高中数学（苏教版2019）必修第二册第11章单元综合测试A（含答案）

一、单选题
1．人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得=（ ）
A． B． C． D．
2．已知在ABC中，a=x，b=2，B=30°，若三角形有两解，则x的取值范围是（ ）
A．x>2 B．03．在中，角的对边分别是，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．无解
4．唐代数学家、天文学家僧一行，利用“九服晷影算法”建立了从0°到80°的晷影长l与太阳天顶距θ的对应数表.已知晷影长l、表高h与太阳天顶距θ满足l=htanθ，当晷影长为0.7时，天顶距为5°.若天顶距为1°时，则晷影长为（ ）（参考数据：tan1°≈0.0175，tan3°≈0.0349，tan5°≈0.0875）
A．0.14 B．0.16 C．0.18 D．0.24
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=
A．6 B．5 C．4 D．3
6．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为(，)（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B．或 C． D．或
8．已知a、b、c分别为△ABC的三内角A、B、C的对边，，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，，分别为内角，，的对边，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．面积的最大值为 D．面积的最大值为
10．设的内角、、所对边的长分别为、、，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．已知中，角，，的对边分别为，，，且，则角的值不可能是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
12．下列结论正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在锐角三角形中，不等式恒成立
C．在中，若，，则为等腰直角三角形
D．在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为
三、填空题
13．在中，，，，那么的长度为______．
14．在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c．若的面积为，则__________．
15．在中，∠A=60°，AB=1，AC=2，则BC=___________.
16．在中，若，则的大小为__________．
四、解答题
17．在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求a的值；
（2）若，求边上的高的长．
18．仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，为地球的球心，为地平线，有两个观测者在地球上的，两地同时观测到一颗流星，观测的仰角分别为，，其中，，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的，两点测得，，地球半径为公里，两个观测者的距离 ．（参考数据：，）
（1）求流星发射点近似高度；
（2）在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径公里，请你据此判断该流星是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由．
19．在中，角的对边分别为，已知.
（1）求边的长﹔
（2）在边上取一点，使得，求的值.
20．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若BC边上的高为，求.
21．记的内角，，所对的边分别为，，，已知，．
(1)求；
(2)在下列三个条件中选择一个作为补充条件，判断该三角形是否存在？若存在，求出三角形的面积；若不存在，说明理由．
①边上的中线长为，②边上的中线长为，③三角形的周长为．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22．在中，．
(1)求；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】由正弦定理得到，结合倍角公式，求得，再利用诱导公式，即可求解.
【详解】在中，，
由正弦定理得，即，
由倍角公式得，，
解得，
，
故选：A
2．D
【分析】根据三角形有两个解，转化为以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，再结合正弦定理求解.
【详解】如图所示：
因为AC=b=2，若三角形有两个解，
则以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，
当时，圆与BA相切，不合题意；
当时，圆与BA交于B点，不合题意；
所以，且，
所以由正弦定理得：
，则，
解得，
故选：D
3．A
【分析】在三角形中由正弦定理，即可求出答案.
【详解】由正弦定理得.
或.，（舍）.
故.
故选：A.
4．A
【分析】根据给定条件求出h值，再代值计算即可得解.
【详解】依题意，，则有，
，
所以晷影长为0.14.
故选：A
5．A
【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.
【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得
，故选A．
【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．
6．B
【分析】在Rt△ADC中用CD表示AC，Rt△BDC中用CD表示BC，建立CD的方程求解即得.
【详解】Rt△ADC中，，则，Rt△BDC中，，则，
由AC-BC=AB得，约为米.
故选：B
7．D
【解析】根据，利用正弦定理得到求解.
【详解】因为在中，，
所以
因为，
所以，
因为则,
或
故选：D
8．B
【分析】先利用正弦定理将边转化成对应角的正弦值，再将转化成，展开化简即可.
【详解】已知等式利用正弦定理化简得：
∴
即
∴
∴
∴
∴，
即．
故选：B．
9．BC
【解析】由正余弦定理结合已知条件化简得，由三角形的面积公式结合基本不等式计算得面积的最大值.
【详解】∵，
∴，
∴，由正弦定理可得，
∴，，，
，当时取等号，
∴，∴.
故选：BC
【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，三角形的面积公式，基本不等式求最值，属于基础题.
10．AC
【分析】利用余弦定理及基本不等式一一判断即可；
【详解】解：对于A选项，，可以得出，∴，故A正确；
对于B选项，因为，所以，当且仅当时取等号，因为，所以，故B错误；
对于C选项，假设，则，，则，所以与矛盾，∴，故C正确，
对于D选项，取，满足，此时，故D错误；
故选：AC.
11．CD
【解析】先利用正弦定理得到，再利用余弦定理和基本不等式得到，即可判断.
【详解】∵，
由正弦定理得：
∴，
∴，
当且仅当时取等号，
又，
故.
故选：CD.
【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理，考查了基本不等式.属于较易题.
12．ABC
【分析】运用三角形的性质，结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式逐一判断即可.
