人教B版高中数学选择性必修第一册 1.2.4二面角 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版高中数学选择性必修第一册 1.2.4二面角 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 646.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-05 10:30:13 | ||
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文档简介
课时分层作业(七) 二面角
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在长方体ABCD A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝AA1，E为CC1的中点，则二面角E BD C的平面角的大小为( )
A． B． C． D．
2．过正方形ABCD的顶点A作线段AP垂直于平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的大小为( )
A． B．
C． D．以上都不正确
3．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B AC D的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．如图，已知三棱锥ABC A1B1C1的底面是正三角形，侧面ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝60°，M是A1B1的中点，MB⊥AC，则二面角A1 BB1 C的余弦值为( )
A． B．
C． D．
5．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B′ AC D，M，N分别为AC，B′D的中点，若θ∈，则线段MN长度的取值范围为( )
A． B．
C． D．[1，]
二、填空题
6．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是________．
7．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P BC A的大小为________．
8．如图，在边长为2的正方体中，M为棱AB的中点，则二面角B1 CM B的正切值是________．
三、解答题
9．如图所示，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A VB C的余弦值．
10．如图所示，在梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在线段BC，AD上(异于端点)，EF∥AB．将四边形ABEF沿EF折起，连接AD，AC，BC．
(1)若BE＝3，在线段AD上取一点P，使AP＝PD，求证：CP∥平面ABEF；
(2)若平面ABEF⊥平面EFDC，且线段FA，FC，FD的长成等比数列，求平面EAC和平面ACF夹角的大小．
11．(多选题)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值可能为( )
A． B． C． D．
12．如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C BF D的正切值为( )
A． B．
C． D．
13．(一题两空)在四棱锥P ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD＋PD＝3．若四棱锥P ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为________；当四棱锥P ABCD的体积取得最大值时，二面角A PC D的正切值为________．
14．已知边长为2的正方形纸片ABCD，现将其沿着对角线AC翻折，使得二面角B AC D的大小等于45°，则四面体ABCD的体积为________．
15．如图①，正方形ABCD的边长为4，AB＝AE＝BF＝EF，AB∥EF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD⊥平面AEFB，G是EF的中点，如图②．
图① 图②
(1)求证：AG⊥平面BCE；
(2)求二面角C AE F的余弦值．
课时分层作业(七) 二面角答案
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在长方体ABCD A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝AA1，E为CC1的中点，则二面角E BD C的平面角的大小为( )
A． B． C． D．
B [如图，连接AC，BD，相交于点O，
∵AB＝BC，
∴OC⊥BD，
而△BCE≌△DCE，
∴BE＝DE，
则OE⊥BD，
∴∠EOC为二面角E BD C的平面角，
设AB＝BC＝2，则OC＝AC＝，
AA1＝2，则CE＝CC1＝AA1＝．
∴∠EOC＝．
即二面角E BD C的平面角的大小为．]
2．过正方形ABCD的顶点A作线段AP垂直于平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的大小为( )
A． B．
C． D．以上都不正确
A [设AP＝AB＝1，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，＝(1,1，－1)，＝(0,1，－1)．
设平面PCD的法向量m＝(x，y，z)，
则
取y＝1，得m＝(0,1,1)，
平面ABP的法向量n＝(0,1,0)，
设平面ABP与平面CDP所成的角为θ，
则cos θ＝＝＝，∴θ＝．]
3．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B AC D的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
D [如图所示，欲使得三棱锥体积最大，
∵三棱锥底面积一定，
∴只须三棱锥的高最大即可，
