高中数学（苏教版2019）必修第二册第13章单元综合测试B（含解析）

一、单选题
1．如图，正方体的棱长为1，E，F分别为线段，上的点，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线a，b，平面，，，，，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．正方体中，点，，，是其所在棱的中点，则与是异面直线的图形是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
5．在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上 下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
7．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，棱长为1的正方体中为线段上的动点（不含端点）则下列结论正确的是（ ）
A．直线与所成的角可能是
B．平面平面
C．三棱雉的体积为定值
D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
10．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是棱BC的中点，点Q是底面A1B1C1D1上的动点，且AP⊥D1Q，则下列说法正确的有（ ）
A．DP与D1Q所成角的最大值为 B．四面体ABPQ的体积不变
C．△AA1Q的面积有最小值 D．平面D1PQ截正方体所得截面面积不变
11．如图，圆柱的轴截面是四边形，E是底面圆周上异于的一点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C．平面 D．平面平面
12．在正方体中，，E，F分别为的中点，P是上的动点，则（ ）
A．平面
B．平面截正方体的截面面积为18
C．三棱锥的体积与P点的位置有关
D．过作正方体的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为
三、填空题
13．已知三棱锥的棱AP，AB，AC两两互相垂直，，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于___________.
14．如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.
15．设圆锥底面圆周上两点、间的距离为，圆锥顶点到直线的距离为，和圆锥的轴的距离为，则该圆锥的侧面积为___________.
16．如图，在边长为的正方体中，、分别为棱、的中点，则平面截该正方体所得截面的面积为__________.
四、解答题
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面为直角梯形，CD//AB，AD⊥AB，且PA＝AD＝CD＝2，AB＝3，E为PD的中点.
(1)证明：AE⊥平面PCD；
(2)过A，B，E作四棱锥P﹣ABCD的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积.
18．如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．
（1）证明：//，且平面平面；
（2）设为的中心，若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．
19．如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为，两底面对角线的长分别为，水深为.
(1)求正四棱台的体积；
(2)将一根长的玻璃棒放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度.（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）
20．如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形（正四棱锥被平行于底面的平面截去一个小正四棱锥后剩下的多面体）玻璃容器Ⅱ的高均为，容器Ⅰ的底面对角线的长为，容器Ⅱ的两底面对角线、的长分别为和．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为．现有一根玻璃棒l，其长度为．（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）
(1)求容器Ⅰ、容器Ⅱ的容积；
(2)①将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱上，求l没入水中部分（水面以下）的长度；
②将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求l没入水中部分（水面以下）的长度．
21．已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点，．证明：；
22．已知正方体中，P Q分别为对角线BD 上的点，且.
(1)作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面；
(2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】因为平面，所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积，棱锥的高为长方体的棱长，底面，是以1为底1为高的三角形，利用棱锥的体积公式可求.
【详解】∵平面，
∴三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
而三棱锥，高为长方体1，底面，是以1为底1为高的三角形，
∴，
故选：C.
【点睛】本题考查了棱锥的体积，关键等体积转换，进一步明确其底面面积和高，利用体积公式解答，属于中档题.
2．C
【分析】过直线作平面，交平面于直线，，，，由可推出，由可推出，故“”是“”的充要条件．
【详解】解：若，
过直线作平面，交平面于直线，，，
又，，
又，，
若，
过直线作平面，交平面于直线，，，
，，
又，，
，，
故“”是“”的充要条件，
故选：．
3．C
【分析】对于A，B，D，利用两平行线确定一个平面可以证明直线与共面，对于C，利用异面直线的定义推理判断作答．
【详解】对于A，在正方体中，连接，，则，如图，
因为点，，，是其所在棱的中点，则有，，因此，则直线与共面，A错误；
对于B，在正方体中，连接，，，如图，
因为点，，，是其所在棱的中点，有且，则四边形为平行四边形，即有，
又，因此，直线与共面，B错误；
对于C，在正方体中，如图，
因为点，，，是其所在棱的中点，有，而平面，平面，
则平面，平面，则直线与无公共点，又直线与直线相交，
于是得直线与不平行，则直线与是异面直线，C正确；
对于，在正方体中，连接，，，，如图，
因为且，则四边形为平行四边形，有，
因为点，，，是其所在棱的中点，有，，则，直线与共面，D错误.
