高中数学（苏教版2019）必修第二册第11章单元综合测试C（含答案）

一、单选题
1．已知函数，a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．f (cos A)≤f (cos B)
C．f (sin A)≥f (sin B) D．f (sin A)≥f (cos B)
2．中，，，，P是外接圆上一点，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．在一座尖塔的正南方地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔正东方地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．在锐角△ABC中，，，则△ABC的周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知中，，，，D是边BC上一点，.则（ ）
A． B． C． D．
7．中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（　　）
A．0 B．1 C．3 D．5
8．在锐角中，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若，且，则△为等边三角形
10．在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ）
A．若，则的形状是等腰三角形
B．，，若，则这样的三角形有两个
C．若，则面积的最大值为
D．若的面积，，则的最大值为
11．已知对任意角，均有公式.设△ABC的内角A，B，C满足.面积S满足.记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是( )
A． B．
C． D．
12．在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
三、填空题
13．英国数学家莫利提出：将三角形各内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交于一点，则这样的三个交点构成一个正三角形（如下图所示）.若△为等腰直角三角形，且，则△的面积是___________.
14．已知中角，，所对的边为，，，，，点在上，，记的面积为，的面积为，，则______．
15．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点.如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，.则的外接圆直径长为______.
16．在中，角，，所对的边为，，，若，且的面积，则的取值范围是___________.
四、解答题
17．在中，已知D是BC上的点，AD平分，且.
(1)若，求的面积；
(2)若，求.
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足（a+2b）cosC+ccosA=0.
(1)求角C的大小；
(2)设AB边上的角平分线CD长为2，求△ABC的面积的最小值.
19．如图，某城市有一条从正西方通过市中心后转向东偏北60°方向的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在，上分别设置两个出口A，，在A的东偏北的方向（A，两点之间的高速路可近似看成直线段），由于A，之间相距较远，计划在A，之间设置一个服务区.
(1)若在的正北方向且，求A，到市中心的距离和最小时的值；
(2)若到市中心的距离为，此时设在的平分线与的交点位置，且满足，则求A到市中心的距离最大时的值.
20．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
(1)求角C；
(2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值.
21．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)若，的面积为，D为边的中点，求的长度；
(2)若E为边上一点，且，，求的最小值．
22．杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE为赛道，．
（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；
①；②
（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长（即最大），最长值为多少？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】先利用余弦定理和基本不等式求得，从而得到.由和在上的单调性得到,，而大小不确定，大小不确定.
利用复合函数的单调性法则判断出在上单调递减.对四个选项一一验证：
对于A、D：因为，所以f (sin A)≥f (cos B).即可判断；
对于B、C：因为大小不确定，大小不确定.
【详解】因为a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且
由余弦定理得：
利用基本不等式可得：，所以，
所以.
因为，所以，所以,
所以.
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以,,
即,.
由于A、B大小不确定，所以大小不确定，大小不确定.
当x>0时，.
因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递减；
因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递减.
对于A、D：因为，所以f (sin A)≥f (cos B).故A错误，D正确.
对于B、C：因为大小不确定，大小不确定，所以B、C不能确定.
故选：D
【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：
(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；
(2)从式子结构来选择．
2．A
【分析】由余弦定理求出，即可得到，设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的线性运算的坐标表示得到，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：由余弦定理，
即，
所以，所以，即，
则△ABC为等腰直角三角形.
设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系，
则，，，设，，
则， ，，
因为，即，
所以，
所以，
所以当，即时；
故选：A
3．A
【分析】作出图示，根据正切的二倍角公式和解直角三角形求得塔的高度，再运用等面积法可求得选项.
【详解】如下图所示，设，则，，
则，解得，
，解得，
所以，解得，
所以，，
要使点处测得塔顶的仰角为最大，则需最大，也即需最小，所以，
又，即，
所以点到塔底的距离为，
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查立体图形的计算实际运用，关键在于依据已知作出图形，明确已知条件中的数据在图形中的表示，再运用解三角形的知识得以解决.
4．C
【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求取值范围的问题.
【详解】∵，
∴，
∴，即，为锐角，
∴，又，
由正弦定理可得，
所以
，其中，，
因为为锐角三角形，
所以，
所以，又，
∴，
故的周长的取值范围是．
故选：C.
5．C
【解析】由锐角三角形求得，由正弦定理可得，求出，关于的函数，根据余弦函数的性质，可求得范围．
【详解】∵为锐角三角形，且，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
由，
即，
∴，
令，则，
又∵函数在上单调递增，
∴函数值域为，
故选：C
【点睛】本题考查三角形的正弦定理和运用，考查三角函数的恒等变换，以及余弦函数的性质，考查化简变形能力，属于难题．
6．B
【分析】利用正弦定理及余弦定理可得，结合条件可得，然后利用余弦定理可得，，进而可得，即得.
