高中数学（苏教版2019）必修第一册第7章单元综合测试B（含答案）

一、单选题
1．函数的最小正周期为，点是图象上一个最高点，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则在区间上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A． B．0 C．7 D．
3．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知锐角终边上一点A的坐标为，则角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
5．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
6．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第天时太阳直射点的纬度值为，该科研小组通过对数据的整理和分析.得到与近似满足.则每1200年中，要使这1200年与1200个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为（ ）（精确到1）参考数据
A．290 B．291 C．292 D．293
7．阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，则（ ）
A． B．π C． D．2π
8．若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则在上的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
9．给出下列四个选项中，其中正确的选项有（ ）
A．若角的终边过点且，则
B．若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角
C．若在单调递减，则
D．设角为锐角（单位为弧度），则
10．已知θ是锐角，那么下列各值中，sinθ＋cosθ不能取得的值是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
B．在上单调递增
C．在内有2个零点
D．在上的最大值为
12．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数f(x)在上单调递减
C．函数g(x)＝cos2x的图象可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到
D．函数f(x)的图象关于（，0）中心对称
三、填空题
13．已知对任意都有，则等于________．
14．已知函数，将的图象上所有点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到图象，若在有个不同的解，则__________.
15．已知函数在上单调递增，则的取值范围为_________．
16．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆（半径为20cm）中作出两个扇形和，用扇环形（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形的面积为，扇形的面积为，当时，扇形的现状较为美观，则此时扇形的半径为__________cm
四、解答题
17．已知函数周期是.
（1）求的解析式，并求的单调递增区间；
（2）将图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图像向上平移个单位后得到函数的图像，若时，恒成立，求m得取值范围.
18．m=cos+ cos+ cos+ cos+ cos
（1）化简m=
（2）若 f(cos(x))=16x 求 f(m)+m=？
（3）若g((sinx))=16x+cosx，求g(cos)的值
19．已知函数．
（1）求它的定义域和值域；
（2）求它的单调区间；
（3）判断它的奇偶性；
（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．
20．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点A、及的中点 处．km，km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、等距的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，，．记铺设管道的总长度为ykm．
(1)设（弧度），将表示成的函数并求函数的定义域；
(2)假设铺设的污水管道总长度是km，请确定污水处理厂的位置．
21．已知：，:.
(1)当时，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
22．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系．
(1)求的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】由最小正周期求出，点是图象上一个最高点求得 A、，利用平移规律得到，
根据的范围得到的单调性，利用单调性可得答案.
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，，
因为点是图象上一个最高点，所以A＝2，，又，所以，
所以，，
当时，，
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，，，所以在区间上的值域为．
故选：A．
2．D
【分析】由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可.
【详解】解:令得,故定点为,
所以由三角函数定义得，
所以
故选：D
3．D
【分析】根据题意可得数字黑洞为123，然后利用诱导公式即得.
【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，
所以数字黑洞为123，即，
∴.
故选：D.
4．A
【分析】先根据定义得正切值，再根据诱导公式求解
【详解】，
又，为锐角，
∴ ，
故选：A.
5．A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
6．B
【分析】设闰年个数为，根据闰年个数对应天数一致的原则建立关系式，求解即可.
【详解】解：，
所以一个回归年对应的天数为天
假设1200年中，设定闰年的个数为，则平年有个，
所以
解得：.
故选：B.
7．B
【分析】利用正弦型函数的性质画出函数图象，并确定连续三次位移为的时间，，，即可得，可求参数.
【详解】由正弦型函数的性质，函数示意图如下：
所以，则，可得.
故选：B
8．C
【分析】由图像平移过程写出平移后的解析式，利用正弦函数的对称性求参数，最后由正弦型函数的单调性求区间最小值即可.
【详解】将向右平移个长度单位后，得到，
∵关于对称，
∴，
∴，即，
又，则，即，
由知：，则，
∴在上的最小值为.
故选：C.
9．AD
【分析】A由终边上的点可得即可求m值；B由题设，进而求的范围即可知所在的象限；C利用对数复合函数的单调性，结合单调区间求参数范围；D利用单位圆确定所代表的长度，即可比较大小.
【详解】A：，易知且，则，正确；
B：，则，可知为第一象限或第三象限角，错误；
C：由，当时，上递增，上递减；当时，上递减，上递增；而在上递减，则且，可得，故错误；
D：如下图，单位圆中，显然，正确；
故选：AD
10．BCD
【分析】由题意利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的范围，从而得出结论.
【详解】解：，，
又，
，
.
选项A在此范围，其余选项都不在此范围，
故选：BCD.
11．BC
【分析】A.根据函数的平移判断；B.求出函数的单调增区间来判断；C.求出函数的零点来判断；D.求出函数的最大值来判断；
【详解】由题得，
由的图象向右平移个单位长度，得到的图象，所以选项A错误；
令，
得其增区间为，
所以在上单调递增，所以选项B正确；
令得，
得，又．
所以可取，即有2个零点，所以选项正确；
由得，
所以，所以选项D错误．
故选：BC．
12．AC
【分析】首先利用“五点法”求函数的解析式，利用函数的性质求函数的单调递减区间，判断选项，再利用平移规律，判断选项，利用对称中心公式求函数的对称中心，判断选项.
