高中数学（苏教版2019）必修第二册第9章单元综合测试C（含答案）

一、单选题
1．如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知向量的夹角为，，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，，，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
5．半径为1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C为弧上的动点，已知，记，则（ ）
A．若m+n=3，则M的最小值为3
B．若m+n=3，则有唯一C点使M取最小值
C．若m·n=3，则M的最小值为3
D．若m·n=3，则有唯一C点使M取最小值
6．如图，在中，，，和相交于点，则向量等于（ ）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系中，和是圆上的两点，且 ，点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知△ABC的外接圆半径长为1，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．过点的直线交于，若，，则
D．与共线
10．直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ）
A．的取值范围是
B．点经过的外心
C．点所在轨迹的长度为2
D．的取值范围是
11．点在△所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的垂心；
B．若，则点为△的内心；
C．若，则点为△的外心；
D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的重心.
12．对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与共线
D．过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
三、填空题
13．如图，在边长为的正方形中，，分别是边，上的两个动点，且，为的中点，，则的最大值是______．
14．已知向量，，且，则的最大值为______．
15．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则_________．
16．已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.
四、解答题
17．在中，过重心的直线与边交于，与边交于，点不与重合.设面积为，面积为.
（1）求；
（2）求证：；
（3）求的取值范围.
18．求函数的最小值，以及y取最小值时的x的值.设想，把原函数改为，能够形成怎样的问题？如何求解？
19．已知在平面直角坐标系中，点 点（其中 为常数，且），点为坐标原点．
（1）设点为线段靠近点的三等分点，，求的值；
（2）如图，设点是线段的等分点，，其中，，，，求当时，求的值（用含 的式子表示）
（3）若，，求的最小值．
20．已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中.
(1)若，且，求；
(2)若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值.
21．
是边长为1的正三角形，点四等分线段（如图所示）．
(1)求的值；
(2)若是线段的等分点，，其中，，，求的值；
(3)为边上一动点，当取最小值时，求的长．
22．如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．
(1)延长交于点Q（图1），求的值；
(2)过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．
（i）求证为定值；
（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，又且且，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求的最小值.
【详解】在等腰△中，，则，
∵分别是边的点，
∴，，而，
∴两边平方得：，而，
∴，又，即，
∴当时，最小值为，即的最小值为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：应用几何图形中线段所代表向量的线性关系求得，结合已知条件转化为关于的二次函数，求最值.
2．A
【分析】依题意可得，，
令，则，
通过换元可得，所以，当时，可得的 最小值.
【详解】依题意可得，，则，
，
，则，
所以，，
令，则，
令，由得，
则，所以，故
所以，当时，有最小值.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点是：令，通过换元得到.
3．C
【分析】建立平面直角坐标系，由得到的轨迹，最后结合图形及向量的数量积运算可得结果.
【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，.设点，由，
可得，化简得 ，
故点的轨迹为圆（不包含与轴的交点），记圆与轴的交点分别为，（在的左侧）则，，
所以，.
故选:C.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是建立坐标后根据几何关系建立等式然后得到点的轨迹方程，二是求最值.
4．B
【分析】根据题设易知四边形为矩形，构建以为原点直角坐标系，将问题转化为平面上满足的情况下，结合两点距离公式求两点距离的范围.
【详解】由题设，四边形为矩形，构建以为原点的直角坐标系，如下图，
若，则，设，
∴，且，
又，
∴，即.
故选：B
【点睛】关键点点睛：构建直角坐标系，将平面向量的模长问题转化为平面上两点的距离问题，应用解析法求范围.
5．A
【分析】设，以为原点，以、与所在直线垂直的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，把转化为关于的表达式，可解决此题．
【详解】：设，如图：
以为原点，以、与所在直线垂直的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则，，，，
，，
．
①若，取，，则，
，，，，
,，此时，、两点重合，所以正确；
取，，则，
当时取最小值，此时、两点重合，所以点不唯一，故B错误；
②若，取，则
，
当时，，故C错误；
取，时，则，
当时，取最小值，点不唯一，故D错误.
