高中数学（苏教版2019）必修第二册第10章单元综合测试C（含答案）

一、单选题
1．中，，（ ）
A． B． C． D．
2．＝ （ ）
A． B． C． D．
3．设双曲线的左、右顶点分别为，，点C在双曲线上，的三个内角分别用，，表示，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
4．，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．已知函数的图象关于对称，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则( )
A． B． C． D．
7．已知，则的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．0或2
8．已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设中角，，所对应的边长度分别为，，，满足，则以下说法中正确的有（ ）
A．为钝角三角形
B．若确定，则的面积确定
C．
D．
10．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，函数在上单调递增
D．若函数在上存在零点，则a的取值范围是
11．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．函数的最小正周期为
D．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为
12．函数的图像关于对称，且，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．【山西省太原十二中2018届高三上学期1月月考数学（理）】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中由一道著名的“引葭赴氨”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为：“今有水池丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长处水面的部分为尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示），问水深、芦苇的长度各是多少？”现假设，则__________．
14．函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为______.
15．已知不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数：___________.
①定义域为R；②；③；④.
16．在直角坐标系中，的顶点，，，且的重心的坐标为，__________.
四、解答题
17．化简：
(1)；
(2).
18．如图，在矩形中，点为的中点，分别为线段上的点，且．
（1）若的周长为，求的解析式及的取值范围；
（2）求的最值．
19．已知函数
(1)化简的表达式.
(2)若的最小正周期为π，求，的单调区间与值域.
(3)将（2）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数，与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.
20．随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．
(1)按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计算限定高度CD的值．（精确到0.1m）（下列数据提供参考：，，）
(2)在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，在其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F．
①若小汽车卡在直角车道内（即A、B分别在PE、PF上，点O在CD上）（rad），求水平截面的长（即AB的长，用表示）
②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？
21．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
22．某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O的圆，已知圆O的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形为亲水木平台区域（四边形是矩形，A，D分别为的中点，米），亲水玻璃桥以点A为一出入口，另两出入口B，C分别在平台区域边界上（不含端点），且设计成，另一段玻璃桥满足．
(1)若计划在B，F间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附：）
(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．（玻璃桥总长为，宽度、连接处忽略不计）．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】首先求出，再运用三角函数积化和差公式，得到角为等差数列的余弦和，即可求解．
【详解】中,,则，
又
上述各式相加得，
故，
故原式.
故选：B．
【点睛】本题考查了三角恒等变换求值，对角为等差数列的余弦和一般乘以角的正弦累加即可，对于积化和差公式，一定要做到熟练运用．
2．A
【解析】先求出，然后，利用，代入 的值求解即可
【详解】，
令，得， ，，所以，，
所以，
故选：A
【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用和 ，求出，然后利用余弦函数的两角和差公式进行求解，运算量较大，属于难题
3．A
【分析】由式子和可得：，进而可得出，设点在第一象限，分别求得，，代入可得：，最后求出离心率即可.
【详解】，，
∵，，
∴，即，
设点在第一象限，
则，，，，
∴，，
∴，.
故选：A.
【点睛】本题考查两角和的正切公式，考查双曲线的简单几何性质，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
4．B
【分析】根据题意代换化简分子，利用半角公式化简即可求解.
【详解】由题：
.
故选：B
【点睛】此题考查三角恒等变换，对基本公式考查比较全面，涉及半角公式化简，考查综合能力.
5．C
【分析】先对函数化简变形，然后由题意可得，求得，再由可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果
【详解】因为，
其中，，
由于函数的图象关于对称，所以，
即，化简得，
所以，即，
所以，
故选：C.
6．A
【分析】由O是垂心，可得，结合可得，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式即可求解.
【详解】∵是的垂心，延长交与点，
∴
，
同理可得，∴：，
又，
∴，
又，
∴，
不妨设，其中，
∵，
∴，解得或，
当时，此时，则都是钝角，则，矛盾.
故，则，∴是锐角，，
于是，解得.
故选：A.
7．D
【分析】由，通过二倍角公式，得到或
原式化简为再分别求解.
