高中数学（苏教版2019）必修第一册第8章单元综合测试A（含解析）

一、单选题
1．一种药在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 （ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，结果精确到）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
2．荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过参考数据：， （ ）天．
A．200天 B．210天 C．220天 D．230天
3．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（ ）
A．25天 B．30天 C．35天 D．40天
4．人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，强度为x的声音对应的等级为.喷气式飞机起飞时，声音约为，一般说话时，声音约为，则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（ ）倍.
A． B． C．8 D．
5．已知函数是定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．设为实数，已知函数的两个零点在区间内，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并成功将高分九号03星、皮星三号A星和德五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武.已知火箭的最大速度v（单位：）和燃料质量M（单位：），火箭质量m（单位：）的函数关系是：，若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v的值为多少（参考数值为；）（ ）
A．13.8 B．9240 C．9.24 D．1380
8．要使关于的方程的一根比大且另一根比小，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A．是以2为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有3个零点
10．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．的定义域为R B． 是奇函数
C．在上单调递减 D． 有两个零点
12．在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量（单位：千克）与时间（单位：小时）的函数图像，则以下关于该产品生产状况的正确判断是.
A．在前三小时内，每小时的产量逐步增加
B．在前三小时内，每小时的产量逐步减少
C．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同
D．最后两小时内，该车间没有生产该产品
三、填空题
13．我国古代有一则家喻户晓的神话故事——后羿射日，在《淮南子 本经训》和《山海经 海内经》都有一定记载.如果被射下来的九个太阳中有一个距离地球约3500光年，如果将“3500光年”的单位“光年”换算成以”米”为单位，所得结果的数量级是___________（光年是指光在宇宙真空中沿直线经过一年时间的距离，光速；通常情况下，数量级是指一系列10的幂，例如数字的数量级是3）.
14．函数的零点个数为________．
15．现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩粒；第二轮，甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩粒.则红豆和白豆共有________粒.
16．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：．设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为_________．
四、解答题
17．南山中学学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标与上课时刻第分钟末的关系如下（，设上课开始时，．），．若上课后第分钟末时的注意力指标为．
(1)求的值；
(2)在一节课中，学生的注意力指标至少达到的时间能保持多长？
18．2021年，小林经过市场调查，决定投资生产某种电子零件，已知固定成本为6万元，年流动成本（万元）与年产品产量x（万件）的关系为，每个电子零件售价为12元，若小林加工的零件能全部售完．
(1)求年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
(2)求当年产量x为多少万件时年利润最大？最大值是多少？
19．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过 元
超过但不超过的部分 元
超过的部分 元
若某户居民本月交纳的水费为元，求此户居民本月用水量．
20．黑颈鹤是国家一级保护动物，主要在青藏高原繁殖，云贵高原过冬，是世界上15种鹤类中唯一在高原上繁殖和越冬的鹤类，数量十分稀少．截止2020年11月30日，大山包保护区黑颈鹤迁徙数据再破纪录，达1938只，是至今为止历年来大山包监测到黑颈鹤数量的最高纪录．研究鸟类的专家发现，黑颈鹤的飞行速度(单位：)与其耗氧量之间的关系为 (其中，是实数).据统计，黑颈鹤在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1．
（1）求出，的值；
（2）若黑颈鹤为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
21．已知函数f（x）＝3x2－5x＋a．
（1）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的一个零点在(－2，0)内，另一个零点在(1，3)内，求实数a的取值范围．
22．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据已知关系式可得不等式，结合对数运算法则解不等式即可求得结果.
【详解】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，
则，整理可得：，
，
，，
，即应在用药小时后再向病人的血液补充这种药.
故选：A.
2．D
【分析】根据题意可列出方程，求解即可.
【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则，即，
．
故选：D．
3．B
【分析】根据给定条件求出及的值，再利用给定公式计算失去40%新鲜度对应的时间作答.
【详解】依题意，，解得，当时，，
即，解得，于是得，解得，
所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.
故选：B
4．D
【分析】由题意结合对数的运算可得喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度，即可得解.
【详解】因为，
所以当时，可得即，
当时，可得即，
所以喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的倍.
故选：D.
【点睛】本题考查了对数函数的应用，考查了运算求解能力，准确理解题意、细心计算是解题关键，属于基础题.
5．B
【分析】根据题意把函数的零点问题即的解，转化为函数和的图像交点问题，由题可得关于对称，由，可得的周期为4，根据函数图像，即可得解.
【详解】由可得关于对称，
由函数是定义在R上的奇函数，
所以，
所以的周期为4，
把函数的零点问题即的解，
即函数和的图像交点问题，
根据的性质可得如图所得图形，结合的图像，
由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，
故选：B.
6．B
【分析】根据一元二次方程根的分布情况，列出不等式，求解即可.
【详解】根据题意不妨设函数的两个零点为，
要满足题意，则，，
解得.
故选：.
7．B
【解析】根据已知数据和函数关系式直接计算．
【详解】，
故选：B.
