高中数学（苏教版2019）必修第二册第9章单元综合测试B（含答案）

一、单选题
1．如图所示，在中，，，，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=
A．-3 B．-2
C．2 D．3
3．若三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
6．已知向量满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．3
8．在ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则λ等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，，，则的值可以是（ ）
A． B． C．2 D．
10．如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量，使的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量与共线，则有且只有一个实数λ，使得
D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0
11．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A．若，则
B．，若与平行，则
C．非零向量和满足，则与的夹角为
D．点，与向量同方向的单位向量为
12．已知向量，满足，，，下列说法中正确的有（ ）
A． B． C．与的夹角为 D．
三、填空题
13．在中，P是BC上一点，若，则___________.
14．设向量，若向量与向量共线，则实数________.
15．在中，若，，则_____.
16．已知P，Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD的中点，，且是不共线的向量，则向量___________.
四、解答题
17．已知向量满足：，且.
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若，求实数的值.
18．如图，已知向量和向量，用三角形法则作出
19．已知是两个单位向量，，，，.
（1）若，求；
（2）若，求的最大值及相应的值；
（3）若，，求证：.
.
20．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cosA＝﹣．
（1）求c；
（2）求cos2B的值．
21．已知向量满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
22．已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】利用平面向量的加法、数乘运算以及平面向量的基本定理即可求解.
【详解】因为在中，，,，
为边上的高，所以在中，，
又，
，
为的中点，
，
，
，
故选：D.
2．C
【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.
【详解】由，，得，则，．故选C．
【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
3．D
【分析】由平面向量共线定理求解.
【详解】解：因为，
所以．
由题意知，
所以．
解得，
故选：D
4．D
【分析】利用向量相等列方程即可求解.
【详解】因为，
所以，解得．
故选：D
5．D
【分析】选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.
【详解】记，
因为，
所以.
故选：D
6．C
【分析】先对平方，代入已知条件整理得，再利用数量积公式可求得.
【详解】，，
又，，，
设与的夹角为，
，
从而，所以与的夹角.
故选：C
7．A
【分析】设＝（x，y），由向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，，列方程组，能求出λ的值．
【详解】解：设＝（x，y），
∵向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，，
∴，
解得λ＝．
故选：A．
8．B
【分析】利用共线向量定理求解.
【详解】因为D是AB边上的一点，
所以A，B，D三点共线，
所以，则，
因为，
所以，
因为A，B，C不共线，
所以，解得，
故选：B
9．ABC
【分析】根据题意，坐标表示，求得的值，根据的取值范围，得到的取值范围即可求解.
【详解】解：因为，，所以，
则.
因为，所以，
故.结合选项可知选ABC.
故选：ABC.
10．BC
【解析】结合平面向量基本定理可选出正确答案.
【详解】由平面向量基本定理可知，A，D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，
若一个平面的基底确定，则该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，B错误.对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，
或当为非零向量，而为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在.
故选:BC.
11．BCD
【分析】根据向量的数量积、平行、几何意义、单位向量这些知识对每一个选项进行判断即可.
【详解】对于A，若且，可满足条件，但，故A不正确；
对于B，由条件，若这两向量平行，有，解得，故B正确；
对于C，由条件可知，以向量和为边对应的四边形为一个角是的菱形，则与的夹角为，故C正确；
对于D，可得，因此与同方向的单位向量为，故D正确.
故选：BCD.
12．ACD
【分析】对于A，对两边平方化简可求得，对于B，若，则化简后判断，对于C，由结合已知条件和数量积的定义可求得与的夹角，对于D，由进行求解
【详解】对于A，由，得，因为，，所以，得，所以A正确，
对于B，因为，所以不成立，所以B错误，
对于C，因为，所以，因为，，所以，因为，所以，所以C正确，
对于D，因为，，，所以，所以D正确，
故选：ACD
13．##
【分析】根据给定条件，用向量表示向量，再利用平面向量基本定理求解作答.
【详解】在中，，则，
又，且不共线，则，所以.
故答案为：
14．2
【分析】求得，根据，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，向量，可得，
因为向量与向量共线，所以，解得.
故答案为：.
15．
【分析】由题知是等腰直角三角形，故，，再根据数量积定义计算即可.
【详解】由，，知是等腰直角三角形，
∴，，
∴.
故答案为：.
16．
【分析】取AB的中点E，连接，然后利用向量的加法法则和三角形中位线定理求解.
【详解】如图，取AB的中点E，连接，
因为P，Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD的中点，
所以，
所以.
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）由展开，可解出，根据向量夹角公式即可求出夹角的大小；
（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出的值．
(1)
∵
∴
∵，且，
∴．
(2)
∵
∴，即
∴．
18．作图见解析
【分析】利用向量的加法法则和减法法则求作即可
【详解】解：作法：作向量，向量，则向量,
如图所示，作向量，则
19．（1）；（2）当时，最大值等于；（3）证明见解析.
【分析】（1）利用向量平行关系及特殊值即得；（2）将向量的模进行平方运算转化为二次函数类型求最值；（3）利用换元法以及三角公式即得.
【详解】解：（1），，
，
，或.
（2），，
，
是单位向量，，
，
，
，，
当时，即时，的最大值等于.
当时，的最大值等于.
（3）证明：，，
，
，
令，
则，，
，或，
，
，舍，
，
，
当时，上式不成立，，
.
20．（1）c＝2；（2）﹣．
【分析】（1）由余弦定理即可求得c的值；
（2）先由同角三角函数的平方关系求得sinA的值，再由正弦定理求出sinB的值，最后根据cos2B＝1﹣2sin2B，得解．
【详解】解：（1）由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA，即48＝36+c2﹣2×6×c×（﹣），
整理得，c2+4c﹣12＝0，
解得c＝2或﹣6（舍负），
故c＝2．
（2）∵cosA＝﹣，且A∈(0，π），
∴sinA＝，
由正弦定理知，，即，
∴sinB＝，
∴cos2B＝1﹣2sin2B＝﹣．
21．(1)
(2)
【分析】（1）由，即可求解；
（2）由，代入即可求解.
（1）
解：因为，
可得，解得.
（2）
解：因为，所以.
22．答案见解析.
【分析】根据方向角及飞行距离可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向．
【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，
向量如图所示，
由已知可得，
为正三角形，所以．
又，，
所以为等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模为，方向为东南方向．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页