高中数学（苏教版2019）必修第二册第10章单元综合测试A（含答案）

一、单选题
1．tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
2．已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
3．已知函数，则（ ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为3，最小值为-1
C．的最大值为，最小值为
D．的最大值为，最小值为
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．若，则＝（ ）
A．－ B． C．－ D．
二、多选题
9．设函数，则（ ）
A．的最小值为，其周期为
B．的最小值为，其周期为
C．在单调递增，其图象关于直线对称
D．在单调递减，其图象关于直线对称
10．设的终边在第二象限，则的值可能为（ ）
A．1 B．-1 C．-2 D．2
11．下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知，且，则___.
14．若，则锐角___________.（用弧度表示）
15．若，则______．
16．若，且，则___________.
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，，是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O）于A，B两点
（1）已知点A，将绕原点顺时针旋转到，求点B的坐标；
（2）若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值；
（3）若A，B两点的纵坐标分别为正数a，b，且，求的最大值.
18．已知tan＝2，tan(α－β)＝，α∈，β∈.
(1)求tan α的值；
(2)求2α－β的值．
19．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工且，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理.如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m.筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒Р到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为.
（1）求，，，的值；
（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点；
（3）在筒车运行的过程中，求相邻两个盛水筒距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出高度差的最大值.
20．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间上的值域．
21．已知，，且，，求的值.
22．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】详解：=
【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．
2．D
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
3．C
【分析】利用换元法求解函数的最大值和最小值即可.
【详解】因为函数，
设，，
则，
所以，，
当时，；当时，.
故选：C
4．B
【分析】根据正切值求得正弦、余弦值，从而求得二倍角的正弦值.
【详解】由知，，或，，
则，
故选：B
5．D
【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【详解】由题意，
.
故选：D.
6．D
【分析】由求解.
【详解】因为，，
所以，
又，
则，，
又，
所以，
所以，
，
故选：D
7．B
【解析】先将函数转化为，再根据，利用余弦函数的性质求解.
【详解】函数
因为，
所以，
，
所以函数的值域为，
故选：B
8．C
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答.
【详解】依题意，，所以.
故选：C
9．AD
【分析】首先化简函数，再判断函数的性质.
【详解】，函数的最小值是，周期，故A正确，B错误；
时，，所以在单调递减，令，得，其中一条对称轴是，故C错误，D正确.
故选：AD
10．AB
【分析】先求得的范围，由此进行分类讨论，结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，化简求得所求表达式的值.
【详解】∵的终边在第二象限，
∴，，
∴，，
，
故当，时，
，
当，时，
，.
故选：AB
11．AC
【分析】由二倍角公式计算可得．
【详解】；
；
；
．
故选：AC．
12．ACD
【分析】对于A，利用两角差的正弦余弦公式求出的值即可，对于B，利用两角和的余弦公式求解，对于C，求出的值代入化简即可，对于D，利用两角和的正切公式求解
【详解】对于A，因为，
，
所以，所以A正确，
对于B，因为，所以B错误，
对于C，因为，
所以，所以C正确，
对于D，因为，
所以，
所以，所以D正确，
故选：ACD
13．
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合二倍角的正弦公式进行求解即可
【详解】因为，所以，
因此有：
，
把代入，得，
故答案为：
14．
【分析】利用两角和的正弦展开式化简结合角的范围可得答案.
【详解】因为
，
所以，
因为，
所以，
所以，所以.
故答案为：.
15．
【解析】将展开代入即可.
【详解】
因为，所以.
故答案为：．
16．
【分析】根据题中条件，利用同角三角函数基本关系，先求出，进而求得和，代入所求式子，即可得出结果.
【详解】由得，，即，
所以.
因为，所以，
则，
所以，
因此.
联立解得，
所以.
故答案为：
17．（1）；（2）；（3）。
【分析】（1）设点在角的终边上，根据任意角的三角函数的定义可得再根据题意可知点在角的终边上，且，根据诱导公式即可求出点的坐标；
（2）由题意利用任意角的三角函数的定义求得和的值，再利用两角和差的三角公式，求得要求式子的值；
（3）由题意，角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，再利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，可得，平方可得，再利用基本不等式，即可求出结果．
【详解】（1）设点在角的终边上，
又，则，
所以点在角的终边上，且，
所以点的横坐标为，纵坐标为，即点坐标为.
（2）∵顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，
∴，且，求得，
则，，
则
．
（3）角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，
不妨假设在第一象限，则在第二象限，
根据题意可得，且，
∴，，
∴，
即，平方可得，，当且仅当时，取等号．
∴，当且仅当时，取等号，故当时，取得最大值为．
18．(1)；
(2).
【分析】（1）根据正切的和角公式即可求；
（2）结合已知条件，求出tan(2α－β)即可求角的大小.
【详解】（1）tan＝＝2，得tan α＝.
（2）因为tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝1，
又α∈，β∈，得2α－β∈，所以2α－β＝.
19．（1），，；（2）；（3）h，，最大值为.
【分析】（1）直接由题意求出，，，的值；
（2）求出函数解析式，由函数最大值为，可得，即，取得答案；
（3）设两个相邻的盛水筒分别用和表示（不妨设领先于，则，分别求出经过相邻两个盛水筒距离水面的高度，作差后利用三角函数求最值．
【详解】解：（1）由题知，得，
由题意得，，.
（2）由，得，
所以，即，
当时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时.
（3）设两个相邻的盛水筒分别用A和B表示（A领先于B），则经过相邻两个盛水筒距离水面的高度分别和，
所以，，
所以的最大值为.
20．（Ⅰ）最小正周期，[]（k∈Z）．（Ⅱ）[0，3]．
【解析】(Ⅰ)先用降幂公式,辅助角公式将化简,然后求得最小正周期和单调减区间;
(Ⅱ)先通过平移得到的解析式,由x∈,可计算得到,结合余弦函数的图象和单调性,可得解.
【详解】（Ⅰ）函数1﹣cos（2x）．
所以函数的最小正周期为，
令（k∈Z），整理得（k∈Z），
所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）＝2cos（2x）+1的图象，
由于x∈，所以，故，所以0≤g（x）≤3，故函数的值域为[0，3]．
【点睛】本题考查了三角函数的性质综合,考查了学生综合分析,转化化归,数学运算的能力,难度较易.
21．
【分析】由α，β的范围求出的范围，再利用平方关系及两角和的余弦公式即求.
【详解】因为，，
所以，
所以，
，
所以
.
22．（1）；（2）．
【分析】(1)由，，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解；
(2)由三角函数的基本关系式和诱导公式，求得，再结合二倍角的正切公式，即可求解．
【详解】(1)由题意知，，，所以，
则．
(2)由三角函数的基本关系式，可得，则
又由，
解得或，
又因为，可得，所以．
【点睛】利用诱导公式、两角和(差)的正弦、余弦、正切公式以及三角函数的基本关系求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形，并且注意角的范围对三角函数符号的影响．
答案第1页，共2页
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