故选：C
4．D
【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.
【详解】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，
因为，所以，
因为重叠后的底面为正方形，所以,
在直棱柱中，平面BHC，则,
由可得平面，
设重叠后的EG与交点为
则
则该几何体的体积为.
故选：D.
5．B
【分析】先根据方亭四个侧面的面积之和得到的长度，然后作辅助线找到并求方亭的高，最后利用棱台的体积计算公式求解即可.
【详解】如图，过作，垂足为，
由四个侧面的面积之和为知，侧面的面积为，
∴（梯形的面积公式），则.
由题意得：，在中，.
连接，，过作，垂足为，易知四边形为等腰梯形且，，则，
∴，
∴该方亭的体积，（棱台的体积公式）.
故选：B.

6．C
【分析】根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离.
【详解】
设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离.
故选：C.
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
7．A
【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.
【详解】，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，
设到平面的距离为，
则，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.
8．C
【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，
所以，
又，
则，
所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，
所以.
故选：C.
9．BC
【分析】对于A选项， 建立坐标系，利用坐标法求解；对于B选项，由正方体的性质可知平面，进而可判断；对于C选项，利用等体积法求解即可判断；对于D选项，分别讨论所成的截面图形即可判断.
【详解】解：对于A选项，如图1，建立空间直角坐标系，
则，，
所以，
所以，令，
，
所以在区间上单调递减，
由于，，
所以，即直线与所成的角满足，
又因为，故，故直线与所成的角不可能是，故A选项错误；
对于B选项，由正方体的性质可知平面，所以平面平面，故B选项正确；
对于C选项，三棱雉的体积，是定值，故C选项正确；
对于D选项，设的中点为，当点在线段（不包含端点）上时，此时平面截正方体所得的截面为梯形，如图2；当点在点时，此时平面截正方体所得的截面正三角形；当点在线段（不包含端点）上时，此时平面截正方体所得的截面为等腰三角形，该三角形不可能为直角三角形，故D选项错误；
故选：BC
10．BCD
【解析】结合空间向量法求解，等体积法和三角形面积公式，以及截面面积的求解，逐个选项进行判断求解即可
【详解】
对于选项A，由题意以A1为坐标原点，A1B1、A1A、A1D1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A1(0，0，0)，D(0，2，2)，D1(0，2，0)，A(0，0，2)，B(2，0，2)，C(2，2，2)，则P(2，1，2)，设Q(x0，y0，0)，则=(2，1，0)，=(x0，y0－2，0)，
由⊥，可得，即2x0+y0－2=0，对于选项A，由=(2，－1，0)，可得，，为定值，所以选项A错误；
对于选项B，四面体ABPQ的体积，
为定值，即体积不变 ，所以选项B正确；
对于选项C，因为AA1⊥A1Q，且A1Q=
，所以
，因为，所以，所以选项C正确；
对于选项D，如图，因为点Q满足2x0+y0－2=0，即点Q在直线2x0+y0－2=0上运动，取A1B1的中点为E，即点Q在D1E上，因为点P到D1E的距离为2，E(1，0，0)，
=(1，－2，0)，，，
则平面D1PQ截正方体所得截面为，其中，，
所以，且，又由为中点，，，所以，和全等，所以，，由平行四边形的面积的性质，所以，截面面积为四边形，
该四边形的面积为2△D1PE，则截面面积为
2△D1PE=，则截面面积为定值，所以选项D正确.