【详解】因为
所以
所以
解得或
当时
当时
故选：D
【点睛】本题主要考查了二倍角公式及其应用，不觉考查了变形运算求解的能力，属于中档题.
8．B
【解析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得，①，再根据，可得，②，通过①②求出的值，再根据三角函数的性质可得，，求出，根据不等式恒成立，则，即可求出答案．
【详解】，其中，
处取得最大值，
，即，，
，①，，
，，
，②，
①②得，
，
即，解得，（舍去），
由①得，，
，
在第一象限，
取，，
由，即，
，，
，，
使最小，则，
即，
若不等式恒成立，则，
故选：B
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点是求出的值，需要转化，且在处取得最大值，得到，，再根据同角的平方关系得到关于的方程，解方程即得解.也是方程思想的体现.
9．BCD
【分析】利用给定条件结合三角形内角和定理、诱导公式、和角的正弦公式求出，再逐项分析即可作答.
【详解】在中，因，令，则，，
显然，若，即，因，，则，有，同理，，，矛盾，
于是得，即角A，B，C都为锐角，A不正确；
，
即有，亦即：，显然，都小于0，否则，矛盾，
则，即，而，
解得，，于是得，，C正确；
从而有，，
，因此，的内角，，是定值，若确定，即确定，其面积确定，B正确；
，D正确.
故选：BCD
10．BCD
【分析】利用周期的定义可判断A，利用对称性的概念可判断B，利用复合函数的单调性可判断C，由题可得在上有解，然后利用函数的单调性即求.
【详解】因为，所以时，，故A错误；
因为，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
当时，，设，
当时，单调递减且，又函数在上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，故C正确；
设，则当时，，又在上有解，故方程在上有解，得在上有解，易知在上单调递减，所以，故D正确.
故选：BCD.
11．ABD
【分析】由三角函数的定义，可得，，的值，根据和角差角及二倍角公式代入计算可判断A、B正误，对于C、D，根据辅助角公式进行化简，结合绝对值变换、周期公式及“左加右减”平移方法就可以判断.
【详解】由三角函数的定义，得，，.
对于A，，故选项A正确；
对于B，，故选项B正确；
对于C，，所以的最小正周期，故选项C错误；
对于D，将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到的函数解析式，故选项D正确.
故选：ABD.
12．ABD
【分析】根据辅助角公式化简，然后根据其图像关于对称，可得之间的关系，从而得到，然后对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为，
其中
因为函数的图像关于对称，
所以，即
化简得，故A正确.
则
即，
因为，故B正确.
因为
，故C错误.
因为
故D正确.
故选:ABD.
13．5
【详解】设，则
（负根舍去）
即答案为5
14．
【分析】根据三角函数的性质结合函数的图象可得函数在区间内取得最值且时，函数的最大值与最小值之差取得最小值，当函数在区间内最值在端点上取时取得最大值，进而即得.
【详解】作函数的大致图象，
区间的长度为，函数的周期为π，
当函数在区间内取得最值，且时，
函数在区间上的最大值与最小值之差取得最小值为；
当函数在区间内最值在端点上取时，
，
所以函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为.
故答案为：.
15．（答案不唯一）
【分析】根据，可得，进而联想到二倍角的余弦公式，再根据，可得函数的周期，然后根据得到答案.
【详解】由，得，
联想到，可推测，
由，得，则，
又，所以（，为偶数，且），
则当k=2时，.
故答案为：（答案不唯一）.
16．
【分析】由重心的坐标与三个顶点坐标的关系有，结合已知列方程组，得，两式平方相加，即可求.
【详解】由题意知：，
∴，即，
∴，
，
将两式相加，得：，
∴.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：利用三角形的重心坐标与顶点坐标关系，结合已知条件列方程组，利用同角三角函数关系、两角差余弦公式求函数值.
17．(1)
(2)
【分析】（1）先求出的范围，再利用二倍角公式和同角三角函数间的关系化简计算即可，
（2）利用半角公式，诱导公式和二倍角公式化简即可.
