人教B版高中数学选择性必修第一册1.2.3《直线与平面的夹角》教学设计二
文档属性
| 名称 | 人教B版高中数学选择性必修第一册1.2.3《直线与平面的夹角》教学设计二 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 503.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-05 10:26:08 | ||
图片预览
文档简介
《直线与平面的夹角》教学设计二
教学设计
一、问题导入
1.直线和平面存在哪几种位置关系？
2.我们该如何刻画直线相对于平面的倾斜程度？
【师生活动】师：提出问题.
生：思考后一名学生回答.
设计意图：复习已学相关知识，提出问题，为引导学生解决问题做准备.
二、探索新知
任务1：学习直线与平面所成的角的概念.
任务2：确定直线与平面所成的角的范围.
任务3：思考探索：如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？
任务4：寻找生活中的直线与平面所成的角.
任务5：小组讨论，归纳找直线与平面所成的角的步骤.
【师生活动】师：出示探究任务，让学生自主探究、讨论、总结.
生：思考后学生回答，其他学生补充完善.
汇报：1.①如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为90°；
②如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面所成的角为0°
③平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角
直线与平面所成的角也称为它们的夹角.
2.范围：
3.如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线不一定平行.
4.略
5.如图，角θ即为直线与平面所成的角过斜线上任点A作平面的垂线，垂足为C，斜线与平面交于点B，连接BC，则∠ABC即为直线与平面所成的角.
设计意图:培养学生独立思考、归纳能力,深化对概念的理解.
三、知识巩固
例1 已知是正方体,求与平面所成角的大小.
解 设的中点为,连接,如图所示.
因为是正方形,所以.
又因为,且面,所以.
再根据可知面.
因此,在面内的射影为,所以就是与平面所成角.
因为正方体中有,所以在中,,又因为是一个锐角,所以,即与平面所成角的大小为.
【师生活动】师:引导学生思考如何根据定义来解决例.
生:在教师的引导下,独立在练习本上完成.
设计意图：培养学生善于动脑思考的良好习惯，积累基本解题经验，提升数学学科素养.
四、观察猜想：最小角定理
问题1：如图，斜线OA与平面a所成的角01和斜线与平面内的其他直线OM所成的角之间有怎样的大小关系？
猜想：.
诱思探究，分组讨论：研究角，往往把角放在直角三角形中去研究，请同学们分组研究我们刚才所猜想的结果是否正确.
问题2：斜线和射影所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一直线所成的角中最小的角吗？
教师引导学生结合教材第43页下方“尝试与发现”探究此问题.
【师生活动】生：思考、分组讨论后一名代表回答问题并给出理论证明.
师：对学生的答案进行完善，并对学生的成果进行评价.
结论：如图，设AO是平面的一条斜线段，O为斜足，为A在平面内的射影，而OM是平面内的一条射线，，记，，，则有（简称三余弦定理）.因此，平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.
设计意图：进一步帮助学生理解直线与平面的夹角概念的合理性，提升学生的逻辑推理核心素养.
例2 如图所示，已知在平面内，过该角的顶点A引平面的斜线AP，且使∠，求证：斜线AP在平面内的射影平分.
证明 设点P在平面内的射影为点M，则AM为AP在平面内的射影.
根据前面的结论有
，
，
由可得
.
因此，即AM平分.
设计意图：通过例题，进一步帮助学生理解三余弦定理
思考：如图所示，P是平面外一点，P在平面内的射影为.过P作平面的斜线段，，且，均为斜足，设，与平面所成角分别为试判断是的什么条件，是的什么条件.
小组合作讨论此思考题，然后汇报
注意到，所以与都是直角三角形，从而
，
再根据都是锐角可知是的充要条件；类似地，因为
，
所以也是的充要条件.
教师进行适当的补充和完善，最后指出：经过平面外同点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等.
五、实际应用：利用向量求线面角
【师生活动】师：如果v是直线l的一个方向向量，n是平面的一个法向量，设直线l与平面所成角的大小为，通过作图讨论与的关系.
生：作图、确定方向向量与法向量，根据向量夹角的不同情况分类讨论，得出结论：.
生：根据可知.
师：引导学生根据所得结论，类比用向量法求解异面直线夹角问题用向量法解答例1.
用向量法解答例1如下：
例1已知是正方体，求与平面所成角的大小.
解 以D为原点，的方向分别为x轴y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ,
.
所以.
设平面的一个法向量为,则
取,可得.
又因为
，
所以,从而可知与平面所成角的大小为
.
设计意图:梳理斜线的方向向量与平面的法向量的夹角和直线与平面的夹角间的关系,类比、掌握利用向量法解决线面角问题,提升数学建模与数学运算素养.
六、总结归纳
1.你学会了哪些知识
2.在能力方面你有了哪些提高
【师生活动】教师列出提纲,学生归纳总结.
设计意图:学生自已梳理所学知识,形成知识体系,培养归纳总结能力.
板书设计
1.2.3直线与平面的夹角一、问题导入二、探索新知三、知识巩固例1(教材第45页例2,定义法)四、观察猜想旦小角定理三余弦定理:例2(教材第44页例1)五、实际应用如果是直线的一个方向向量,是平面的一个法向量,设直线与平面所成角的大小为,则,从而例1(教材第45页例2,向量法)六、总结归纳
教学研讨
本节课在设计上注重学生的自主探究，基本体现了“学生为主体”的思想，把学习的主动权还给了学生，让学生自主经历发现问题、研究问題、解决问题的学习过程，使数学课堂生动起来，同处理异面直线的夹角问题一样，处理线面角时也有两种不同的策略：定义法和向量法，尽管本案例中例1用到了两种方法，但似乎缺失了比较这两种方法各自优缺点的教学环节，建议补上，便于学生在具体问题中学会选择恰当的方法.
