高中数学（苏教版2019）必修第一册第8章单元综合测试C（含解析）

一、单选题
1．已知，，设函数，若对任意的实数，都有在区间上至少存在两个零点，则（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
2．已知且，函数在上是单调函数，若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，若关于的方程有七个不同的实根，则的值是（ ）
A．0或 B．0 C． D．不存在
4．已知函数，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，，若是偶函数，且满足函数有一个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．设函数（且）在区间上是单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数k的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．1
10．函数的定义域为，若存在区间使在区间上的值域也是，则称区间为函数的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ）
A． B． C． D．
11．关于函数（），下列说法正确的有（ ）
A．，至少有两个零点 B．，只有两个零点
C．，只有一个零点 D．，有三个零点
12．已知定义在上的函数，满足，且，，当时，(为常数)，关于的方程(且)有且只有3个不同的根，则（ ）
A．函数的周期 B．在单调递减
C．的图象关于直线对称 D．实数的取值范围是
三、填空题
13．已知函数，下列关于函数零点个数的四个判断，正确的是___________.
①当时，有3个零点；
②当时，有2个零点；
③当时，有4个零点；
④当时，有1个零点.
14．已知函数，函数，如果恰好有两个零点，则实数的取值范围是________．
15．设函数若函数有三个零点，则实数a的范围为________．
16．设函数．若恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．
四、解答题
17．对于函数,存在实数,使,成立,则称为关于参数的不动点.
(1)当,时,求关于参数1的不动点;
(2)当,时,函数在上存在两个关于参数的相异的不动点,试求参数的取值范围;
(3)对于任意的,总存在,使得函数有关于参数的两个相异的不动点,试求的取值范围.
18．已知函数，.
（1）当 时， 若函数 存在零点，求实数的取值范围并讨论零点个数；
（2）当时，若对任意的， 总存在， 使成立，求实数的取值范围.
19．已知函数（且，）是偶函数，函数（且） .
（1）求的值；
（2）若函数有零点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若，，使得成立，求实数的取值范围.
20．函数，方程有三个互不相等的实数根，从小到大依次为，，.
(1)当时，求的值；
(2)若对于任意符合题意的正数，恒成立，求实数的取值范围.
21．1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．
(1)若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；
(2)若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．
22．设a，b，c，d不全为0，给定函数，.若，满足①有零点；②的零点均为的零点：③的零点均为的零点，则称，为一对“K函数”.
（1）当a=c=d=1，b=0时，验证，是否为一对“K函致”，并说明理由；
（2）若a=1，，且，为一对“K函数”，求实数c的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据各选项只需研究、情况下的零点情况，由分段函数的性质求各区间上的零点，再讨论、判断满足题设条件下的范围.
【详解】结合各选项只需讨论：、，
设，，
由，得和；
由，得，
当时，至少两个零点0和恒成立，符合题设；
当时，可能有两个零点和，又至少有两个零点，
∴，均为零点，即，得，解得.
综上，.
故选：B.
2．A
【分析】根据题意分析，且可得只能是减函数，再结合分段函数的单调性可得，再画图分析与的图象恰有2个交点时满足的不等式求解即可
【详解】先分析函数，且
易得，因为，可得图象：
因为函数在上是单调函数，故只能是减函数，且，即.故当时，，结合可得.故，又关于的方程恰有2个互异的实数解，即与的图象恰有2个交点，画出图象：
可得，解得.综上有
故选：A
3．C
【分析】令，做出的图像，根据图像确定至多存在两个的值，使得与有五个交点时，的值或取值范围，进而转为求方程在的值或取值范围有解，利用一元二次方程根的分布，即可求解.
【详解】做出图像如下图所示：
令，方程，
为，
当时，方程没有实数解，
当或时，方程有2个实数解，
当，方程有4个实数解，
当时，方程有3个解，
要使方程方程有七个不同的实根，
则方程有一根为1，另一根大于0且小于1，
当时，有或，
当时，，或，不满足题意，
当时，，或，满足题意，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查复合方程的解，换元法是解题的关键，数形结合是解题的依赖，或直接用选项中的值代入验证，属于较难题.