故选BCD
【点睛】关键点睛：解题关键在于建立以A1为坐标原点，A1B1、A1A、A1D1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，并结合等体积法和三角形面积公式，以及截面面积，进行列式求解，难度属于中档题
11．ABD
【分析】根据垂直关系可证明平面或平面，利用线面垂直来证明线线垂直，或是面面垂直，再判断选项.
【详解】由是底面圆的直径，得，即，∵圆柱的轴截面是四边形， 底面，，又，，平面，
平面，，故A正确；
同理可得，，故B正确；
若平面，则,，,在中，不成立，平面不正确，故C不成立，
由A的证明可知平面，平面，所以平面平面.
可得正确.
故选：.
【点睛】本题考查线线，线面，面面垂直关系的判断，重点考查逻辑推理，属于基础题型.
12．AB
【分析】建立坐标系，利用向量法可判断A；取中点，连接，利用平面性质可知等腰梯形即为截面，求出其面积即可判断；根据平行间的距离不变可判断C；设外接球心为O，过O作，垂足为，则以为圆心，为半径的圆是过AE面积最小的截面圆，求出其面积即可判断D.
【详解】对于A，如图，以A为原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，
则,
，
，，
，，
，平面，故A正确；
对于B，如图，取中点，连接，则且，可知，所以共面，则等腰梯形即为截面，可求得其面积为18，故B正确；
对于C，可知在正方体中，，又平面，平面，所以平面，因为P是上的动点，所有到平面的距离为定值，故三棱锥的体积与P点的位置无关，故C错误；
对于D，设外接球心为O，过O作，垂足为，则以为圆心，为半径的圆是过AE面积最小的截面圆，
则，设，
，，
，解得，
则，故截面圆的最小面积为，故D错误.
【点睛】本题考查立体几何的综合问题，属于中档题.
13．##
【分析】将三棱锥补全为棱长为的正方体，根据已知条件判断棱锥各面与球面相交所成圆弧的圆心、半径及对应圆心角，进而求出弧长，即可知最长弧长.
【详解】由题设，将三棱锥补全为棱长为的正方体，如下图示：
若，则，即在P为球心，4为半径的球面上，且O为底面中心，
又，，
所以，面与球面所成弧是以为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为；
面与与球面所成弧是以为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为；
面与球面所成弧是以为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为；
所以最长弧的弧长为.
故答案为：.
14．
【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理计算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.
【详解】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
15．
【分析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的底面半径和母线长，结合圆锥的侧面积公式可求得结果.
【详解】设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、，
因为，，则，，故，
因为平面，平面，，
所以，为直线、的公垂线，故，
因为，，，
所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为，
因此，该圆锥的侧面积为.
故答案为：.
16．##
【分析】连接、、，分析可知平面截正方体所得截面为梯形，计算出梯形的面积，即可得解.
【详解】连接、、，如下图所示：
在正方体中，且，故四边形为平行四边形，
所以，，
、分别为、的中点，则且，，
因为平面平面，平面平面，设平面平面，则，
因为为平面与平面的一个公共点，且，，故直线与直线重合，
且，故梯形为截面截正方体所得截面，
过点、在平面内作，，垂足点分别为、，
因为，同理可得，则梯形为等腰梯形，
因为，，，则，
所以，，
在平面内，，，，则，故四边形为矩形，
所以，，则，，
因此，截面面积为.
故答案为：.
17．(1)证明见解析
(2)作法和理由见解析，
【分析】（1）由结合线面垂直的判定证明即可；
（2）作EF//CD，得出EF//AB，从而得出截面，再由梯形的面积公式得出截面面积.
(1)
证明：因为PA⊥平面ABCD，所以CD⊥PA.
又CD//AB，AD⊥AB，所以CD⊥AD.
因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AE.
因为PA＝AD，E为PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD.
(2)
解：如图，过E作EF//CD，交PC于F，连接BF，则截面为四边形ABFE.
理由如下：
因为AB//CD，EF//CD，所以EF//AB，所以A，B，F，E四点共面，从而过A，B，E的截面为四边形ABFE.
