2021-2022学年浙江省金华市东阳市七校人教版九年级（下）开学数学试卷（含解析）

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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………
…
)
2021-2022学年浙江省金华市东阳市七校九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（本题共10小题，共30分）
已知，则下列结论一定成立的是( )
A. ， B. C. D.
对于二次函数的图象，下列说法正确的是( )
A. 开口向下 B. 当时，有最大值是
C. 对称轴是 D. 顶点坐标是
下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是( )
A. B.
C. D.
生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，可以增加视觉美感．若图中为米，则约为( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
一块圆形宣传标志牌如图所示，点，，在上，垂直平分于点现测得，，则圆形标志牌的半径为( )
A. B. C. D.
如图，边长为的小正方形构成的网格中，半径为的的圆心在格点上，则的正切值等于( )
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
如图，为的直径，点，点是上的两点，连接，，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
如图，在中，中线，相交于点，连线，有下列结论：
是的中位线，；
；
是的重心，；
若的面积的为，则的面积的为．
其中正确结论( )
A. B. C. D.
如图，抛物线的顶点为下列结论：
；
；
；
，
当时，
有两个不相等的实数解．正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本题共6小题，共24分）
一个布袋里放有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸出个球，摸到白球的概率是______．
如图，中，，，，点在上，以为直径作与相切于点，则的长为______．
如图，是的内切圆，，的延长线交于点，若，，则的半径______ ．
如图所示，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能做成一个圆锥的侧面和底面，已知圆半径为，则此圆锥的侧面积是______．
如图；在矩形中，，是边上的一点，且，是线段上的一个动点，把沿折叠，点的对应点为，当点与点重合时，点恰好落在上，则的最小值是______．
如图：二次函数的图象与轴交于、两点点在点的左侧与轴交于点，顶点为点．
在抛物线的对称轴上找一点，使的值最大时，则点的坐标为______；
在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小时，则点的坐标为______．
三、解答题（本题共8小题，共66分）
计算：．
如图，是由边长为的小正方形构成的网格，根据要求，画出符合要求的图形．只能用无刻度的直尺完成作图
在图中找出的重心．
在图中找出符合要求的个格点，画出相应的格点三角形，使得．
在图中在线段上画出个点，使得：：．
一个仅装有球的不透明布袋里共有个球只有编号不同，编号分别为，，，．
从中任意摸出一个球，则摸到号球的概率是______；
从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，用列表或树状图求两次摸出的球的编号之和为偶数的概率．
如图是一种折叠台灯，将其放置在水平桌面上，图是其简化示意图．测得其灯臂长为，灯罩长为，底座厚度为，根据使用习惯，灯臂的倾斜角固定为．
当转动到与桌面平行时，求点到桌面的距离；
在使用过程中发现，当转到至时，光线效果最好，求此时灯罩顶端到桌面的高度参考数据：，，，，结果精确到个位．
如图，在中，，与相切于点，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，连结．
求证：是的切线．
若，，求的长．
某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点，为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．
求雕塑高．
求落水点，之间的距离．
若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明．
定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：如图，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，，，
，求出的长度．
如图，在四边形中，，，对角线平分请问是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由；
运用：
如图，已知是四边形的“相似对角线”，连接，若的面积为，求的长
如图：抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且是的中点．
求抛物线的表达式；
若点是该抛物线上下方的动点，求面积的表达式及面积最大值时的坐标；
点是该抛物线上第四象限内的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点若以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
设，，
A、，，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，，
，
故D不符合题意；
故选：．
利用设法进行计算，逐一判断即可．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：二次函数的图象的开口向上，故A错误；
