高中数学（苏教版2019）必修第一册第8章单元综合测试B（含解析）

一、单选题
1．已知函数有唯一的零点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．正实数满足，则实数之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
5．已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
6．对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．函数满足，，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是（ ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013
8．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.已知在上为“局部奇函数”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知关于x的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程的两个实数根之和为0 B．方程无实数根的一个必要条件是
C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
10．对任意两个实数，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．方程有三个解
C．函数在区间上单调递增
D．函数有4个单调区间
11．若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．2
12．已知函数，，对，与中的最大值记为，则（ ）
A．函数的零点为， B．函数的最小值为
C．方程有3个解 D．方程最多有4个解
三、填空题
13．函数的零点是_______.
14．当时，.若函数没有零点，则正实数的取值范围是___________.
15．已知二次函数的图像与轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数的取值范围______．
16．记，已知，设函数，若方程有解，则实数m的取值范围是__________________．
四、解答题
17．溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
(1)根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
(2)已知胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，计算胃酸的.（精确到）（参考数据：）
18．计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示：
(1)将表示为的函数，并写出定义域；
(2)当取何值时，取最大值？最大值是多少
19．已知二次函数的图象与直线只有一个交点，满足且函数是偶函数．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若对任意恒成立，求实数m的范围；
（3）若函数恰好三个零点，求k的值及该函数的零点．
20．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？
21．小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大 最大利润是多少
22．已知函数=x2﹣4x+3，g（x）=（a+4）x﹣3，a∈R.
(1)若函数y=﹣m在x∈[﹣1，1]上有零点，求m的取值范围；
(2)若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），求a的取值范围；
(3)设，记M（a）为函数h（x）在[0，1]上的最大值，求M（a）的最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】分析出函数的图象关于直线对称，可得出，由此可解得实数的值.
【详解】，
所以，，
所以，函数的图象关于直线对称，
若，则函数的零点必成对出现，即函数的零点个数为偶数，不合乎题意.
由于函数有唯一零点，则，解得.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题利用函数有唯一零点求参数值，解题的关键在于分析出函数的单调性，通过分析出函数的零点成对出现而得出，从而求解，在解题时要注意对函数的基本性质进行分析，从而找到问题的突破点.
2．A
【分析】由，得，而与的图象在只有一个交点，从而可得在只有一个根，令，然后利用零点存在性定理可求得，同理可求出的范围，从而可比较出的大小
【详解】，即，即，与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，
，，，则；
，即，即，由与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，，
，，故；
，即，
即，由与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，，
，，则；
故选：A.
3．C
【分析】根据解析式可确定至多有个零点，从而利用函数图象可确定恰有三个不同的零点的大致图象，从而确定的取值范围.
【详解】由题意得：；
令得：；令得：或；
即至多有个零点；
若函数恰有三个不同的零点，则需大致图象如下图所示，
即需，恰有三个不同的零点，
实数的取值范围为.
故选：C.
4．B
【解析】确定生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．
【详解】解：根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 （为正整数）
由基本不等式，得
当且仅当，即时，取得最小值，
时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故选：
【点睛】本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案，属于基础题．
5．D
【解析】根据题意做出函数在定义域内的图像，将函数零点转化成函数与函数图像交点问题，结合图形即可求解.
【详解】解：根据题意画出函数的图象，如图所示：
函数有三个零点，等价于函数与函数有三个交点，
当直线位于直线与直线之间时，符合题意，
由图象可知：，，
所以，
故选：D.
【点睛】根据函数零点的情况求参数有三种常用方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.
6．B
【分析】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式得出实数的取值范围．
【详解】解：由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点
设的图象与函数，的图象关于原点对称
令，则，
故原题义等价于方程有零点，解得
又因为，当且仅当时取等号
．
故选：B．
7．B
【分析】根据题意，函数关于点对称，直线对称，进而作出函数图像，易得为周期函数，周期为，再结合指数函数图像与周期函数性质，数形结合求解即可.
【详解】解：因为函数满足，所以函数关于点对称，
因为，即，所以函数关于直线对称，
因为当时，，
所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：
由图可知，函数为周期函数，周期为，
由于函数一个周期内，与有2个交点，
在上，与有1个交点，
所以根据函数周期性可知，当时，与有个交点.
所以关于x的方程在上的解的个数是个.
故选：B
8．B
【分析】由得出（用表示），方程有解，转化为求新函数的取值范围即得参数范围．
【详解】因为，所以，所以，则.因为（当且仅当时，等号成立），所以，即.
故选：B．
9．BCD
【分析】方程没有实数根，所以选项A错误；由题得，是的必要条件，所以选项B正确；由题得，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项C正确；由题得，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确.
【详解】对于选项A，方程为，方程没有实数根，所以选项A错误；
对于选项B，如果方程没有实数根，则所以，是的必要条件，所以选项B正确；
对于选项C，如果方程有两个正根，则所以，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项C正确；
对于选项D，如果方程有一个正根和一个负根，则所以，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：判断充分条件必要条件，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件，灵活选择方法判断得解.
10．ABD
【分析】结合题意作出函数的图象，进而数形结合求解即可.
【详解】解：根据函数与，，画出函数的图象，如图．
由图象可知，函数关于y轴对称，所以A项正确；
函数的图象与x轴有三个交点，所以方程有三个解，所以B项正确；
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以C项错误，D项正确．
故选：ABD
11．AB
【分析】对分类讨论，利用数形结合分析得解.