故选：A．
【点睛】本题考查平面向量的线性运算的意义和模的意义，涉及与圆有关的最值问题，关键是题目中的参数较多，故而应当想到直接解决困难较大，应用特值排除的方法解决较为方便，这是在解决一些选择题是常常需要用到的思想方法.
6．B
【分析】过点分别作交于点，作交于点，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合，，证出和，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得和表示.
【详解】解：过点分别作交于点，作交于点，
已知，，
，则和，
则：且，
即：且，所以，
则：，所以，
解得：，
同理，和，
则：且，
即：且，所以，
则：，即，
所以，即，
得：，
解得：，
四边形是平行四边形，
由向量加法法则，得，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力.
7．A
【分析】取中点为，延长至，使得，求出，根据已知求出的轨迹是以为圆心，为半径的圆，再利用数形结合求出的取值范围.
【详解】
，取中点为，，且，
延长至，使得，
所以，
因为，
所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
因为，
所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和轨迹问题，考查向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8．B
【分析】先分析取最小值的状态，结合数量积的意义和二次函数可求答案.
【详解】由题意，为钝角时，取到最小值；如图，为的中点，在上的投影向量为；
由可知当在上的投影长最长时，即 与圆 相切时，可取到最小值；
，
当时，，所以的最小值为.
故选：B.
9．ACD
【分析】根据外心在AB上的射影是AB的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A正确；利用向量的数量积的运算法则可以即，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定与垂直，从而说明D正确.
【详解】
如图，设AB中点为M,则,
,故A正确；
等价于等价于,即，
对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，比如直角三角形中，
若为直角顶点，则为斜边的中点，与不垂直.故B错误；
设的中点为,
则，
∵E,F,G三点共线，，即,故C正确；
,
与垂直,又,∴与共线，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.
10．ABD
【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A；若为中点，根据已知有共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断D.
【详解】由，又斜边，则，则，A正确；
若为中点，则，故，又，
所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误；
由上，则，
又，则，当且仅当等号成立，
所以，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断轨迹，求、.
11．BC
【分析】A由正弦定理知，且，代入已知等式得，即知的轨迹一定经过的哪种心；B、C分别假设为△的内心、外心，利用向量的几何图形中的关系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即可；D由，根据数量积的运算律及向量数量积的几何意义求的值，即知的轨迹一定经过的哪种心；
【详解】A：由正弦定理知，而，所以，即动点的轨迹一定经过△的重心，故错误.
B：若为△的内心，如下图示：，同理，，，
∴，，故正确；
C：若为△的外心，分别为的中点，则，而，同理，又，故，正确；
D：由，故，即，动点的轨迹一定经过△的垂心，错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：应用已知等量关系，结合向量的运算律、数量积的值判断向量过三角形的何种心，或假设为△的内心、外心，再应用几何图形中相关线段所表示的向量，结合向量的线性关系及数量积的运算律，判断条件是否成立.
12．BCD
【分析】A：由外心的性质，结合向量数量积的几何意义判断；B：根据的几何意义即可判断正误；C：应用向量数量积的运算律及定义化简，再根据判断正误；D：根据平面向量基本定理可得，再由三点共线即可证.
【详解】A：为外心，则，仅当时才有，错误；
B：由，又，故，正确；
C：，即与垂直，又，所以与共线，正确；
D：，又三点共线，则，故，正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：综合应用外心、垂心、重心的性质，结合平面向量数量积的运算律、几何含义以及平面向量基本定理判断各选项正误.
13．
【分析】建立直角坐标系，，设，，然后根据得，再设，，，根据，表示出，进而表示出，换元之后利用基本不等式求解最值.
【详解】以为坐标原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，设，，则．
由可得，所以可设，，．
因为，由可得，，
所以．设，，
则，
即当时，取最大值，最大值为．
故答案为：.
【点睛】一般关于平面向量中的最值运算，如果没有坐标的话，通常根据题意建立直角坐标系，利用坐标表示向量的关系，然后数形结合，将式子转化为函数的最值或者利用基本不等式求解最值.
14．
【分析】利用平方可得，令，将方程化为关于的二次方程，满足该方程有解即可求出的范围，求出最值.