4．C
【分析】由题对取特殊值，利用数形结合，排除不合题意的选项即得.
【详解】令，
当时，方程为，即，
作出函数及的图象，
由图象可知方程的根为或，即或，
作出函数的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD错误；
当时，方程为，即，
由图象可知方程的根，即，
结合函数的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A错误.
故选：C.
5．C
【解析】根据偶函数定义得，进而得有一个根，令，则转化为在内有一个根，分别讨论和和，结合二次函数求参即可.
【详解】因为是偶函数，
所以，
所以．
因为有一个零点，
所以有一个根，即有一个根．
整理得：．
令，则转化为在内有一个根．
分类讨论：
当，即时，恒小于0，不符合题意；
当，即时，若在内有一个根，则，
因为恒成立，
所以；
当，即时，若在内有一个根，则．
因为，所以无解．
综上所述，若有一个零点，则a的取值范围是．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键通过对数运算得到在内有一个根，进而通过换元和二次函数可得解.
6．D
【分析】先作函数和的图象，利用特殊值验证A错误，再结合对数函数的性质及二次函数的对称性，计算判断BCD的正误即可.
【详解】作函数和的图象，如图所示：
当时，，即，解得，此时，故A错误；
结合图象知，，当时，可知是方程，即的二根，故，，端点取不到，故BC错误；
当时，，即，
故，即，所以，
故，即，所以，故D正确.
故选：D.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点个数求参数值(取值范围)或相关问题，常先分离参数，再作图象，将问题转化成函数图象的交点问题，利用数形结合法进行分析即可.
7．D
【分析】令，再参变分离得到，再求导分析的单调性，进而得到函数图象，数形结合即可得实数a的取值范围
【详解】函数有两个零点，即有两根，又，故可转换为有两根，令， 则，令，则，故在上单调递减，在上单调递增，故，当且仅当时等号成立，故在上，单调递减；在上，单调递增，所以，又当与时，故实数a的取值范围为
故选：D
【点睛】本题主要考查了利用导数解决函数的零点个数问题，需要根据题意参变分离，再求导分析单调性与最值，属于难题
8．D
【分析】分析可知函数在上单调递减，可求得，然后作出函数与函数的图象，可知两个函数在上的图象有两个交点，从而可得知函数在上有且只有一个零点，利用二次函数的零点分布可求得实数的取值范围，即可得解.
【详解】当时，，
二次函数图象的对称轴为直线，此时，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，不合乎题意；
当时，即当时，此时，
，
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，不合乎题意；
当时，即当时，，
此时函数在上单调递减，在上单调递减，
由题意可得，解得，此时.
当时，，可得，
令，可得，
因为，则，
如下图所示：
因为，所以，函数与函数在上的图象有两个交点，
由题意可知，函数与函数在上的图象有且只有一个交点，
联立，可得，
设，则函数在上有且只有一个零点，
二次函数的对称轴方程为，只需，解得.
综上所述，.
故选：D.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
9．ACD
【分析】作出函数的图象，根据图象可知方程的实根个数可能为0，1，2，3，4，而 最多有2个实根，由此分类讨论可得出结果.
【详解】函数的图象如图所示，由图可知方程的实根个数可能为0，1，2，3，4，
当时，方程无实根，
当时，方程有唯一实根，
当时，方程有2个实根，
当或时，方程有3个实根，
当时，方程有4个实根，
∵最多有2个实根，此时，
∴方程有6个不同的实数根等价于的实根至少有3个，
当时，的三个根均大于-2，符合题意；
当时，的四个根均大于，有8个不同的实数根，不合题意；
当时，此时有7个不同的实数根，不合题意；
当时，只有三个均大于的不同实根，符合题意.
故的取值范围是
故选：ACD
10．ABD
【分析】根据题意，可知若在区间上的值域也是，则存在“和谐区间”，且，则或，再对各个选项进行运算求解，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.
