高中数学（苏教版2019）必修第二册第9章单元综合测试A（含答案）

一、单选题
1．已知向量，，若与共线，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形为平行四边形，则．其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
3．已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．向量，满足，，，则在方向上的投影为（ ）
A．-1 B． C． D．1
5．P是所在平面内一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
6．已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，是不共线的向量，，，，若三点共线，则实数λ， 满足（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列四式可以化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法中错误的为（ ）．
A．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量和，满足，则与的夹角为30°
11．是边长为的等边三角形，已知向量、满足，，则下列结论中正确的有（ ）
A．为单位向量 B． C． D．
12．是边长为2的等边三角形,已知向量满足,,则下列结论中正确的是
A．为单位向量 B．为单位向量 C． D．
三、填空题
13．在平行四边形ABCD中，，，，则的坐标为______．
14．已知向量，，，_______．
15．已知，，O为坐标原点，，则的最小值为______．
16．已知，，，且相异三点、、共线，则实数________.
四、解答题
17．如图，已知正方形的边长等于单位长度1，，，，试着写出向量.
（1）；
（2），并求出它的模.
18．如图，已知D，E，F分别为的三边，，的中点，求证：．
19．如图所示，在中，D，F分别是边BC，AC的中点，且，，．求证：B，E，F三点共线．
20．如图所示，在中，，，与交于点M．过M点的直线l与、分别交于点E，F．
（1）试用，表示向量；
（2）设，，求证：是定值．
21．如图．在中，是的中点，点在上，且，与交于点．若，求的值．
22．在梯形中，，，P，Q分别为线段BC和CD上的动点．
(1)求与的数量积；
(2)若，求；
(3)若，求的最大值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据平面向量共线坐标表示可得答案.
【详解】由题意得，即.
故选：C
2．A
【分析】零向量的方向是任意的可判断（1）；单位向量方向不一定相同可判断（2）；有向线段只是向量的一种表示形式可判断（3）；根据向量的二要素可判断（4）；由相等向量的定义可判断（5），进而可得正确答案.
【详解】对于（1）：零向量不是没有方向，而是方向是任意的，故（1）不正确．
对于（2）：单位向量只是模均为单位，而方向不相同，所以单位向量不一定都相等，故（2）不正确．
对于（3）：有向线段只是向量的一种表示形式，向量是可以自由移动，有向线段不可以自由移动，不能把两者等同起来，故（3）不正确，
对于（4）：两向量相等，若起点相同，终点也相同；故（4）正确；
对于（5）：
如图：若四边形为平行四边形，则，且方向相同，但方向相反，所以与不相等，故（5）不正确；
所以正确的有一个，
故选：A.
3．D
【分析】建立如图所示的坐标系，根据可求其最大值.
【详解】以为原点建系，，
，即，故圆的半径为，
∴圆，设中点为，
，
，∴，
故选：D.
4．B
【解析】根据题条件，先求出，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果.
【详解】因为向量，满足，，，
所以，即，则，
所以在方向上的投影为.
故选：B.
5．B
【分析】根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状.
【详解】由，可得，即，
等式两边平方，化简得，，
因此，是直角三角形.
故选：B.
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题．
6．D
【分析】过作，根据平面向量基本定理求得，即可求得与的面积之比.
【详解】点是所在平面上一点，过作，如下图所示：
由，
故，
所以与的面积之比为，
故选：D．
7．B
【解析】根据向量的线性运算方法，分别求得，；
再由，得到，即可求解.
【详解】由，，，
可得，；
若三点共线，则，可得，化简得.
故选：B.
8．D
【分析】根据向量共线转化为，利用三点共线求实数的取值.
【详解】，又因为，
所以，即，
所以，
因为点三点共线，所以，
解得：.
故选：D
【点睛】本题考查向量共线，平面向量基本定理，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.
9．ABC
【分析】由向量加减法法则计算各选项，即可得结论．
【详解】A项中，；
B项中，；
C项中，；
D项中，.
故选：ABC
10．AC
【分析】由向量的数量积，向量的夹角，判断；向量的基本定理判断；向量的定义判断；平面向量的基本定理与向量的夹角等基本知识判断．
【详解】解：对于，与的夹角为锐角，
，
且时与的夹角为，所以且，故错误；
对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；
向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误；
对于．因为，两边平方得，，
则，，
故，
而向量的夹角范围为，，
得与的夹角为，故项正确．
故错误的选项为AC．
故选：AC．
11．ABD
【解析】求出可判断A选项的正误；利用向量的减法法则求出，利用共线向量的基本定理可判断B选项的正误；计算出，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】对于A选项，，，则，A选项正确；
对于B选项，，，，B选项正确；
对于C选项，，所以与不垂直，C选项错误；
对于D选项，，所以，，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.
12．AD
【解析】根据正三角形的性质与平面向量的线性运算与数量积分析即可.
【详解】∵等边三角形的边长为2,,∴,∴,故A正确；
∵,∴,∴,故B错误；
由于,∴与的夹角为120°,故C错误；
又∵,
∴,故D正确.
故选: AD.
【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算法则,属于基础题型.
13．
【分析】由向量相等的定义，利用计算．
【详解】
故答案为：．
14．
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
15．
【解析】根据向量的数量积运算，结合函数的性质即可求出．
【详解】解：，，
，，，，
，
，，，，，
，，，
，
，
，
，
令，
令，，，，，
则，此时，，
则当时，则的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，解答的关键是将转化为动点到两定点的距离之和，从而求出函数的最小值．
16．
【分析】本题首先可根据向量的运算法则得出、，然后通过题意得出，最后通过向量平行的相关性质即可得出结果.
【详解】，，
因为相异三点、、共线，所以，
则，解得或，
当时，，、重合，舍去，
故，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查通过三点共线求参数，主要考查向量平行的相关性质，若，，，则，求出的值后要注意检验，考查计算能力，是中档题.
17．（1）；（2），2.
【分析】（1）由即得解；
（2）由即得解.
【详解】（1）；
（2）.
∴.
【点睛】本题主要考查向量的加法法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．证明见解析
【分析】利用向量加法的三角形法则，在图形中寻找回路，即可证明．
【详解】由题意知，，，
由题意可知，．
．
19．证明见解析
【分析】利用平面向量基本定理求出，，再根据向量共线定理得即可证明．
【详解】证明：因为在中，D，F分别是边BC，AC的中点，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以．
又与有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
20．（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）由向量共线定理即可求出；
（2）由E，M，F三点共线，可设（），由，，可得，最后结合（1）的结论可得，问题得以证明．
【详解】（1）由A，M，D三点共线可得存在实数m（）使得：，
又，故，
由C，M，B三点共线可得存在实数n（）使得：，
又，故，
由题意，，不共线，则：
，解得，
故；
（2）由E，M，F三点共线，可设（），
由，，则：，
由（1）知，，则：，即，
所以，
所以是定值．
【点睛】关键点睛：本题考查平面向量综合，解题关键是理解并能由点共线转化为向量共线，再根据向量共线的条件得出等式，从而证明结论.
21．
【分析】设，，由向量线性运算得，
由此可构造方程组求得，由可求得，由此可得结果.
【详解】设，又，则；
设，
，
又，，，
，解得：，，，
，
，，即.
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据数量积的运算求得与的数量积.
（2）利用平方的方法求得.
（3）求得的表达式，利用导数求得最大值.
（1）
.
（2）
，
，
所以.
（3）
,
.
，
设，，
所以递减；递增，
，
所以在上的最大值为.
即的最大值为.
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