（1）
因为，所以，
所以原式
.
（2）
因为，
所以.
又因为，且，
所以原式，
因为，所以，所以.
所以原式.
18．(1)；(2)．
【分析】(1)根据给定条件解直角三角形可得EF，EG，再借助勾股定理求出FG即可得，由点F与G的位置探求的最大、最小值得解；
(2)利用(1)的结论，令结合同角公式变形成关于t的分式函数，再借助单调性求解即得.
【详解】(1)在中，则，又，即有，
同理有，
显然为锐角，
因此，，
因为分别为线段上的点，当与点重合时，最大，此时，而为锐角，则，
当点与重合时，最大，此时最小，同理可得最大值为，则，于是得的取值范围为，
所以；
(2)由(1)知，令，则，
因，则，，
于是得，又，
则，因在上单调递减，当，即时，，
当，即或时，，
所以.
【点睛】思路点睛：同角三角函数的基本关系中，使用平方关系时注意方程思想的应用，对于sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα可以知一求二．
19．(1)；
(2)递增区间为，递减区间为，值域为；
(3).
【分析】（1）根据给定函数，利用二倍角公式、辅助角公式化简即可作答.
（2）由（1）及已知求出，再结合正弦函数性质求解作答.
（3）由（2）及已知求出函数的解析式，借助的周期列出不等式求解作答.
（1）
依题意，，.
（2）
由（1）知，，解得，则，
当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，
由得：，由得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，，，
所以在上的值域为.
（3）
由（2）及已知，，因图像关于x=0对称，
则，解得：，又，即有，
于是得，由得：，，而函数的周期，
依题意，对于，在上均有不少于6个且不多于10个根，
则有，即，解得，
所以正实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.
20．(1)2.8m；
(2)①，；②小汽车能够顺利通过直角转弯车道.
【分析】（1）根据给定条件，在两个直角三角形中，利用直角三角形边角关系计算作答.
（2）①利用给定图形结合直角三角形锐角三角函数定义，用表示EF，BE，CF即可作答；
②由①的结论，利用换元法并借助函数单调性，求出AB长的最小值作答.
（1）
图1中：在中，，，，又，
则(m)，而m，有(m)，
在中，，，，
则(m)，
结合实际意义，四舍五入会使车辆卡住，可以使用去尾法，则m，
所以限定高度的值约为2.8m.
（2）
①图2中：依题意，则，，，，
又，设，
，；
②由①知，设，则，，，
则，
而，函数在上单调递增，则在上是减函数，
于是得当，即时，，
所以小汽车能够顺利通过直角转弯车道.
【点睛】思路点睛：涉及含有和的三角函数值域或最值问题，可以通过换元转化为整式函数或分式函数在某区间上的值域或最值问题解答.
21．(1)，递减区间为，
(2)
【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法则求得g(x)的函数表达式，解方程求得g(x)的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得.
(1)
由题意，
图象的相邻两对称轴间的距离为，
的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，，
又，，故，
令，得
函数的递减区间为，
(2)
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
又，则或，
即或.
令，当时，，
画出的图象如图所示：
有两个根,关于对称，即,
有,
在上有两个不同的根，,；
又的根为，
所以方程在内所有根的和为.
22．(1)可以修建，理由见解析；
(2)万元.
【分析】（1）由题意，设，进而求的范围，再由、、、，结合基本不等式求的最小值，即可判断是否可以建70米长廊.
（2）由（1）可得，令，进而应用表示，即可得关于的函数，结合的取值范围求值域，即知亲水玻璃桥总长的最小值，进而求最小造价，注意等号成立条件.
【详解】（1）由题意，，则，设．
若C，P重合，，得，
∴，
而，
∴，当（符合题意）时取等号，又，
∴可以修建70米长廊．
（2），则．
设，则，即．
，由（1）知，而，∴使且，即，
∴，当且仅当时取等号．
由题意，，则玻璃桥总长的最小值为米，
∴铺设好亲水玻璃桥，最少需万元．
答案第1页，共2页
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