【详解】解：由题得，若在区间上的值域也是，则存在“和谐区间”，
可知，，则或，
A：，若，解得：，
所以存在“和谐区间”；
B：，若存在和谐区间，
则，故在为增函数，
故，解得：，
所以存在“和谐区间”；
C：，若存在和谐区间，则，
若，则，故在上为增函数，
故，得，故无解；
若，则，故在上为增函数，
同上，无解.
所以不存在“和谐区间”；
D：，函数在 单调递减，
则 ， 不妨令，
所以存在“和谐区间”；
综上得：存在“和谐区间”的是ABD.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.
11．CD
【分析】举出特例，当，时，即可得到答案；
【详解】函数（）有零点有解，
有解，
令，方程有解，
对C，当，即时，与没有交点，
根据绝对值函数的图象可得：方程有1个解，故C正确；
对D， 当，即时，与有两个交点，，
根据绝对值函数的图象可得：方程有3个解，故D正确；
根据简易逻辑知识可知A,B错误；
故选：CD
12．BCD
【分析】根据函数基本性质，逐项分析判断即可得解.
【详解】由知，
所以，周期，A错误；
取，得，由得，又，得，
所以当时，是个减函数，；
当时，，，
是个减函数，；
可知在单调递减，B正确；
当时，，，得，
，
所以在区间上，，
又，得，
即的图象关于直线x=1对称，
由周期性可知在上的图象关于直线对称，故C正确；
由题意知与(且)有且只有3个公共点，
考查函数，有极大值点，7，11，…，
极小值点，5，9，…，极大值为2，极小值为，
为减函数时不合题意，所以为增函数，
由得，
由题意知且，
即且，所以，D正确.
故选：BCD
13．①②
【分析】由可得，利用换元法将函数分解为和
，作出函数的图象，利用数形结合即可得结论.
【详解】由可得：，
设，则方程等价于，
若，作出函数的图象如图，
此时方程有两根，其中，
由有一解，
由有两解，此时共有个解，即函数有个零点，
当时，有3个零点；
当时，作出函数的图象如图，
此时方程有一根，
由有两解，即函数有个零点，
所以当时，有2个零点；
故答案为：①②.
【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法
（1）直接法：令，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；
（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间上是连续不断的曲线，并且，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；
（3）图象法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；
（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.
14．
【解析】求出函数的表达式，构造函数，作出函数的图象，利用数形结合进行求解即可.
【详解】，
，
由，
得，
设，
若，则，，
则，
若，则，，
则，
若，则，，
则，
即，
作出的图象如图，
当时，，
当时，，
由图象知要使有两个零点，即有四个根，
则满足或，
故答案为：
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
15．．
【分析】令，则原方程的解变为方程组的解，作出函数，采用数形结合法即求．
【详解】函数的零点即为方程的解，令，
则原方程的解变为方程组的解，
作出函数的图象，
由图象可知，当时，有唯一的x与之对应；当时，有两个不同的x与之对应．
由方程组有三个不同的x知，需要方程②有两个不同的t，且一个，一个，
结合图象可知，当时，满足一个，一个，符合要求，
综上，实数a的取值范围为．
故答案为：
16．
【分析】根据解析式分析的性质，讨论、、，结合指数函数和二次函数的性质判断恰有2个零点情况下a的取值范围.
【详解】由解析式知：在上且单调递增；在上，的对称轴为且开口向上，
∴1、当，即时，则在上递增，，此时无零点；
2、当时，上存在一个零点，要使恰有2个零点，则在上也只有一个零点，而且，
∴当，即，只需，可得；
当，即，只需，可得；
∴此时，时恰有2个零点；
3、当时，上无零点，要使恰有2个零点，则在上有两个零点即可，而且，，
∴在上恒有两个零点.
综上，a的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据在的零点情况讨论a的范围，并确定上零点个数，结合二次函数性质求参数范围.
17．(1)和3
(2)
(3)
【分析】(1)当,时,结合已知可得,解方程可求;
(2)当,时,转化为问题在上有两个不同实数解,进行分离,结合对勾函数的性质可求．
（3）方程恒有两个不等实根，即，即对于任意的,总存在使之成立，转化为，令,再分类讨论即可求解.
