《夹角、二面角、距离》学考达标练
一、选择题
1.(2020·北京育英学校月考)已知线段,在平面内的射影长为4,则直线与平面所成的角为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.(2020·宁阳一中月考)一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直.则这两个二面角的大小关系是（ ）
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.不能确定
3.(2020·锦州铁中月考)如图,已知平面内有一个以为直径的圆,,点在圆周上（异于点,）,点,分别是点在,上的射影,则（ ）
A.为二面角的平面角
B.为二面角的平面角
C.为二面角的平面角
D.为二面角的平面角
4.(2020·沈阳一中月考)已知四边形是正方形,是的中点,将和分别沿,折起.使与重合,,两点重合后记为点,那么二面角的大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
5.(2020·华师一附中检测)在中,,若所在平面外点到的距离都是14.则到的距离是______.
6.(2020·兰州一中月考)正三棱柱的所有棱长都相等,则与平面的夹角的余弦值为_______.
三、解答题
7.(2020·威海二中月考)如图,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,侧棱分别是的中点,点在平面上的射影是的重心.
（1）求与平面所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离.
参考答案
1.
答案：B
解析：由题意得,所以.
2.
答案：D
解析：当一个二面角的棱垂直于另一个二面角的一个半平面时,这两个二面角的大小关系是不能确定的.
3.
答案：B
解析：由题知平面,所以.又,,所以平面,所以.又,,所以平面,所以,即为二面角的平面角.
4.
答案：A
解析：取的中点,连接,,则,,故即为所求二面角的平面角,设,则,所以,故所求二面角的大小为30°.
5.
答案：11
解析：作于点,连接（图略）,因为,所以,所以是的外心.所以,所以,即到的距离为11.
6.
答案：
解析：设正三棱柱的棱长为1,以为原点,建立空间直角坐标系,如图,则
,所以,易知平面的一个向量为,设与平面的夹角为,则,所以.
7.
答案：见解析
解析：连接,则是在平面上的射影,即是与平面所成的角.建立坐标系如图所示,坐标原点为.
设,则,, ,
.所以.所以,解得.所以.所以.所以与平面所成角的余弦值为.
设平面的法向量为,则有, ,所以且,不妨取,则.所以到平面的距离为.
1 / 5《夹角、二面角、距离》高考通关练
一、选择题
1.(2020·呼和浩特第二中学模拟)若平面的一个法向量,直线的一个方向向量,则直线与平面所成角的余弦值为（ ）.
A.
B.
C.
D.
2.(2020·山东日照一中月考)已知平面的一个法向量,点 在内,则点到的距离为（ ）.
A.10
B.3
C.
D.
3.(2020·北京延庆一中测试)如图,在等腰三角形中, , 分别是上的点, , 为的中点.将沿折起,得到如图所示的四棱锥.若平面,则与平面所成角的正弦值等于（ ）.
A.
B.
C.
D.
4.(2020·广西来宾高二期末)已知正方体的棱长为1,若点在正方体的内部,且满足,则平面与平面所成二面角的余弦值为（ ）.
A.
B.
C.
D.
5.(2020·大连24中月考)如图,在四棱锥中, 底面,四边形为正方形,且, 为的重心,则与底面所成的角满足（ ）.
A.
B.
C.
D.
二、填空题
6.（2020·北京101中学检测）正三角形与正三角形所在的平面互相垂直,则直线与平面所成角的正弦值为______.
7.如图,在棱长为1的正方体中, 分别是线段,的中点,则直线到平面的距离是_______.
8.(2020·日照五中月考)已知是等边三角形, 是所在平面外一点, ,若,则二面角的大小为_______.
9.(2020·苏州一中期中)设棱长为的正方体中,点在棱上滑动,则点到平面距离的最大值是_______.
三、解答题
10.(2020·江西南康中学高二月考）已知等边三角形的边长为3,点分别是边,上的点,且满足（如图①）.将沿折起到的位置,使二面角为直二面角,连接（如图②）.
（1）求证：平面.
（2）在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为？若存在,求出线段的长；若不存在,请说明理由.
参考答案
1.
答案：D
解析：由已知得.则与所成角的余弦值为.故选D.
2.
答案：D
解析：因为,所以.又因为平面的一个法向量,点在内,所以点到的距离等于向量在上的投影的绝对值,即.故选D.
3.
答案：D
解析：取的中点,连接,则.以为坐标原点, 分别为轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.由题意,
知,∴,
∴,∴.设与平面所成的角为,平面的一个法向量为∴.
4.
答案：B
解析：如图,过点作,垂足为,作⊥平面,垂足为,连接
.由三垂线定理的逆定理可知,所以为所求二面角的平面角.因为,所以故,所以.
5.
答案：B
解析：建立如图所示的空间直角坐标系,则,
所以,则.易知平面的一个法向量为,则,所以与平面所成角的余弦值为.
6.
答案：
解析：取的中点,连接,建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则,所以.设平面的一个法向量为,则所以,取,则,,所以.所以,因此直线与平面所成角的正弦值为.
7.
答案：
解析：如图,建立空间直角坐标系,则.
所以.所以.又直线与不重合,所以,又平面,所以平面.易得.设平面的一个法向量为,则所以，所以.令,则.又因为所以.所以点到平面的距离为,即直线到平面的距离是.
8.
答案：60°
解析：因为,所以在平面上的射影为的中心, .又,设二面角的大小为,所以,所以=60°.
9.
答案：
解析：如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则,
,设,则.设平面的一个法向量为,则即,令,得,所以点到平面的距离为,当时, 取最大值,即.
10.
答案：见解析
解析：（1）因为等边三角形的边长为3,且,所以,.在中, ,由余弦定理得.因为,所以.折叠后有,因为二面角是直二面角,所以平面平面.又平面∩平面,平面,,所以平面.
（2）存在.由（1）可知, 平面.以为坐标原点,以射线分别为轴, 轴, 轴的正半轴建立空间直角坐标系,如图
所示.假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为.设,作,垂足为点,连接,则,,所以,,所以.因为平面,所以平面的一个法向量为.因为直线与平面所成的角为,所以,解得,即,满足,符合题意,所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时.
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