高中数学（苏教版2019）必修第二册第11章单元综合测试B（含答案）

一、单选题
1．在中，、、分别为的内角、、的对边，，则角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．星等分为两种：目视星等与绝对星等但它们之间可用公式转换，其中为绝对星等，为目视星等，为距离（单位：光年）．现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5，且牛郎星和织女星与地球连线的夹角大约为34°，则牛郎星与织女星之间的距离约为（ ）（参考数据：，，）
A．26光年 B．16光年 C．12光年 D．5光年
3．在中，由角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则角A的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的值是（ ）
A．6 B．8 C．4 D．2
7．在中，，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
8．已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
二、多选题
9．在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则
C．若是锐角三角形，则
D．若，，，则的面积为或
11．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的面积为6
12．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是钝角三角形
C．若，则 内切圆半径为 D．若，则外接圆半径为
三、填空题
13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D在边BC上，且AD平分，，，，则的面积为__________.
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知BC边上的高为，若恒成立，则实数的取值范围是________．
15．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积为______．
16．中，角，，的对边分别为，，，其中为钝角，且，那么的范围是______.
四、解答题
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；
（2）若，求的值．
18．在中，角所对的边分别为．已知 ．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
19．在平面凸四边形ABCD中，∠BAD＝30°，∠ABC＝135°，AD＝6，BD＝5，BC＝．
(1)求cos∠DBA；
(2)求CD长．
20．已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C大小；
(2)当时，求的取值范围．
21．的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
（1）求角C的大小；
（2）若，求的值．
22．在中，角，，所对的边分别为，，，，.
（1）求外接圆的面积；
（2）若，，求的周长.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】由正弦定理将角化边，即可得到，再由余弦定理，即可得到，再利用辅助角公式及基本不等式即可得到，即可得解；
【详解】解：因为
由正弦定理可得，即，
又由余弦定理可知，
则，
则，即：，
，又，当且仅当时取等号，
∴，，，
故选：A.
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
2．B
【分析】依题意可得，设地球与牛郎星距离为，地球与织女星距离为，织女星与牛郎星距离为，求出，，再利用余弦定理计算可得；
【详解】解：由，所以，由题意知：、、、，设地球与牛郎星距离为，地球与织女星距离为，织女星与牛郎星距离为，则，
，如图由余弦定理，所以，即牛郎星与织女星之间的距离约为16光年；
故选：B
3．D
【解析】根据正弦定理和三角形的内角和定理，化简得到，再根据两角差的正切公式，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为在中，
由正弦定理可得．
因为，可得，
即，即，
所以．
因为，可得，所以，
当且仅当，即，，时取“=”，
所以，即的最大值为.
故选：D．
【点睛】对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.
4．C
【分析】用两种方法表示出，从而得到，再根据余弦定理，得到，消去后利用辅助角公式得到，再利用基本不等式求出的取值范围，进而求出角A的取值范围.
【详解】∵BC边上的高为，∴
由面积公式得：，
∴，故
由余弦定理得：
∴
由辅助角公式得：
∴
其中，当且仅当时，等号成立
∴
，解得：
∵
∴
故选：C
5．B
【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．
【详解】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故选：B．
【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．
6．A
【分析】根据正弦定理结合题干条件可得到，再由余弦定理得，代入已知条件可得到最终结果.
【详解】因为，
根据正弦定理得到：
故得到
再由余弦定理得到：
代入，，得到.
故选：A.
7．D
【分析】在中，，由余弦定理知，，两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该的形状．
【详解】在中，，
又由余弦定理知，，
两式相加得：，
（当且仅当时取“” ，又，
（当且仅当时成立），为的内角，
，，又，
的形状为等边△．
故选：．
8．C
【分析】利用正弦定理将边化为角，再逆用两角差的正弦公式及三角形内角和定理求解即可.
【详解】因为，
由正弦定理可得：，
所以，
所以，
所以或，
即(舍去)或，
故为直角三角形，
故选：C
9．ABD
【分析】利用正弦定理和余弦定理化简后可判断AB的正误，根据锐角三角形可得的范围，从而可判断C的正误，而，根据的范围可判断D的正误.
【详解】因为，所以由余弦定理得，
整理得，故A正确；
因为，所以由正弦定理得，
即，所以，
因为，所以，即，故B正确；
由锐角，得，，，
，，故C错误，
，，故D正确．
故选：ABD.