(1)
当时,
令,可得即
解得或
当时,关于参数1的不动点为和3
(2)
由已知得在,上有两个不同解,
即在,上有两个不同解,
令,
所以,
解得:．
(3)
由题意知,函数有关于参数的两个相异的不动点,
所以方程,即恒有两个不等实根,
则,即对于任意的,总存在使之成立,即,即
令，,
根据对勾函数性质，令，则，解得：，
①当，即时，函数在单调递增，则
，解得：或，综上：，
②当，即或时，函数在单调递减，则
，解得：或，综上：或，
③,即时，函数在先减后增，
，令，解得：，
故时，，结合①得：
故时，，结合②得：，
综上：
18．（1）；（2）
【分析】（1），要使得在上有零点，判断的单调性可得
即可求的取值范围及零点个数
（2）先由二次函数的性质求出，讨论和时的范围，根据题意得出两个集合的包含关系，列不等式组即可求解.
【详解】（1）令，
则，
因为函数的对称轴为，所以在上单调递减，
要使得在有零点，则即，
所以，
所以实数的取值范围为，
由可得，所以，
当即时，有两个零点，
当或时有个零点，
（2）当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
，
可得当，，记集合，
由题意知：，
当时，在上是增函数，此时，
记集合
若对任意的， 总存在， 使成立，
则，所以，解得，
当时，在上是减函数，此时，
记集合
若对任意的， 总存在， 使成立，
则，所以，解得，
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
19．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）利用函数是偶函数，利用偶函数的定义，化简函数，求的值；
（2）问题转化为有解，分和两种情况讨论；（3）由条件可知问题转化为，根据不等式恒成立，参变分离后对恒成立，转化为求函数最值.
【详解】解：（1）∵为偶函数，∴，有，
对恒成立.
∴对恒成立.
∴，恒成立，∴.
（2）若函数有零点，
即，即有解.
令，则函数图象与直线有交点.
当时，∵，，无解.
当时，∵，，由有解可知，所以，
∴的取值范围是.
（3）当时，
，
由（2）知，，当且仅当时取等号，所以的最小值是.
由题意，，，使得成立，
即，成立，所以对恒成立，设，则对恒成立，
设函数，易知函数，
函数在内都是减函数，
所以在是减函数，
则，所以.
即的取值范围是.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由已知写出得表达式并分类讨论去绝对值，再分别求出三个零点即可；
（2）先对进行分类讨论，再分析出，将不等式化简，进而求出的取值范围.
(1)
解：当时，
当时，
令
得或（舍去）
当时，
令
得或
所以，，
(2)
解：
等价于
设，
即与有三个交点
①当时，
在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递增
，
即
解得：
，为方程的两个根
则，且
等价于
为方程的正根
②当时，
在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递增
，
即
解得：
，为方程的两个根
则，且
等价于
当，即时，
为方程的较小根
在单调递减，
综上所述，实数的取值范围为：
【点睛】关键点睛：本题对分类讨论得出分段函数后，关键在于分析出，将不等式转化为，再根据的范围求出最值.
21．(1)当时血液中药物的浓度最高，最大值为6
(2)
【分析】（1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案；
（2）讨论和两种情况，
【详解】（1）当时，药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为
①当时，．
②当时，因为（当且仅当时，等号成立），
所以．
故当时血液中药物的浓度最高，最大值为6．
（2）由题意得
①当时，，
设，则，，则，故；
②当时，，
由，得，
令，则，，则，故．
综上，．
22．（1）不是，理由见解析；（2）.
【分析】（1）根据函数的定义进行判断.
（2）结合换元法以及函数的定义进行讨论，由此求得的取值范围.
【详解】（1），
得，，故不是的零点，所以、不是一对“函数”.
（2），，
，.
，
，
由得或.
，
依题意的零点均为的零点，
当时，，，，符合题意.
当时，依题意可知没有实数根，
设，则没有实数根，
当时，，，
所以，即，解得.
当时，，，
所以，即，解得（舍去）.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】有关函数新定义的题目，解题关键是围绕着新定义去进行求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页