当时，函数有最小值，故B错误；
对称轴为直线，故C错误；
顶点坐标为，故D正确．
故选：．
根据二次函数的性质对各选项进行判断．
本题考查了二次函数的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：正方体展开图的种情况可分为“型”种，“型”种，“型”种，“型”种，
只有选项D不能作为正方体的展开图，
故选：．
根据正方体的展开图的种不同情况进行判断即可．
本题考查正方体的展开图，理解和掌握正方体的展开图的种不同情况，是正确判断的前提．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
根据雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，因为图中为米，即可求出的值．
【解答】
解：雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，
，
为米，
米．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：连接，，如图，
点，，在上，垂直平分于点，，
，、、在一条线上，即为圆的半径，
设圆形标志牌的半径为，可得：，
解得：，
故选：．
连接，，利用垂径定理解答即可．
此题考查勾股定理和垂径定理，关键是利用垂径定理解答．
6.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．
此题主要考查了圆周角定理同弧或等弧所对的圆周角相等和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
由根据圆周角定理得出，根据可得出结论．
本题考查的是扇形面积的计算及圆周角定理，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
连接，利用圆周角定理得到，结合则，然后利用圆的内接四边形的性质求的度数．
【解答】
解：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：、为的中线，
是的中位线，
，，所以正确；
∽，
，所以错误；
中线，相交于点，
是的重心，
，
，所以正确；
点为的中点，
，
，
，所以正确．
故选：．
由于、为的中线，则根据三角形中位线性质可对进行判断；通过证明∽，根据相似三角形的性质得到，则可对进行判断；根据三角形重心的定义和性质对进行判断；根据三角形面积公式，利用点为的中点得到，再利用得到，则可对进行判断．
本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：也考查了三角形中位线性质和相似三角形的判定与性质．
10.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴在轴右侧，
与异号，即，
抛物线与轴交点在轴正半轴，
，
，故错误，不符合题意．
抛物线与轴有两个交点，
，故正确，符合题意．
抛物线的顶点为，
抛物线对称轴为直线，
，，
把代入得，
由图象可得时，
故正确，满足题意．
当时，，
当时，，
，
即，
故正确，符合题意；
当时，，
故正确，符合题意．
故正确的是共个，
故选：．
根据函数图象分别判断，，的符号即可判断结论；利用图象与轴交点的个数即可判断结论；利用对称轴及当时函数值的正负即可判断结论；利用和时的函数值的正负即可判断结论；把代入解析式即可判断．
本题考查二次函数系数与图象的关系，解题关键是根据图象找出对应值与的大小关系．
11.【答案】
【解析】解：布袋里放有个红球和个白球，共个球，
从布袋中任意摸出个球，摸到白球的概率是；
故答案为：．
用白球的个数除以总球的个数，即可得出答案．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
12.【答案】
【解析】解：在中，，
，
，
，
，
，
为圆的直径，
为圆的切线，又也为圆的切线，
．
故答案为：．
在直角三角形中，根据的正切函数以及的长度，求出的长，然后根据为直径且与垂直，得到为圆的切线，又因为也为圆的切线，根据切线长定理得到切线长与相等，即可得到的长．
此题考查切线的性质，掌握“圆外一点引圆的两条切线，切线长相等”是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：是的内切圆，
，，，
又，
是正方形．
设圆的半径为，则，．
是正方形，
．
∽．
即．
解得：．
故答案为：．
首先证明四边形是正方形．设圆的半径为，则，，然后证明∽，最后依据相似三角形的性质列方程求解即可．
本题主要考查的是三角形的内心的性质、相似三角形的性质和判定、正方形的判定、切线的性质，依据相似三角形的性质列出关于的方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：圆半径为，
扇形的弧长为，
设扇形的母线长为，
则，
解得，
圆锥的侧面积为，
故答案为：．
首先根据圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长的公式求得扇形的半径，从而利用扇形的面积公式求得圆锥的侧面积．
考查了圆锥的计算，解题的关键是了解扇形的面积公式和圆的周长公式，难度不大．
15.【答案】
【解析】解：当点与点重合时，如图，
设，，，
由折叠可知：，，
在中，，
则，
在中，，
由得，
解得：，
．
如图，
由题意知，
则点和点在以点为圆心，为半径的圆上，
连接，与交点即为所求点，
，，
，
则，
故AF的最小值为，
故答案为：．
设，根据折叠性质知，，由勾股定理可得，，中根据，解方程求出的长，由知点和点在以点为圆心，为半径的圆上，连接，与交点即为所求点，再根据勾股定理求解可得．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理及两点之间线段最短的性质等知识点．
16.【答案】
【解析】解：，
抛物线的对称轴为直线，顶点，
令，，解得或，
，，
令，得到，
，
设点关于直线的对称点为，则，
直线与对称轴的交点即为点，
设直线的解析式为，则，
，
直线的解析式为，
当时，，
．
故答案为：；
