当时，，因此在有解.
取，则，，从而.
因此在上有解.
根据对勾函数的性质，可知函数在上单调递增，
所以，
所以，即.
【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值（取值范围）问题常见的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数的单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
21．（1）；（2）在上是增函数；（3）．
【分析】（1）由奇偶性定义求的值；
（2）求导函数，由的正负确定单调性；
（3）由的单调性得到关于的不等式，分离参数转化为求函数的最值．
【详解】（1）因为是偶函数，所以恒成立，
，，恒成立，所以，
是奇函数，则，，此时满足，
所以；
（2），显然是增函数，且，所以是减函数，
所以是增函数；
（3）由（2）不等式等价于，所以在上恒成立，设，
因为是增函数，所以是增函数，是增函数，而是增函数，所以是增函数，时，，
所以．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握单调性的性质是解题关键．
（1），是增函数，则也是增函数；
（2），是减函数，则也是减函数；
（3）是增函数，是减函数，则是增函数；
（4）是增函数，时，是增函数，时，是减函数．
22．(1)
(2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
【分析】（1）利用对数式与指数式的互化，及指数幂的运算即可得解；
（2）利用对数的运算可得，再分类讨论，，，和，解不等式即可得解.
(1)
由，，得，
(2)
，
，
不等式
（1）当时，不等式为：，解得，不等式的解集为；
（2）当时，方程的两个根为和
①当时，，二次函数开口向下，不等式的解集为；
②当时，，二次函数开口向上，不等式的解集为；
③当时，二次函数开口向上，不等式的解集为；
④当时，二次函数开口向上，不等式的解集为；
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页