即当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，
∴当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，
二面角B AC D的大小为90°．]
4．如图，已知三棱锥ABC A1B1C1的底面是正三角形，侧面ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝60°，M是A1B1的中点，MB⊥AC，则二面角A1 BB1 C的余弦值为( )
A． B．
C． D．
B [取AB的中点O，连接OC，OA1则AB⊥OC，
AB⊥OA1，建系如图所示，设OA＝OB＝1，则OA1＝OC＝，则平面ABB1的法向量为m＝(1,0,0)．
B(0,1,0)，C(－，0,0)，A1(0,0，)，M(0,1，)，
B1(0,2，)．
则＝(－，－1,0)，＝(0,1，)．
设平面BB1C的法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
令x＝1，得n＝(1，－，1)，
cos〈m，n〉＝＝＝．]
5．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B′ AC D，M，N分别为AC，B′D的中点，若θ∈，则线段MN长度的取值范围为( )
A． B．
C． D．[1，]
A [连接B′M，DM，得AC⊥B′M，AC⊥DM，
∴∠DMB′是二面角B′ AC D的平面角，且B′M＝DM＝，
在等腰△DMB′中，MN⊥B′D，
且∠DMN＝∠DMB′＝θ，θ∈，
则MN＝DMcosθ∈．
∴线段MN长度的取值范围为．]
二、填空题
6．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是________．
120° [设二面角大小为θ，由题意可知
cos(π－θ)＝＝＝，
所以θ＝120°．]
7．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P BC A的大小为________．
90° [取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，则∠POA就是二面角P BC A的平面角．又PO＝AO＝，PA＝，所以∠POA＝90°．]
8．如图，在边长为2的正方体中，M为棱AB的中点，则二面角B1 CM B的正切值是________．
[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
B(2,2,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)，M(2,1,0)，＝(2，－1,0)，＝(2,0,2)，
设平面CMB1的法向量n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得n＝(1,2，－1)，
平面CBM的法向量n＝(0,0,1)，
设二面角B1 CM B的平面角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∴tan θ＝．∴二面角B1 CM B的正切值为．]
三、解答题
9．如图所示，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A VB C的余弦值．
[解] 取VB的中点为E，
连接AE，CE．
∵VA＝VB＝VC＝AB，ABCD为正方形，
∴AE⊥VB，CE⊥VB．
∴∠AEC是二面角A VB C的平面角．
设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝a，AC＝a，由余弦定理可知：
cos∠AEC＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))－\r(2)a2,2×\f(\r(3),2)a×\f(\r(3),2)a)＝－，∴所求二面角A VB C的余弦值为－．
10．如图所示，在梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在线段BC，AD上(异于端点)，EF∥AB．将四边形ABEF沿EF折起，连接AD，AC，BC．
(1)若BE＝3，在线段AD上取一点P，使AP＝PD，求证：CP∥平面ABEF；
(2)若平面ABEF⊥平面EFDC，且线段FA，FC，FD的长成等比数列，求平面EAC和平面ACF夹角的大小．
[解] (1)证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AB，BE＝3，
∴AF＝3．
又AD＝6，BC＝4，∴EC＝1，FD＝3，
在线段AF上取点Q，使AQ＝QF，连接PQ，QE，
∵AP＝PD，∴PQDF，
∵CEDF，∴CEPQ，
∴四边形ECPQ为平行四边形，∴CP∥EQ，
∵CP 平面ABEF，EQ 平面ABEF，
∴CP∥平面ABEF．
(2)在梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥EF，∴EF⊥AF，EF⊥FD，∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，AF 平面ABEF，∴AF⊥平面EFDC．
设FA＝x(0＜x＜4)，∵EF＝AB＝2，
∴FD＝6－x，EC＝4－x，∴FC＝，
∵线段FA，FC，FD的长成等比数列，
∴FC2＝FA·FD，即4＋(4－x)2＝x(6－x)，
化简得x2－7x＋10＝0，∴x＝2或x＝5(舍去)．
以点F为坐标原点，FE，FD，FA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则F(0,0,0)，E(2,0,0)，C(2,2,0)，A(0,0,2)，
∴＝(0,2,0)，＝(－2,0,2)，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面EAC的法向量，
则即
取z1＝1，则x1＝1，y1＝0，
∴平面EAC的一个法向量为n1＝(1,0,1)．
又＝(2,2,0)，＝(0,0,2)，
设n2＝(x2，y2，z2)是平面ACF的法向量，
则即
取x2＝1，则y2＝－1，z2＝0，