【详解】设中，角的对边为，
∵，即，
∴，
∴，又，
∴，又，，
∴，即，
∴，
故，
∴，，，
又，，
∴，.
故选：B.
7．C
【分析】根据给定条件，利用向量运算化简变形向量等式，再利用正弦定理求出的最大值即可计算作答.
【详解】过点O作，垂足分别为D，E，如图，因O是外接圆圆心，则D，E分别为AC，的中点，
在中，，则，即，
，同理，
因此，
，
由正弦定理得：，当且仅当时取“=”，
所以的最大值为3.
故选：C
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
8．D
【分析】由，可得；再结合正弦定理余弦定理，将中的角化边，化简整理后可求得；根据锐角和，可推出，，再根据可得，，于是，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解．
【详解】由，得，，
，．
由正弦定理知，，
由余弦定理知，，
，
，化简整理得，，
，，
由正弦定理，有，，，
锐角，且，，，解得，，
，
，，，，，，
的取值范围为，．
故选：．
【点睛】本题考查解三角形中正弦定理与余弦定理的综合应用，还涉及三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的基础公式，并运用到了角化边的思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9．ACD
【分析】A由正弦定理及等比的性质可说明；B令可得反例；C由和角正弦公式及三角形内角和的性质有，由正弦定理即可证；D若，，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△的形状.
【详解】A：由，根据等比的性质有，正确；
B：当时，有，错误；
C：，而，即，由正弦定理易得，正确；
D：如下图，是单位向量，则，即、，则且平分，的夹角为， 易知△为等边三角形，正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状.
10．ACD
【分析】求得判定的形状是等腰三角形.选项A判断正确；求得角C有一个值.选项B判断错误；求得面积的最大值判断选项C；求得的最大值判断选项D.
【详解】选项A：由，可得，化简得，则的形状是等腰三角形.判断正确；
选项B：由，，，则有，
由，可得，则,
则满足条件的三角形仅有一个.判断错误；
选项C：由，可得
则（当且仅当时等号成立），解之得
则面积.判断正确；
选项D：由的面积，可得
化简得，又，则
又，则，则，（当且仅当时等号成立）
即的最大值为.判断正确.
故选：ACD
11．CD
【分析】结合已知对进行变形化简即可得的值，从而判断A；根据正弦定理和三角形面积，借助于△ABC外接圆半径R可求的范围，从而判断B；根据的值，结合△ABC外接圆半径R即可求abc的范围，从而判断C；利用三角形两边之和大于第三边可得，从而判断D﹒
【详解】∵△ABC的内角A、B、C满足，
∴，即，
∴，
由题可知，，
∴，
∴
∴，
∴有，故A错误；
设△ABC的外接圆半径为R，
由正弦定理可知，，
∴，
∴，∴，故B错误；
，故C正确；
，故D正确．
故选：CD．
12．AD
【分析】先利用正弦定理从条件中求出，得到选项A正确.选项B利用为锐角三角形求解；选项C先用二倍角公式化简，再结合角的范围求解；选项D先对式子化简，再换元利用对勾函数的性质求范围.
【详解】在中，由正弦定理可将式子化为
，
把代入整理得，
，
解得或，即或(舍去).
所以.
选项A正确.
选项B：因为为锐角三角形，，所以.
由解得，故选项B错误.
选项C：，
因为，所以，，
即的取值范围.故选项C错误.
选项D：
.
因为，所以， .
令，，则.
由对勾函数的性质知，函数在上单调递增.
又，，所以.
即的取值范围为.故选项D正确.
故选：AD.
13．
【分析】若是中点，连接，且，根据题设角的关系、三角形全等及相似可得、，设，结合已知可得，即可求x值，应用三角形面积公式求△的面积.
【详解】若是中点，连接，且，
由题设知：△△，则，又，，
所以，则△△△△，
所以，又△△，且，
设，则，故，
所以，又，则，可得，
则，故△的面积是.
故答案为：
14．6
【分析】解法一：利用面积公式和已知面积比可以求得，从而得到，在和中同时应用正弦定理并结合得到．设，则，，在和中同时应用余弦定理并结合，消角求值；
解法二：把沿翻折到，使，，三点共线，则平分．利用角平分线定理和面积公式可得，求得，并设，则，在中和中同时余弦定理，消角求值即可.