【点睛】本题考查函数的应用，属于基础题．
8．B
【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由题意可得，解得.
故选：B.
9．BD
【分析】首先根据函数的对称性求出的周期和对称中心，然后求得.利用图象法即可判断D.
【详解】依题意，为偶函数，
且，有，即关于对称，
则
，
所以是周期为4的周期函数，故A错误；
因为的周期为4，关于对称，
所以是函数的一个对称中心，故B正确；
因为的周期为4，则，，
所以，故C错误；
作函数和的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有3个交点，
所以函数有3个零点，故D正确.
故选：BD.
10．BD
【分析】利用偶函数与存在零点两个条件逐一判断各选项即可得解.
【详解】对于A，函数定义域为，该函数不是偶函数，A不是；
对于B，函数是R上的偶函数，由得或，即该函数有两个零点，B是；
对于C，函数是R上的奇函数，C不是；
对于D，是R上的偶函数，由得或，即该函数有两个零点，D是.
故选：BD
11．BC
【分析】根据函数解析式，结合函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对：的定义域为，错误；
对：，且定义域关于原点对称，故是奇函数，正确；
对：当时，，单调递减，正确；
对：因为，，所以无解，即没有零点，错误．
故选：.
12．BD
【分析】根据车间持续5个小时的生产总产量（单位：千克）与时间（单位：小时）的函数图像，分别进行判断即可．
【详解】由该车间持续5个小时的生产总产量（单位：千克）与时间（单位：小时）的函数图像，得：前3小时的产量逐步减少，故A错，B正确；
后2小时均没有生产，故C错，D正确．
故选BD
【点睛】此题考查函数图像的实际应用，关键点是将函数图像和实际问题联系起来，属于较易问题．
13．19
【分析】根据题意得到距离地球约3500光年，一年走过的路程为，3500光年走过的路程为计算出结果即可.
【详解】根据题意得到距离地球约3500光年，一年有秒，光速，
一年走过的路程为
3500光年走过的路程为
数量级为19.
故答案为：19.
14．1
【分析】在同一平面直角坐标系内作出函数与的图象即可得出答案.
【详解】令，可得方程．
在同一平面直角坐标系内作出函数与的图象，如图，
由图可知，函数与的图象只有一个交点，
故方程只有一个解，
故函数只有一个零点．
故答案为：1.
15．
【分析】设红豆有粒，白豆有粒，由两轮的结果可构造方程组，根据的范围可计算求得，加和即可得到结果.
【详解】设红豆有粒，白豆有粒，
由第一轮结果可知：，整理可得：；
由第二轮结果可知：，整理可得：；
当时，由得：（舍）；
当时，由得：（舍）；
当时，由得：，，
即红豆和白豆共有粒.
故答案为：.
16．
【分析】由推导出，进而可得.
【详解】由，得，
由，得，
将代入，得，
有，
所以，则，
所以.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由时对应的函数值为140，得的方程，解方程可得的值；
（2）根据题意当时可得，解不等式即可.
(1)
由题意得，
所以，则．
(2)
当时，由得．
则在一节课中，学生的注意力指标至少达到的时间能保持．
18．(1)；
(2)万件时最大利润为18万元.
【分析】（1）由题意，结合已知函数写出解析式；
（2）根据二次函数、对勾函数分别求出、上对应的利润最大值，比较它们的大小，即可确定最大年利润及对应的年产量.
（1）
由题设，，
所以.
（2）
当时，
故时最大利润为12万元；
当时，
当且仅当时等号成立，此时最大利润为18万元；
综上，当万件时最大利润为18万元.
19．
【分析】本题可设此户居民本月用水量为，然后分为、、三种情况进行讨论，结合计费方法即可得出结果.
【详解】设此户居民本月用水量为，
当时，，解得，不满足题意；
当时，，解得，满足题意；
当时，，解得，不满足题意，
综上所述，此户居民本月用水量为.
20．（1），；（2）270.
【分析】（1）由题意可得，解方程组即可求出结果；
（2）依题意得－1＋log3≥2，解不等式即可求出结果.
【详解】解：（1）由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，
即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故有a＋blog3＝1，
整理得a＋2b＝1.
解方程组得,
(2)由(1)知，v＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，
则有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270,
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.
21．（1）；（2）(－12，0)．
【分析】（1）由判别式大于零求出实数a的取值范围；
（2）画出的草图，结合零点存在性定理，列出不等式组求出实数a的取值范围．
【详解】（1）由题意得Δ＝25－4×3×a>0，解得．所以a的取值范围是．
（2）由草图可知
得，解得．所以a的取值范围是
【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于根据题意画出的草图，结合零点存在性定理得出实数a的取值范围．
22．(1)400吨；
(2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.
（2）根据获利，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度.
（1）
由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；
当且仅当 ，即 时等号成立，
故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.
（2）
不获利，设该单位每个月获利为S元，则 ，
因为，则，
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
答案第1页，共2页
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