∴平面ACF的一个法向量为n2＝(1，－1,0)．
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝．
∵平面EAC和平面ACF的夹角为锐角，
∴平面EAC和平面ACF的夹角为60°．
11．(多选题)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值可能为( )
A． B． C． D．
ABCD [在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，
当F与B1重合时，平面EFB即为平面ABB1A，
此时平面EFB与底面ABCD所成的二面角的平面角为90°，余弦值为0，
当E与A重合，F与C1重合时，平面EFB是平面ABC1D1，
此时平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角为45°，余弦值为．
∴平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是．]
12．如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C BF D的正切值为( )
A． B．
C． D．
D [如图所示，连接BD，AC∩BD＝O，连接OF．以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz．设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝．所以B，F，C，D．
结合图形可知，＝且为平面BDF的一个法向量，
由＝，＝，
可求得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．
所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，
所以tan〈n，〉＝．
即二面角C BF D的正切值为．]
13．(一题两空)在四棱锥P ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD＋PD＝3．若四棱锥P ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为________；当四棱锥P ABCD的体积取得最大值时，二面角A PC D的正切值为________．
6π [设CD＝x(0＜x＜3)，则PD＝3－x，
因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，
又PD⊥AC，所以PD⊥平面ABCD，
则四棱锥P ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，
从而球心O的表面积为：4π＝3π[(x－1)2＋2]≥6π．
四棱锥的体积为V＝×(3－x)x2(0＜x＜3)，
则V′＝－x2＋2x，当0＜x＜2时，V′＞0，当2＜x＜3时，
V′＜0，所以Vmax＝V(2)，此时AD＝CD＝2，PD＝1，
过D作DH⊥PC于H，
连接AH，则∠AHD为二面角A PC D的平面角．
∵DH＝＝，
∴tan∠AHD＝＝．]
14．已知边长为2的正方形纸片ABCD，现将其沿着对角线AC翻折，使得二面角B AC D的大小等于45°，则四面体ABCD的体积为________．
[如图，连接AC，BD，设AC与BD相交于E，则BE⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BED为二面角B AC D的平面角，大小等于45°，且AC⊥平面BED，
在平面BED中，过B作BO⊥平面ACD，则O在DE上，
∵原正方形的边长为2，
∴S△ACD＝×2×2＝2，BE＝，则BO＝1．
∴四面体ABCD的体积为×2×1＝．]
15．如图①，正方形ABCD的边长为4，AB＝AE＝BF＝EF，AB∥EF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD⊥平面AEFB，G是EF的中点，如图②．
图① 图②
(1)求证：AG⊥平面BCE；
(2)求二面角C AE F的余弦值．
[解] (1)证明：连接BG，因为BC∥AD，AD⊥底面AEFB，
所以BC⊥底面AEFB，
又AG 底面AEFB，
所以BC⊥AG，
因为AB＝AE，所以四边形ABGE为菱形，所以AG⊥BE，
又BC∩BE＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，所以AG⊥平面BCE．
(2)由(1)知四边形ABGE为菱形，AG⊥BE，AE＝EG＝BG＝AB＝4，
设AG∩BE＝O，所以OE＝OB＝2，OA＝OG＝2，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，A(－2,0,0)，E(0，－2，0)，F(4,2，0)，C(0,2，4)，D(－2,0,4)，
所以＝(2,2，4)，＝(2，－2，0)，
设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，
则令y＝1，则x＝，z＝－，
即平面ACE的一个法向量为n＝(，1，－)，
易知平面AEF的一个法向量为＝(0,0,4)，
设二面角C AE F的大小为θ，由图易知θ∈，
所以cos θ＝＝＝．
故二面角C AE F的余弦值为．
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(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在长方体ABCD A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝AA1，E为CC1的中点，则二面角E BD C的平面角的大小为( )
A． B． C． D．
2．过正方形ABCD的顶点A作线段AP垂直于平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的大小为( )
A． B．
C． D．以上都不正确