10．BCD
【分析】利用诱导公式判断A，利用正弦定理及大角对大边判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用余弦定理求出，再由面积公式计算即可判断D；
【详解】解：对于A：若，则，整理得：或，
即或，故为直角三角形或等腰三角形，故A错误；
对于B：若，即，利用正弦定理得：，故，故B正确；
对于C：是锐角三角形，所以，整理得，故，
整理得：，故C正确；
对于D：由余弦定理，即，解得或，
所以或，故D正确；
故选：BCD
11．ABD
【解析】利用余弦定理，结合题意，可求得的值，根据，利用正弦定理边化角，可求得的值，利用正弦定理及面积公式，可求得b的值及的面积，即可得答案.
【详解】因为，
所以，
所以，故A正确；
因为，利用正弦定理可得，
因为，所以，
所以，
即
因为，所以，
所以，又，
所以，故B正确；
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，故C错误；
，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积的求法，解题的关键在于灵活应用正余弦定理及面积公式，考查计算化简的能力，属中档题.
12．ACD
【分析】根据正弦定理知A正确，计算最大角为锐角，B错误，根据面积公式得到C正确，根据正弦定理得到D正确，得到答案.
【详解】，A正确；
，三角形最大角为锐角，B错误；
，故，，
设内切圆半径为，则，故，C正确；
，，D正确.
故选：ACD.
13．
【分析】利用正弦定理把式子中的角转化成边，化简后可得值，又由及可求出的值，从而得到的值.
【详解】由及正弦定理，得
，即，
由余弦定理得，又，所以，
因为AD平分，所以，
又因为，
即，化简得；
由及正弦定理，得.与联立，
解得.所以.
故答案为：
14．
【分析】根据面积公式可得，结合余弦定理可得，利用辅助角公式可求实数的取值范围.
【详解】，故，
又可转化为，
故，
所以，故，
所以，
因为，故，故，
当且仅当时等号成立，故即，
故答案为：.
15．
【分析】根据，结合，利用正弦定理得到，进而求得，再利用余弦定理，结合，求得a，b，c求解.
【详解】解：因为，
所以,又，
所以，因为是锐角三角形，
所以，
由余弦定理得，
即，解得，
又，则，
所以的面积为，
故答案为：
16．
【分析】先利用正弦定理实现边化角，整理条件得到，再根据为钝角，确定角的范围，从而得出的范围.
【详解】在中，根据正弦定理，可将条件化为.
把代入整理得，.
所以或，解得或(舍去).
又为钝角，所以
由，解得.
所以的范围.
故答案为：.
17．（1）；（2）.
【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c的方程，解方程可得边长c的值；
(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得的值，然后由诱导公式可得的值.
【详解】（1）因为，
由余弦定理，得，即.
所以.
（2）因为，
由正弦定理，得，所以.
从而，即，故.
因为，所以，从而.
因此.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；
（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.
【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得
，
又因为，所以；
（Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得；
（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ，
进而，
所以.
【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
19．(1)
(2)
【分析】（1）在三角形ABD中，由正弦定理得，利用平方关系和的范围得
；
（2）利用两角差的余弦展开式可得，注意余弦定理可得答案.
【详解】（1）在三角形ABD中，由正弦定理得：，
得，
，
∵∠DBA＜∠ABC，，
故不符合题意，∴．
（2），
在三角形BCD中，由余弦定理得
CD＝＝，
∴CD＝7．
20．(1)；
(2).
【分析】（1）由余弦定理及同角三角函数的基本关系化简求解即可；
（2）由三角恒等变化可得，再由正弦型三角函数的值域求解即可.
【详解】（1）由已知及余弦定理，化简，
可得，
∴，
∵为锐角，∴．
（2）由正弦定理，得，
，
由，
可得：，，
∴．∴．
21．(1) ；(2)．
【分析】(1)将等式化简，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角；
(2)利用正弦定理求出，再根据，可知，进而可根据同角三角函数关系，求出，再利用两角差的余弦公式可求得答案.
【详解】(1)由化简，
得，由正弦定理，得，
由余弦定理得，又，所以.
(2)因为，，所以由正弦定理，得，
因为，所以，所以，
所以．
所以．
【点睛】易错点睛：本题在利用同角三角函数求时，需要注意利用大边对大角确定角的范围.
22．（1）；（2）.
【分析】（1）先利用诱导公式将原式化简，再运用正弦定理进行边角互化，得出角的大小，然后运用正弦定理求解外接圆的半径，从而得出外接圆的面积.
（2）由及可解出，的大小，得出角的大小，进而得出角，然后在中，由余弦定理可解得的值，得出的周长.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，由正弦定理得：，
因为 ，所以，得，
又，故 ，
∴外接圆的半径，
∴外接圆的面积为.
（2）由及得：，，
∵，则为锐角，
∴，故.
如图所示，在中，由余弦定理得，
，
解得，
则的周长为.
【点睛】解三角形时，若题目所给式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或者边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征不明显，则两个定理都有可能用到.
答案第1页，共2页
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