如图，连接，，过点作于点，对称轴交轴于点，连接，过点作于点，设交于点．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点与点重合时，的值最小，此时
故答案为：
设点关于直线的对称点为，直线与对称轴的交点即为点；
如图，连接，，过点作于点，对称轴交轴于点，连接，过点作于点，设交于点求出点的之比，证明，把问题转化为垂线段最短即可解决问题．
本题考查胡不归问题，二次函数的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
17.【答案】解：
．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：如图中，点即为所求；
如图中，即为所求；
如图中，点即为所求．

【解析】作出的中线，交于点，点即为所求；
构造等腰直角三角形即可解决问题；
取格点，，连接交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的重心，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】
【解析】解：从中任意摸出一个球，则摸到号球的概率是，
故答案为：．
根据题意画图如下：
共有种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有种，
则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是．
直接利用概率公式求解即可；
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概型的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：当转动到与桌面平行时，如图所示：
作于，于，交于，
则，，
，
，
，，
，
即点到桌面的距离为；
作于，作于，于，交于，如图所示：
则，，，
由得：，
，
，
，
，
在中，，
，
，
即此时灯罩顶端到桌面的高度约为．
【解析】如图，作于，于，交于，则，，由直角三角形的性质得出，，得出即可；
如图，作于，作于，于，交于，则，，，由得，求出，由三角函数得出，得出即可．
本题考查了解直角三角形、翻折变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识；通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21.【答案】解：证明：连接，如图，
，
．
，
．
与相切于点，
．
．
．
在和中，
，
≌．
．
是的切线．
由得：，
，
．
∽．
，
，，
，
．
．
在中，
．
【解析】连接，利用与相切于点，可得；通过说明≌得到，结论得证；
利用，可得，于是∽，得到，将已知条件代入可得，利用勾股定理在中可求．
本题主要考查了圆的切线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，平行线的判定与性质．连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键．
22.【答案】解：由题意得，点在抛物线上．
当时，，
点的坐标为，
雕塑高；
由题意得，点在抛物线上．
当时，，
解得：舍去，，
点的坐标为，
．
从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
，
，
即落水点，之间的距离是；
当时，，
点在抛物线上．
又，
顶部不会碰到水柱．
【解析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标；利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标；利用二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线上横坐标为的点的坐标．
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，进而可得出雕塑高的值；
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，进而可得出的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出的长，结合即可求出落水点，之间的距离
代入求出值，进而可得出点在抛物线上，将与比较后即可得出顶部不会碰到水柱．
23.【答案】解：四边形是以为“相似对角线”的四边形，
∽或∽，
，，
由勾股定理得，，
当∽时，
，
，
，
当∽时，
，
，
，
综上：或；
是四边形的“相似对角线”，理由如下：
平分，
，
，
，
，
∽，
是四边形的“相似对角线”；
作于，
是四边形的“相似对角线”，，
∽，
，
，
，
，
，
的面积为，
，
，
，
．
【解析】由题意知∽或∽，分别根据相似三角形的对应边成比例可得答案；
由角平分线的定义得，则，从而得出∽，即可证明结论；
作于，由是四边形的“相似对角线”，，得∽，则有，再由，表示出的面积，从而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，理解新定义“相似对角线”，证明三角形相似是解题的关键．
24.【答案】解：将，代入，
，
，
；
过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
设点，则，
，
，
当时，面积有最大值，
此时；
是的中点，
，
，
是等腰三角形，
设，则，
，，，
当∽时，，
，
解得，
；
当∽时，，
，
解得，
，
此时轴，
，
舍去；
当∽时，，
，
解得，
；
综上所述：点坐标为或
【解析】将，代入，即可求解；
过点作轴交于点，求出直线的解析式，设点，则，则，当时，面积有最大值，即可求解；
先判断是等腰三角形，设，则，分别求出，，，分三种情况讨论：当∽时，，；当∽时，，不符合题意；当∽时，，
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质是解题的关键．
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