【详解】，，
则由可得，
则，
，
即，
整理可得，
令，将代入上式得，
则需满足关于的方程有解，即，
则可解得，则的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查向量的有关运算，解题的关键是利用平方关系得出，再由得出关于的方程有解.
15．
【分析】由可得，根据相似三角形可得，，即，即可得
【详解】由可得
根据可得，同理可得，
所以，
所以
故答案为：
【点睛】本题以三角形中的结论为载体，考查了垂心的性质，涉及三角形面积公式、相似三角形的性质，属于难题.
16．
【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.
【详解】由题意，设，
则，即，
又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.
17．（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）利用三角形重心的性质，又，即可求.
（2）设、，由题设得、，而共线则有，由，列方程确定的关系，进而求证结论；
（3）由，结合（2）的结论及二次函数的性质，即可求范围.
【详解】
（1）为的重心，若延长交于，则是的中点，
∴，而，即，
∴.
（2）设，，又，
∴，，由共线，则有，
∵，，
∴，又，
综上，，
∴，即，可得，
∴，则得证.
（3）由（2）知：，而，
∴.
18．答案见解析
【分析】设向量，，对函数进行变形，然后通过构造向量的模求解，即变形后构造为向量模的和，从而根据向量模的性质求最值.
【详解】可化为.
设向量，，
当且仅当与共线且同向时等号成立.
∴，解得.
∴函数的最小值是，此时.
把原函数改为后，可求此函数的最大值.
，设，.
则.
当且仅当与共线且同向时等号成立，即，即，
所以函数的最大值为，此时.
19．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）利用向量的线性运算，将代入，再由求解.
（2）易得对任意正整数，，且，有，，从而求解.
（3）当时，设线段上存在一点，使得，，且存在点，，然后转化为，利用线段和最小求解.
【详解】（1）因为,
而点为线段上靠近点的三等分点，
所以，
所以，
所以.
（2）由题意得，
，
所以，
事实上，对任意正整数，，且，
有，
，
所以
所以，
（3）当时，线段上存在一点，
使得，，
且存在点，，
则，
，
所以，
即线段上存在一点，到点和点的距离之和，
如图所示：
作点关于线段的对称点，
则最小值为.
【点睛】方法点睛：在直线l上存在点P,使得最小和最大问题：
当点A，B在直线l的异侧时，连接AB与直线l的交点P，使得最小；
作A点关于直线l的对称点，连接与直线l的交点P，使得最大；
当点A，B在直线l的同侧时，连接AB与直线l的交点P，使得最大；
作A点关于直线l的对称点，连接与直线l的交点P，使得最小；
20．(1)或
(2)，此时
【分析】（1）先设,根据坐标求模公式，即可求解.
(2) 根据题意，条件可化简为，再根据基本不等式，即可求解.
(1)
因为，且，所以设，
所以，
解得，
所以或.
(2)
由，得，
所以，
因为，，可得，
因为，所以，
当且仅当，时取等号.
所以.
设与夹角为，则此时.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】(1)已知的模长与夹角，根据平面向量基本定理以为基底表示,将所求式整理成只含有的向量表达式，根据向量运算法则即可求解；
(2)分析可知算式中与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，则可以按照倒序相加法求和；
(3)设出与的关系，以为基底，根据平面向量基本定理写出的表达式，化简求出最终只含参数的表达式，找出最小值情况，进而求出的长.
（1）
设，，因为是边长为1的正三角形，
所以，，
因为为线段的四等分点，
所以，同理可得，
所以
．
（2）
根据题意可知是线段的2022等分点，
仿照（1）推导过程可知，，
所以
所以
，
则.
（3）
设，则，
所以
整理得．
当时，取最小值，此时，
则，
所以的长为．
22．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值；
（2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可.
（1）
依题意，因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
设，则有，
因为三点共线，所以，解得，
即，所以，所以；
（2）
（i）根据题意,
同理可得：，
由（1）可知，，
所以，
因为三点共线，所以，
化简得，
即为定值，且定值为3；
（ii）根据题意，，
，
所以，
由（i）可知，则，
所以，
易知，当时，有最小值，此时.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页