高中数学（苏教版2019）必修第二册第13章单元综合测试A（含解析）

一、单选题
1．如图，已知平面平面，点为，外一点，直线，分别与，相交于，和，，则与的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面
2．在空间中，下列命题是真命题的是（ ）
A．经过三个点有且只有一个平面
B．平行于同一平面的两直线相互平行
C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面
3．已知圆锥的底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．图（1）是一个正三棱柱容器，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面如图（2）所示，此时水面恰好为中截面，则图（1）所示容器中水面的高度是（ ）
A． B．a C． D．
5．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是（ ）
A．一定平行 B．一定相交
C．平行或相交 D．以上判断都不对
6．如图在正三棱锥中，分别是棱的中点，为棱上的一点，且，，若，则此正三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题中，正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．垂直于同一直线的两条直线平行
C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则
D．若a、b、c是三条直线，且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上
8．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面
二、多选题
9．用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为，则关于上、下两空间图形的说法正确的是（ ）
A．侧面积之比为 B．侧面积之比为
C．体积之比为 D．体积之比为
10．（多选）圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积可能为（ ）
A．16 B．64 C．32 D．无法确定
12．下图中图形的画法正确的是（ ）
A．点A在平面内
B．直线在平面内
C．直线交平面于点P
D．三个平面两两相交
三、填空题
13．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为______．
14．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高_______．
15．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的体积为______.
16．某牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示（单位：m），则要搭建这样的一个蒙古包至少需要______的篷布．（取3.14，计算结果精确到）
四、解答题
17．如图所示，斜三棱柱中，点为上的中点．
（1）求证：平面；
（2）设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，求．
18．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离．
20．如图，已知球的半径为，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径和高为何值时，圆柱的侧面积最大？
21．如图所示，今有一正方体木料，其中M、N分别是AB、CB的中点，要过、M、N三点将木料锯开，请你帮助木工师傅想办法，怎样画线才能顺利完成？
22．在水平放置的平面上，画一个边长为4cm的正三角形的直观图．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】由题设知，，，，共面，根据面面平行的性质，可证与的位置关系.
【详解】解：由题意知，，，，在同一平面内，且平面平面，平面平面，且，∴，
故选：A．
2．D
【分析】由三点共线判断A；由线面、线线位置关系判断B；根据等角定理判断C；由线面平行和垂直的判定以及性质判断D.
【详解】当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A错误；
平行于同一平面的两直线可能相交，故B错误；
由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；
如果两个相交平面垂直于同一个平面，且，则在平面、内分别存在直线垂直于平面，由线面垂直的性质可知，再由线面平行的判定定理得，由线面平行的性质得出，则，故D正确；
故选：D
3．B
【分析】根据圆柱的表面积公式以及二次函数的性质即可解出．
【详解】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，所以在轴截面三角形中，如图所示：
由相似可得，，所以，，即圆柱的全面积为
，当且仅当时取等号．
故选：B．
4．A
【分析】根据图（1）水面以下正三棱柱的体积等于图（2）中水面以下棱柱的体积相等列方程可求出结果.
【详解】设正三棱柱的底面边长为，图（1）所示容器中水面的高度是，
则水的体积为，
因为图（2）中水面以下是一个棱柱，其底面积为，高为，
所以图（2）中水的体积为：，
依题意可得，得.
所以图（1）所示容器中水面的高度是.
故选：A
5．C
【分析】利用面面平行的判定即得.
【详解】一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，若这两条直线相交且这两条直线平行于另一个平面，则可得这两个平面平行；
若这两条直线平行，则这两个平面可能相交也可能平行；
故选：C.
6．D
【分析】根据题意证明两两垂直，将三棱锥放入棱长为的正方体，两者外接球体积相同，求得正方体外接球体积即可得出答案.
【详解】因为在中，分别是棱的中点，
所以，因为，所以，
因为三棱锥为正三棱锥，所以（对棱垂直），
又因为面，，
所以面，因为面，所以，
在中，，
因为三棱锥为正三棱锥，所以是等腰三角形，是等边三角形，
所以，,
所以，即，
所以两两垂直，
将此三棱锥放入正方体中，此正方体的面对角线长等于长，为,
则该正方体棱长为，外接球半径，
正方体外接球体积,
此正三棱锥的外接球体积和正方体外接球体积相同，为.
故选：D
7．D
【分析】利用空间点、线、面位置关系直接判断.
【详解】A.不共线的三点确定一个平面，故A错误；
B.由墙角模型，显然B错误；
C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不一定垂直，故C错误；
D.因为，所以确定唯一一个平面，又与都相交，故直线共面，故D正确；
故选：D.
8．D
【分析】根据空间中两直线的位置关系，即可求解：
【详解】如图（1）所示，此时直线与直线为异面直线，其中，此时直线与为相交直线；
如图（2）所示，此时直线与直线为异面直线，其中，此时直线与为异面直线，
综上，一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是相交或异面.