【详解】解：法一：设，则，
则，．
因为，所以．
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
两式相比得．
设，则，，
在中，由余弦定理得，
所以①．
在中，由余弦定理得，
所以②，
联立①②得，所以．
法二：因为，把沿翻折到，使，，三点共线，则平分．
因为，所以．
因为，
所以，设，则，
设，则．
在中，由余弦定理得，
所以①，
在中，由余弦定理得，
所以②，
联立①②得，所以．
故答案为：6．
【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的综合应用，关键是在不同的三角形中同时应用正、余弦定理并结合，消角求值.
15．
【分析】由已知利用三角形的内角和定理可得，，可得在中，，可得，在中，由正弦定理可得的值，在中，利用余弦定理求出，在中，利用正弦定理即可求出外接圆的直径.
【详解】由已知，所以.
在中，，故.
在中，由正弦定理得，
而，，
故，
在中，利用余弦定理 ，即，
在中，利用正弦定理，故的外接圆直径长为.
故答案为：.
16．
【分析】由面积公式及余弦定理求出，再由正、余弦定理将角化边，即可求出，再由正弦定理及三角恒等变换公式将转化为关于的三角函数，最后由三角函数的性质计算可得；
【详解】解：由，，
又，所以，
，，，
，．
，，
由正弦定理得，
所以
，
因为，所以，所以，
，
．
故答案为：．
17．(1)6；
(2)3.
【分析】（1）由角平分线的性质可得，结合已知求，进而可得，由三角形面积公式求面积即可.
（2）令、结合已知得到与的关系，过作交延长线于，有，，由即可得的线性关系式，应用向量数量积的运算律求的模即可.
(1)
在中，由角平分线性质：，而，
∴，
∴，，，易知：，
∴.
(2)
令、，又，
如图过作交延长线于，则且，，
又，即，
∴，
两边平方，，
∴.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）先通过正弦定理进行边化角，进而结合两角和与差的正弦公式将式子化简，然后求得答案；
（2）在和中，分别运用正弦定理，进而求出，然后在中再次运用正弦定理得到，最后通过三角形面积公式结合基本不等式求得答案.
(1)
根据题意，由正弦定理可知：，则，因为，所以，则，而，于是.
(2)
由（1）可知，，在中，设，则，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
所以.
在中，由正弦定理得：，
所以.
由基本不等式可得：，当且仅当时取“=”.
于是，.即△ABC的面积的最小值为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）在中，求出，在中，利用正弦定理求出，再分离常数结合基本不等式即可得出答案；
（2）由，可得，从而可求得的范围，再根据，将用表示，从而可求得的最大值，再利用正弦定理即可得解.
(1)
解：由题意可知，
若在的正北方向，则，
在中，，
在中，，
由正弦定理可得，
所以，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
所以A，到市中心的距离和最小时；
(2)
解：因为，
所以，
即，
即，
因为平分，
所以，
则，
所以，
因为，
所以，
即，
所以，
因为，
所以当时，有最大值20，
此时在中，，
即，
所以，
所以，
所以当A到市中心的距离最大时.
20．(1)；
(2)
【分析】（1）先由正弦定理得，化简整理得，再由余弦定理求得，即可求解；
（2）先由面积求得，再由角平分线得，结合平面向量得，平方整理求得，再由（1）中即可求出c的值.
【详解】（1）由正弦定理得，即，整理得，
化简得，由余弦定理得，又，则；
（2）
由面积公式得，解得，又CD是的角平分线，则，
即，则，
所以，即，
整理得，又，解得，则，
由（1）知，则.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形的面积公式、余弦定理以及向量的运算、模长公式进行求解.
（2）利用向量的运算、模长公式以及基本不等式的常数代换法求解.
（1）
因为，的面积为，
所以，
即，又，由余弦定理可得：，
即，得，
又∵D为边的中点，∴，
则
，
即，∴中线的长度为．
（2）
∵E为边上一点，，
∴，
∴，即，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
当且仅当，即取等号，有最小值．
22．（1）答案见解析；（2）．
【分析】(1)在中，利用正弦定理，可求得BD=6.
选①：先由三角形的内角和可得∠BDC=，从而知为直角三角形，然后由勾股定理，得解;
选②：在中，由余弦定理可得关于BE的方程，解之即可.
(2)在中，结合余弦定理和基本不等式，即可得解.
【详解】（1）在中，由正弦定理知，，解得，
选①：，，
，
在中，；
若选②，在中，由余弦定理知 ，，化简得，解得或（舍负），
故服务通道BE的长度 ；
（2）在中，由余弦定理知，，
，
，即，当且仅当时，等号成立，此时，的最大值为．
【点睛】关键点睛：本题主要考查解三角形的实际应用，还涉及利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页