【详解】解：对于A：根据函数的图象：φ＝（k∈Z），解得φ＝（k∈Z），
由于|φ|＜，
所以当k＝0时，φ＝．
由于f（0）＝，所以A，解得A＝．
所以f(x)＝，故A正确；
对于B：令（k∈Z），
解得：（k∈Z），
所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z），
故函数在[]上单调递减，在[]上单调递增，故B错误；
对于C：函数f（x＋）＝，故C正确；
对于D：令（k∈Z），解得（k∈Z），
所以函数的对称中心为（）（k∈Z），由于k为整数，故D错误；
故选：AC．
【点睛】思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证此区间是否是函数的增或减区间.
13．
【分析】由给定等式可得图象的一条对称轴，再借助正弦型函数的性质即可得解.
【详解】因对任意都有，则直线是图象的一条对称轴，
所以.
故答案为：
14．
【分析】根据三角函数平移伸缩变换法则求出函数的解析式，再利用函数的对称性即可求出在的解，即可得解．
【详解】根据题意可知，，由得，由，可得，所以函数关于对称，因为，所以由可得，因此．
故答案为：．
15．
【分析】由含绝对值正弦函数的区间单调性，结合正弦型函数的性质求的范围.
【详解】当时，．
因为，所以，．
因为函数在上单调递增，
所以，解得．
故答案为：
16．
【分析】根据已知条件和扇形的面积公式可求得答案.
【详解】设，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为，
，所以，即，
所以，所以，又，所以，
故答案为：.
17．（1），单调递增区间为，；（2）.
【解析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式化简可得，由，解得，带入正弦函数的递增区间，化简即可得解；
（2）根据三角函数的平移和伸缩变换可得，根据题意只需要，分别在范围内求出的最值即可得解.
【详解】（1）
由，解得
所以，
∵
∴
∴
∴的单调递增区间为，
（2）依题意得
因为，所以
因为当时，恒成立
所以只需转化为求的最大值与最小值
当时，为单调减函数
所以，，
从而，，即
所以m的取值范围是.
【点睛】本题考查了三角函数的单调性和最值，考查了三角函数的辅助角公式和平移伸缩变换，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有：
（1）三角函数基本量的理解应用；
（2）三角函数图像平移伸缩变换的方法；
（3）恒成立思想的理解及转化.
18．（1）；（2）或（3）或，.
【分析】（1）利用诱导公式化简即得解；
（2）求出或，,即得解；
（3）求出或，，即得解.
【详解】（1）m= ，
所以m=；
（2）或
所以或，
所以或
（3）或，.
所以或，.
所以或，.
19．（1）定义域为，值域为；（2）单调增区间为，单调减区间为；（3）非奇非偶函数； （4）.
【分析】（1）利用两角和差的三角函数，结合对数的运算化简可得，
由真数大于零，即，利用三角函数的图象和性质求解，即得函数的定义域；根据三角函数的值域和对数函数的图象与性质，可求得函数的值域；
（2）利用对数函数的单调性，三角函数的单调性，结合复合函数的单调性可求得函数的单调增减区间；
（3）利用奇偶函数的定义域的对称性，结合（1）中所的定义域，即可得到函数为非奇非偶函数；
（4）根据三角函数的周期性，即可得到函数的周期.
【详解】（1），
由,解得
∴函数的定义域为；
由,∴，∴函数的值域为；
（2）在定义域内，当,即时，是单调递增的，故函数时单调递减的；
当,即时，是单调递减的，故函数时单调递增的；
∴单调增区间为，单调减区间为；
（3）由（1）得函数的定义域为，
定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；
（4）∵的最小正周期为,∴函数的最小正周期为.
【点睛】本题考查对数函数与三角函数的复合函数的定义域，值域，单调性，奇偶性和周期性问题，关键是掌握复合函数的单调性求解方法,熟练掌握三角函数的单调性，简单三角不等式的求解方法，并注意单调性求解和奇偶性判定时一定要考察清楚函数的定义域.
20．(1)
(2)位置是在线段的中垂线上且离的距离是 km
【分析】（1）依据题给条件，先分别求得的表达式，进而得到管道总长度y的表达式，再去求其定义域即可解决；
（2）先解方程，求得，再去确定污水处理厂的位置.
【详解】（1）矩形中，km，km，
，，
则，
则
（2）令
则
又，即，则，则
此时
所以确定污水处理厂的位置是在线段的中垂线上且离的距离是 km
21．(1)；(2).
【分析】(1)将代入即可求解；(2)首先结合已知条件分别求出命题和的解，写出，然后利用充分不必要的特征即可求解.
【详解】(1)由题意可知，，解得，
故实数的取值范围为；
(2)由，解得或，
由，解得，
故命题：或；命题：，
从而：或，
因为是的充分不必要条件，
所以或或，
从而，解得，
故实数的取值范围为.
22．(1) ，;(2) 8小时.
【分析】(1)根据三角函数的图像即可求的表达式；
(2)根据正弦函数的图像与性质解,结合即可求解.
【详解】解：(1)因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，
所以，，，
所以，解得．
所以，．
(2)由(1)得，，
所以，
所以，
解得，
因为，
所以，．
所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时．
答案第1页，共2页
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