故选: D.
9．BD
【分析】计算出小棱锥与原棱锥的相似比，结合两个棱锥侧面积之积为相似比的平方、体积之比为相似比的立方可求得结果.
【详解】依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，
所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为，高之比为，
所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为，体积之比为，
即小棱锥与棱台的侧面积之比为，体积之比为.
故选：BD.
10．AB
【分析】按圆的高分类讨论，求出底面半径后由体积公式计算．
【详解】设圆柱底面半径为，
若高是，则，，，
若高是，则，，．
故选：AB．
11．AB
【分析】正方形的直观图是一个平行四边形，有一边长为4，分两种情况讨论，根据斜二测画法的原则，即可得结果.
【详解】根据题意，正方形的直观图如图所示：
①若直观图中平行四边形的边,
则原正方形的边长为，所以该正方形的面积为；
②若直观图中平行四边形的边,
则原正方形的边长为，所以该正方形的面积为，
故选：AB.
12．AC
【分析】根据平面的基本性质判断．
【详解】点在表示平面的平行四边形内部，表示点在面内，A正确；
线在面内，表示直线的线段必须画在表示平面的平行四边形内部，B错；
直线与平面相交，有一个公共点，C正确；
三个平面两两相交，有一条交线或者有三条交线，三条交线可能交于同一点也可能互相平行，D中没有三线平行的情形，D错．
故选：AC．
13．4
【分析】根据正方体的结构特征，先确定至多可选出4条，再确定选出4条两两异面的线，即可得到结论．
【详解】正方体共有8个顶点，若选出的条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，又可以选出4条两两异面的线（如图 ），故所求的最大值是4．
故答案为：4．
14．8
【解析】根据题意半球的体积等于圆锥的体积，根据等体积法化简即可.
【详解】解：由题意得半球的半径和圆锥底面圆的半径，
如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则半球的体积等于圆锥的体积
所以
故答案为：8
15．##
【分析】设圆锥的半径为，高为，根据等边三角形的性质结合面积公式可得，再根据锥体体积公式求解即可.
【详解】设圆锥的半径为，高为，因为其面积为，故，解得，高为，故该圆锥体积为.
故答案为：
16．50.03
【分析】根据图中的数据先求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的侧面积，再求出圆柱的侧面积，两侧面积相加可得答案.
【详解】设圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为．
上部分圆锥的母线长为，其侧面积，
下部分圆柱的侧面积．
∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为．
故答案为：50.03
17．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接A1B交AB1于点O，连接OD1，可得OD1∥BC1，由线面平行的判定定理即可证明BC1∥平面AB1D1；
（2）由V1＝＝＝＝V2，即可求得结论．
【详解】（1）证明：连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
则在平形四边形ABB1A1中，点O为A1B的中点，
又点D1为A1C1的中点，
所以OD1∥BC1，
又OD1 平面AB1D1，B1C 平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1．
（2）V1＝＝＝＝V2
所以＝．
18．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）要证，可证，由题意可得，，易证，从而平面，即有，从而得证；
（2）取中点，根据题意可知，两两垂直，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量和平面的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．
【详解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，
所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．
（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,
则,
又为中点，所以.
由（1）得平面，所以平面的一个法向量
从而直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明，可以考虑，
题中与有垂直关系的直线较多，易证平面，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．
19．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）证明、，由线面垂直的判定定理可证明平面，即证；
（2）由勾股定理求出△ACD1各个边长，设点到平面的距离为，由即可求解.
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，
因为四边形是矩形，，
所以四边形是正方形，
所以，
又平面，平面，，
所以平面，又因为平面，
所以.
（2）因为，，为的中点，
所以，，，，
所以，，
设点到平面的距离为，
由可得：，
即，
解得：，
所以点E到面ACD1的距离为.
20．当，时，圆柱的侧面积最大.
【分析】由题得，然后利用基本不等式即得.
【详解】由题可得，
所以圆柱的侧面积，当且仅当时取等号，
即当，时，圆柱的侧面积最大，最大值为．
21．答案见解析
【分析】根据空间点线面位置关系可解.连接MN并延长交DC的延长线于F，连接交于Q，连接QN；同理延长NM交DA的延长线于E，连接交于P，连接MP即可.
【详解】作法如下：
(1)连接MN并延长交DC的延长线于F，连接交于Q，连接QN；
(2)延长NM交DA的延长线于E，连接交于P，连接MP；
(3)依次在正方体各个面上画线，PM，MN，NQ，，即为木工师傅所要画的线．
22．见解析
【分析】按照直观图的画法画出正三角形的直观图即可.
【详解】如图，在已知的正三角形中，取所在直线为轴，取高线所在直线为轴，画对应的轴、轴，使；
在轴上取，在轴上取，连接，所得三角形即为正三角形的直观图．
答案第1页，共2页
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