高中数学（苏教版2019）必修第二册第12章单元综合测试（含答案）

一、单选题
1．在复平面内,复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（ ）
A．1 B． 1
C．i D． i
5．已知，，若 (为虚数单位)，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
6．若复数为纯虚数，则实数x的值为（ ）
A． B．10 C．100 D．或10
7．在复平面内，O是原点．向量对应的复数为，其中为虚数单位，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
8．若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
9．已知与是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若是纯虚数，那么
D．若，在复平面内对应的向量分别为，（O为坐标原点），则
11．设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（ ）
A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限
B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则
C．若复数是纯虚数，则
D．在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则
12．已知与是共轭复数（虚部均不为0），以下个命题一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数_______．
14．已知(i为虚数单位)，则___________.
15．已知为虚数单位，则集合中元素的个数为___________.
16．已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲 乙 丙 丁四人对复数的陈述如下（为虚数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：.在甲 乙 丙 丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数___________.
四、解答题
17．计算：
（1）；
（2）已知，，求，．
18．从①与复数相等，②与复数成共轭复数，③在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：若复数， ．求方程的根．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）.
（1）求复数；
（2）求的模.
20．计算:
(1);
(2).
21．已知，，，，，求．
22．已知复数，，为虚数单位.
（1）若复数，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；
（2）若，求的共轭复数
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由题意，复数，
所以该复数在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：A.
2．C
【分析】利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式求解.
【详解】因为，
所以，
，
所以|z|=.
故选：C.
3．B
【分析】由复数除法法则化简复数为代数形式，然后由复数的定义求解．
【详解】因为为纯虚数，
所以，．
故选：B．
4．D
【分析】根据复数除法法则进行计算.
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．B
【分析】依题意复数的虚部为零，实部大于2，即可得到不等式，解得即可；
【详解】解：因为，， ，所以，即，解得或
故选：B
6．A
【分析】根据复数为纯虚数知虚部不为0，实部为0求解即可.
【详解】为纯虚数，
同时
，
故选：A
7．C
【分析】根据对称求得点的坐标，从而求出对应的复数
【详解】由题意，得，，
所以向量对应的复数为
所以向量对应的复数的共轭复数为，
故选：C．
8．D
【分析】由复数除法运算求得，再根据复数的几何意义得其对应点坐标，从而得结论．
【详解】由题意，对应点坐标为，在第四象限．
故选：D．
9．BC
【分析】设出复数，根据复数的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】由题意，复数与是共轭虚数，设、，且，
则，当时，由于复数不能比较大小，∴A选项不一定正确，
又由、，∴，∴B选项一定正确；
由，∴C选项一定正确，
由不一定是实数，∴D选项不一定正确.
故选：BC.
10．BC
【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可进行判断.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，∵，∴；
又，∴，B正确；
对于C，∵为纯虚数，∴，解得：，C正确；
对于D，由题意得：，，∴，
∴，D错误.
故选：BC
11．AC
【分析】由，得，然后逐个分析判断即可
【详解】由，得，
对于A，当时，，，所以复数在复平面上对应的点位于第四象限，所以A正确，
对于B，若复数在复平面上对应的点位于直线上，则，解得，所以B错误，
对于C，若复数是纯虚数，则且，解得，所以C正确，
对于D，由，得，则，由，得，，得或，所以D错误，
故选：AC
12．BC
【分析】与是共轭复数，设，．利用复数的运算性质及其有关概念即可得出合适的选项.
【详解】因为与是共轭复数，设，则，
对于A选项，当时，，，和不能比大小，A选项错误；
对于B选项，，B选项正确；
对于C选项，，C选项正确；
对于D选项，若，D选项错误.
故选：BC．
13．
【分析】根据题意得，再解方程即可得答案.
【详解】解：因为复数（为虚数单位）为纯虚数
所以，解得
故答案为：
14．
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再由复数的模的运算得答案.
【详解】因为，所以，
所以，
故答案为：.
15．
【分析】根据，分类讨论即可求出．
【详解】当时，；
当时，；
当时，；
当时，，所以集合中元素的个数为．
故答案为：．
16．
【分析】设，由此可计算出，，和，根据数字对比可发现丙丁、乙丁不能同时成立；又甲乙丙任意两个正确，则第三个一定正确，由此可得到只能甲丁正确，由此可求得.
【详解】设，则，
，，，.
与不可能同时成立，丙丁不能同时正确；
时，，不成立，乙丁不能同时正确；
当甲乙正确时：，，则丙也正确，不合题意；
当甲丙正确时：，，则乙也正确，不合题意；
当乙丙正确时：，，则甲也正确，不合题意；
甲丁陈述正确，此时，.
故答案为：.
17．（1）（2）
【分析】（1）根据复数的加减法法则，实部与实部对应加减，虚部与虚部对应加减，即可运算得到结果；
（2）根据复数的加法、减法法则运算即可.
【详解】（1）；
（2），，
，
18．答案见解析
【分析】由已知得，根据所选的条件，结合复数相等、共轭复数的定义、在一三象限角平分线上点坐标的性质，列方程组求m，进而求方程的根.
【详解】
（1）选择条件①：根据复数相等的充要条件，有，解得，
∴方程的根为
（2）选择条件②：根据共轭复数的定义，有，解得，
∴方程的根为
（3）选择条件③：由题意，，解得，
∴方程的根为
19．（1）；（2）
【分析】（1）设，由为实数，为纯虚数，可求出的值，进而可求出复数；
（2）结合复数的四则运算，对进行化简，进而求出即可.
【详解】（1）设，
由为实数，可得，即.
∵为纯虚数，
∴，即，
∴.
（2），
∴.
【点睛】本题考查复数的概念，考查复数的模，考查复数的四则运算，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
20．(1) ;(2).
【解析】（1）先计算，再计算得到答案.
（2）化简得到，再计算得到答案.
【详解】(1)
(2)
.
【点睛】本题考查了复数的运算，意在考查学生的计算能力.
21．
【分析】设复数对应，对应，，利用余弦定理可得，再利用余弦定理即可得出答案．
【详解】
设复数对应，对应，，
则，
解得．
．
．
22．（1）；（2）
【解析】（1）化简复数，再由复数在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；
（2）由复数的除法运算法则，化简得，再根据共轭复数的概念，即可求解.
【详解】（1）由题意，复数，
则
因为复数在复平面上对应的点在第四象限，
所以，解得，
即实数的取值范围.
（2）由，
所以.
【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：
（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；
（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数与复平面上的点一一对应，列出相应的关系求解.
答案第1页，共2页
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