2 / 2
教学设计
一、问题导入
1.直线和平面存在哪几种位置关系？
2.我们该如何刻画直线相对于平面的倾斜程度？
【师生活动】师：提出问题.
生：思考后一名学生回答.
设计意图：复习已学相关知识，提出问题，为引导学生解决问题做准备.
二、探索新知
任务1：学习直线与平面所成的角的概念.
任务2：确定直线与平面所成的角的范围.
任务3：思考探索：如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？
任务4：寻找生活中的直线与平面所成的角.
任务5：小组讨论，归纳找直线与平面所成的角的步骤.
【师生活动】师：出示探究任务，让学生自主探究、讨论、总结.
生：思考后学生回答，其他学生补充完善.
汇报：1.①如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为90°；
②如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面所成的角为0°
③平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角
直线与平面所成的角也称为它们的夹角.
2.范围：
3.如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线不一定平行.
4.略
5.如图，角θ即为直线与平面所成的角过斜线上任点A作平面的垂线，垂足为C，斜线与平面交于点B，连接BC，则∠ABC即为直线与平面所成的角.
设计意图:培养学生独立思考、归纳能力,深化对概念的理解.
三、知识巩固
例1 已知是正方体,求与平面所成角的大小.
解 设的中点为,连接,如图所示.
因为是正方形,所以.
又因为,且面,所以.
再根据可知面.
因此,在面内的射影为,所以就是与平面所成角.
因为正方体中有,所以在中,,又因为是一个锐角,所以,即与平面所成角的大小为.
【师生活动】师:引导学生思考如何根据定义来解决例.
生:在教师的引导下,独立在练习本上完成.
设计意图：培养学生善于动脑思考的良好习惯，积累基本解题经验，提升数学学科素养.
四、观察猜想：最小角定理
问题1：如图，斜线OA与平面a所成的角01和斜线与平面内的其他直线OM所成的角之间有怎样的大小关系？
猜想：.
诱思探究，分组讨论：研究角，往往把角放在直角三角形中去研究，请同学们分组研究我们刚才所猜想的结果是否正确.
问题2：斜线和射影所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一直线所成的角中最小的角吗？
教师引导学生结合教材第43页下方“尝试与发现”探究此问题.
【师生活动】生：思考、分组讨论后一名代表回答问题并给出理论证明.
师：对学生的答案进行完善，并对学生的成果进行评价.
结论：如图，设AO是平面的一条斜线段，O为斜足，为A在平面内的射影，而OM是平面内的一条射线，，记，，，则有（简称三余弦定理）.因此，平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.
设计意图：进一步帮助学生理解直线与平面的夹角概念的合理性，提升学生的逻辑推理核心素养.
例2 如图所示，已知在平面内，过该角的顶点A引平面的斜线AP，且使∠，求证：斜线AP在平面内的射影平分.
证明 设点P在平面内的射影为点M，则AM为AP在平面内的射影.
根据前面的结论有
，
，
由可得
.
因此，即AM平分.
设计意图：通过例题，进一步帮助学生理解三余弦定理
思考：如图所示，P是平面外一点，P在平面内的射影为.过P作平面的斜线段，，且，均为斜足，设，与平面所成角分别为试判断是的什么条件，是的什么条件.
小组合作讨论此思考题，然后汇报
注意到，所以与都是直角三角形，从而
，
再根据都是锐角可知是的充要条件；类似地，因为
，
所以也是的充要条件.
教师进行适当的补充和完善，最后指出：经过平面外同点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等.
五、实际应用：利用向量求线面角
【师生活动】师：如果v是直线l的一个方向向量，n是平面的一个法向量，设直线l与平面所成角的大小为，通过作图讨论与的关系.
生：作图、确定方向向量与法向量，根据向量夹角的不同情况分类讨论，得出结论：.
生：根据可知.
师：引导学生根据所得结论，类比用向量法求解异面直线夹角问题用向量法解答例1.
用向量法解答例1如下：
例1已知是正方体，求与平面所成角的大小.
解 以D为原点，的方向分别为x轴y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ,
.
所以.
设平面的一个法向量为,则
取,可得.
又因为
，
所以,从而可知与平面所成角的大小为
.
设计意图:梳理斜线的方向向量与平面的法向量的夹角和直线与平面的夹角间的关系,类比、掌握利用向量法解决线面角问题,提升数学建模与数学运算素养.
六、总结归纳
1.你学会了哪些知识
2.在能力方面你有了哪些提高
【师生活动】教师列出提纲,学生归纳总结.
设计意图:学生自已梳理所学知识,形成知识体系,培养归纳总结能力.
板书设计
1.2.3直线与平面的夹角一、问题导入二、探索新知三、知识巩固例1(教材第45页例2,定义法)四、观察猜想旦小角定理三余弦定理:例2(教材第44页例1)五、实际应用如果是直线的一个方向向量,是平面的一个法向量,设直线与平面所成角的大小为,则,从而例1(教材第45页例2,向量法)六、总结归纳
教学研讨
本节课在设计上注重学生的自主探究，基本体现了“学生为主体”的思想，把学习的主动权还给了学生，让学生自主经历发现问题、研究问題、解决问题的学习过程，使数学课堂生动起来，同处理异面直线的夹角问题一样，处理线面角时也有两种不同的策略：定义法和向量法，尽管本案例中例1用到了两种方法，但似乎缺失了比较这两种方法各自优缺点的教学环节，建议补上，便于学生在具体问题中学会选择恰当的方法.
2 / 2