【详解】解：对于选项：在中，若，根据大边对大角，所以，
利用正弦定理，所以，
则，故选项正确．
对于选项：在锐角三角形中，，即，
故不等式恒成立，故选项正确．
对于选项：在中，，
由余弦定理可知：，因此有
，即，因为，所以，
因此，所以或，即，或（舍去），
，所以，故C正确．
对于选项：在中，若，，三角形面积
所以，解得，
所以，
由正弦定理，故选项错误．
故选：．
13．
【分析】利用余弦定理解三角形求BC.
【详解】解：∵在中，，，，
∴由余弦定理可得：．
∴．
故答案为：．
14．
【分析】由三角形面积公式求得，再由余弦定理求得，最后由正弦定理计算可得．
【详解】解：，，的面积为，，解得，
由余弦定理得，，则，
由正弦定理，即，解得.
故答案为：.
15．
【分析】根据给定条件利用余弦定理计算作答.
【详解】在中，，AB=1，AC=2，由余弦定理得：
，则，
所以.
故答案为：
16．或
【分析】首先由正弦定理可求出，根据大边对大角的原则，由可得，即得解
【详解】由正弦定理得，
∴，
∵，∴，
∴或
故答案为：或
17．（1）或6；（2）.
【分析】（1）利用余弦定理将化为，化简后再利用余弦定理可求出，由结合已知条件可求出a的值；
（2）由于，所以，可得，然后利用三角形的面积公式可求出面积，再利用面积法可求出边上的高的长
【详解】解：因为，所以，
所以，即．
由余弦定理可得，
因为，所以．
（1）因为，
所以，解得或6．
（2）因为，所以，
，
所以边上的高的长为．
18．（1）公里；（2）该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”，理由见解析.
【分析】（1）由已知条件在中利用正弦定理求出，在中再利用余弦定理求出，从而可得；
（2）由（1）求出的值可得流星发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，从而可得结论
【详解】（1）因为，则，所以为等边角形，所以．
又因为，所以，所以，所以，，．在中，由正弦定理：，得， 解得，
在中，由余弦定理：
．
所以，所以公里．
（2）公里，所以流星发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，所以该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”．（言之有理即可）．
19．（1）；（2）.
【解析】（1）在中，利用余弦定理即可求解；
（2）在中，由正弦定理可以求出，再利用与互补可以求出，得出是钝角，从而可得为锐角，即可求出和的值，利用展开代入数值即可求解.
【详解】在中，因为，，，
由余弦定理，
得
所以解得：或（舍）
所以.
（2）在中，由正弦定理，
得.
所以
在中，因为，
所以为钝角.
而，
所以为锐角
故
因为，
所以，
，
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用两角互补余弦互为相反数求出，可得为钝角，从而为锐角，可确定的值.
20．(1)
(2)
【分析】（1）先根据式子形式采取角化边，然后利用余弦定理的推论即可解出；
（2）先根据锐角三角函数的定义可知，，得出关系，再根据可求出，然后根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦公式化简，即可解出．
【详解】（1）由，得，即，∴，∵，∴.
（2）∵，且BC边上的高为，∴，∴，
∴.∵，∴C为锐角，∴，
∴.
21．(1)
(2)选①，三角形不存在；选②，三角形存在，面积为；选③，三角形存在，面积为
【分析】（1）利用三角形内角和与三角恒等变换化简求值；
（2）选①，方法一：由，在，，分别用余弦定理可得方程组，求解即可；方法二：由，平方，结合向量数量积公式解方程；方法三：建立平面直角坐标系，结合中点公式及两点间距离可得方程，求解；选②，在中利用余弦定理，可解得，进而可得面积；选③，在中用余弦定理，结合周长，可解得各边长，进而求得面积.
（1）由得，又，所以，而，故，故；
（2）选①，方法一：设边上的中线为，则，由得，，即，即，由余弦定理得，即，该方程无实数解，故符合条件的三角形不存在.方法二：设边上的中线为，则，两边平方得，即，即，易知该方程无实数解，故符合条件的三角形不存在．方法三：如图，以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系．故点坐标为，即，点坐标为，所以边的中点坐标为， 由边上的中线长为得，整理得，该方程无实数解，故符合条件的三角形不存在．选②，设边上的中线为，则．在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍去），故的面积．选③，依题意得，由（1）知，所以，在中，由余弦定理得，，所以，即， 所以，解得，，所以的面积．
22．(1)
(2)1
【分析】(1)利用正弦定理将已知条件边化角，化简即可.
(2) 若选择①②，可以确定的三个角，但无法确定边长，不符合题意；
若选②③，利用正弦定理求边长，根据角度关系求，即可求出面积；
若选①③，利用余弦定理求边长，再求出，即可求面积.
（1）
因为，
由正弦定理可得，
因为，所以，即，
因为，则；
（2）
若选择①②，由，可得，由于已知条件未给出任意一边的长度，满足条件的三角形有无数个，并不唯一确定，不符合题意.
若选择②③，由正弦定理，及，，得，所以，
因为，所以，，
，
所以．
若选择①③，由余弦定理得，及，
得，解得，
所以，所以．
答案第1页，共2页
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