【详解】（1）当时，由题得，
因为，所以此种情况不存在；
（2）当时，由题得，
因为，所以.
故选：AB
【点睛】方法点睛：取值范围问题的求解，常用的方法：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
12．BCD
【分析】根据函数解析式，结合函数性质及函数新定义对选项一一分析即可.
【详解】对于A，由，即，得或，所以的零点为和3，所以A不正确；
对于B，因为的解为和，由与的图象可知，
当时，有最小值，所以B正确；
对于C，因为的图象与有3个交点，
所以方程有3个解，所以C正确；
对于D，令，因为，由选项B中的图象可知，
当时，最多有2个解，，
当时，有2个解；而有2个解，
故最多有4个解，所以D正确．
故选：BCD．
13．
【解析】把化为关于的二次方程，求出的值，再取对数即可.
【详解】解：，即，，
因为，所以，
对两边取以3为底的对数得，，
故答案为：
【点睛】思路点睛：含有指数函数的二次函数型的函数的零点的求法一般是化为关于某个指数函数的二次方程，解二次方程求出指数函数的值，再取对数即可.
14．
【分析】将问题转化为函数与图象的交点问题，结合图象得出正实数的取值范围.
【详解】当时，
当时，可化为
作出函数与的图象
由图可知当时，要使得函数没有零点
必须满足，解得
当时，要使得函数没有零点
必须满足或者，解得或
综上，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于将问题转化为函数图象的交点问题，结合数形结合的思想方法解决问题.
15．
【分析】求出二次函数图像与轴的交点,结合一元二次方程根的分布根据m取值不同分情况讨论求解即可.
【详解】由题意知，二次函数的图像与轴的交点为，
因为为二次函数，所以，
所以当时，二次函数的图像与轴有两个交点且分别在轴两侧，符合题意．
当时，设一元二次方程的两根分别为，
则需满足，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
故答案为：.
16．
【分析】由题意有解，即有交点，画出函数的简图，数形结合即得解
【详解】由题意有解，即有交点
令
当
当
故
画出函数的简图，如下图所示：
数形结合可知，当时，
故若有交点，
则实数m的取值范围是
故答案为：
17．(1)溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强
(2)
【分析】（1）根据复合函数的单调性判断说明；
（2）由已知公式计算．
(1)
根据对数的运算性质，有.
在上，随着的增大，减小，
相应地，也减小，即减小，
所以，随着的增大，减小，
即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.
(2)
当时，.
18．(1)，定义域为；
(2)当取30时，取最大值，最大值是1215.
【分析】（1）应用矩形的面积公式写出表示为的函数，并写出定义域.
（2）利用基本不等式求的最大值，并确定对应值.
【详解】（1）依题意得：温室的另一边长为米，则养殖池的总面积，
因为，解得
∴定义域为
（2）由（1），，又，
所以，当且仅当，即时上式等号成立，
所以.
当时，.
当x为30时，y取最大值为1215.
19．（1）；（2）或或 ；（3）7，零点为.
【分析】（1）由已知可得二次函数的对称轴和最值，设出函数解析式，再由求得结论；
（2）由的单调性得出的最小值，而关于的不等式是一次（时）的，只要和时成立即可，由此可解得的范围；
（3）换元，令，方程变形为，由绝对值性质知，方程的一个解为3，由此可求得值，再求得另外的解，从而可得所求函数零点．
【详解】（1）因为是偶函数，所以
所以的图象关于对称，
又二次函数的图象与直线只有一个交点，
设
又因为解得，
所以．
（2）由（1）得
在区间单调递增
即
且
或或
（3）令
由得即
函数有三个零点的一个零点为3
当时，由得
当时，；当时，，
函数的零点为
20．（1）500名；（2）.
【解析】（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解；
（2）求出从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，列出不等关系，在（1）的条件下求出的范围．
【详解】解：（1）由题意，得，
即，又，所以.
即最多调整500名员工从事第三产业.
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则，
所以.
所以，即在时恒成立.
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以，
又，所以.所以a的取值范围为.
【点睛】本题考查函数的应用，已知函数模型，直接根据函数模型列出不等式求解即可，考查了学生的数学应用意识，运算求解能力．
21．(1)
(2)当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元.
【分析】（1）根据题意，由年利润=年销售收入-固定成本-流动成本求解；
（2）由（1）的结论，求分段函数的最大值；
（1）
解：因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为万元.
依题意得，当时，；
当时，.
所以；
（2）
当时，，
当时，取得最大值；
当时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上为减函数.
当时，取得最大值.
由，则可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，
最大利润为万元.
22．(1)；
(2)；
(3)﹒
【分析】(1)令，依题意可得，，由此求得的取值范围；
(2)问题等价于函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集，求出的函数值的取值集合为，再分类讨论的取值集合，从而建立关于的不等式，解出即可；
(3)，分或讨论即可求得，由此求得的最小值．
【详解】（1）函数的图象的对称轴是直线，
在上为减函数，
又在上存在零点，故，解得，
故实数的取值范围为；
（2）若对任意的，总存在，使得，
则函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集，函数图象的对称轴是直线，∴在上的函数值的取值集合为，
①当时，，不符合题意，舍去；
②当时，在上的值域为，只需，解得；
③当时，在上的值域为，只需，无解；
综上，实数的取值范围为；
（3），当或时，在上单调递增，则，
当时，，
解得，
故当时，，
综上，的最小值为．
答案第1页，共2页
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