由（1）知AE⊥平面PCD，所以AE⊥EF，
又，，AB＝3，
所以四边形ABFE为直角梯形，其面积.
18．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）先求出线线平行，可得线线垂直，即可求线面垂直，最后可得面面垂直；
（2）连接，先求证四边形是平行四边形，根据几何关系求得，在截取，由（1）平面，可得为与平面所成角，即可求得答案．
【详解】证明：（1）由题意知，
又侧面是矩形且，分别为，的中点，
，，
，，又底面是正三角形，
，，
又，平面，平面，
平面，
平面，
平面平面；
（2）连接，
因为平面，平面平面，所以，
根据三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面，所以，
故：四边形是平行四边形．
设边长是 ()，可得：，，
因为为的中心，且边长为，所以，故：．
又，所以，所以，解得：，
在截取，故，又，，所以四边形是平行四边形，
所以．
由（1）平面，故为与平面所成角，
在，根据勾股定理可得：，
，所以直线与平面所成角的正弦值：．
【点睛】本题考查了空间位置关系，线面平行，线面垂直，面面垂直，线面角的计算，考查了运算能力和空间想象能力，属于中档题．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，结合台体的体积公式，即可求出结果.
（2）设玻璃棒在上的点为，玻璃棒与水面的交点为，过点作，交于点，过点作，交于点，推导出为等腰梯形，求出，，由正弦定理求出，由此能求出玻璃棒没入水中部分的长度．
【详解】（1）解：由题意可知，下底面正方形的边长为，上底面正方形的边长为，
所以下底面面积为，上底面的面积，
又台体的高为，
所以正四棱台的体积
（2）解：设玻璃棒在上的点为，则，玻璃棒与水面的交点为，在平面中，过点作，交于点，过点作，交于点，
∵为正四棱台，
∴，，
∴为等腰梯形，画出平面的平面图，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
，
根据正弦定理得：，
，
，
．
∴玻璃棒没入水中部分的长度为．
20．(1)；；
(2)①；②.
【分析】（1）利用正四棱柱和正四棱台的体积公式计算作答.
（2）分别作出玻璃棒l所在的正四棱柱和正四棱台的对角面，借助解三角形知识分别求解作答.
【详解】（1）容器Ⅰ的底面正方形面积，其容积，
容器Ⅱ的底面面积，底面面积，
容器Ⅱ的容积.
（2）①由正四棱柱的定义知，对角面是矩形，设玻璃棒的另一端落在上的点M处，如图，
由得：，，
设与水面的交点为，过作交AC于，在容器Ⅰ中，平面，则平面，
因此，，
所以玻璃棒l没入水中部分（水面以下）的长度为.
②是正四棱台两底面中心，由正四棱台的结构特征知，对角面是等腰梯形，
点分别是两底的中点，设玻璃棒的另一端落在上的点N处，如图，
过G作交于点K，则，，而，
因此，，，
，显然为钝角，，
在中，由正弦定理得，，
于是得，
设与水面的交点为，过作交直线EG于，在容器Ⅱ中，平面，则平面，
因此，，
所以玻璃棒l没入水中部分（水面以下）的长度为.
21．证明见解析.
【分析】通过已知条件可证，和相似，从而可得，结合线面垂直的判定定理，可得平面，故.
【详解】
取中点，连接
为直三棱柱且，分别为中点，
又，
，，
在和中，，且，
，即可得，
平面平面，
平面，且平面 ，
.
22．(1)答案见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）由题意结合几何性质可作出两平面的交线，然后证明线面平行即可；
（2）首先确定点R的位置，然后给出证明即可.
【详解】（1）连结CP并延长与DA的延长线交于M点，则平面PQC和平面的线为，
因为四边形ABCD为正方形，所以，
故，所以，
又因为，所以，所以.
又平面，PQ不在平面内，
故平面.
（2）当的值为时，能使平面平面.
证明：因为，即，故，所以.
又平面，PR不在平面内，
所以平面，又，平面.
所以平面平面.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页