3．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B AC D的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．如图，已知三棱锥ABC A1B1C1的底面是正三角形，侧面ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝60°，M是A1B1的中点，MB⊥AC，则二面角A1 BB1 C的余弦值为( )
A． B．
C． D．
5．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B′ AC D，M，N分别为AC，B′D的中点，若θ∈，则线段MN长度的取值范围为( )
A． B．
C． D．[1，]
二、填空题
6．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是________．
7．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P BC A的大小为________．
8．如图，在边长为2的正方体中，M为棱AB的中点，则二面角B1 CM B的正切值是________．
三、解答题
9．如图所示，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A VB C的余弦值．
10．如图所示，在梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在线段BC，AD上(异于端点)，EF∥AB．将四边形ABEF沿EF折起，连接AD，AC，BC．
(1)若BE＝3，在线段AD上取一点P，使AP＝PD，求证：CP∥平面ABEF；
(2)若平面ABEF⊥平面EFDC，且线段FA，FC，FD的长成等比数列，求平面EAC和平面ACF夹角的大小．
11．(多选题)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值可能为( )
A． B． C． D．
12．如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C BF D的正切值为( )
A． B．
C． D．
13．(一题两空)在四棱锥P ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD＋PD＝3．若四棱锥P ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为________；当四棱锥P ABCD的体积取得最大值时，二面角A PC D的正切值为________．
14．已知边长为2的正方形纸片ABCD，现将其沿着对角线AC翻折，使得二面角B AC D的大小等于45°，则四面体ABCD的体积为________．
15．如图①，正方形ABCD的边长为4，AB＝AE＝BF＝EF，AB∥EF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD⊥平面AEFB，G是EF的中点，如图②．
图① 图②
(1)求证：AG⊥平面BCE；
(2)求二面角C AE F的余弦值．
课时分层作业(七) 二面角答案
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在长方体ABCD A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝AA1，E为CC1的中点，则二面角E BD C的平面角的大小为( )
A． B． C． D．
B [如图，连接AC，BD，相交于点O，
∵AB＝BC，
∴OC⊥BD，
而△BCE≌△DCE，
∴BE＝DE，
则OE⊥BD，
∴∠EOC为二面角E BD C的平面角，
设AB＝BC＝2，则OC＝AC＝，
AA1＝2，则CE＝CC1＝AA1＝．
∴∠EOC＝．
即二面角E BD C的平面角的大小为．]
2．过正方形ABCD的顶点A作线段AP垂直于平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的大小为( )
A． B．
C． D．以上都不正确
A [设AP＝AB＝1，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，＝(1,1，－1)，＝(0,1，－1)．
设平面PCD的法向量m＝(x，y，z)，
则
取y＝1，得m＝(0,1,1)，
平面ABP的法向量n＝(0,1,0)，
设平面ABP与平面CDP所成的角为θ，
则cos θ＝＝＝，∴θ＝．]
3．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B AC D的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
D [如图所示，欲使得三棱锥体积最大，
∵三棱锥底面积一定，
∴只须三棱锥的高最大即可，
即当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，
∴当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，
二面角B AC D的大小为90°．]
4．如图，已知三棱锥ABC A1B1C1的底面是正三角形，侧面ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝60°，M是A1B1的中点，MB⊥AC，则二面角A1 BB1 C的余弦值为( )
A． B．
C． D．
B [取AB的中点O，连接OC，OA1则AB⊥OC，
AB⊥OA1，建系如图所示，设OA＝OB＝1，则OA1＝OC＝，则平面ABB1的法向量为m＝(1,0,0)．
B(0,1,0)，C(－，0,0)，A1(0,0，)，M(0,1，)，
B1(0,2，)．
则＝(－，－1,0)，＝(0,1，)．
设平面BB1C的法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
令x＝1，得n＝(1，－，1)，
cos〈m，n〉＝＝＝．]
5．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B′ AC D，M，N分别为AC，B′D的中点，若θ∈，则线段MN长度的取值范围为( )
A． B．
C． D．[1，]
A [连接B′M，DM，得AC⊥B′M，AC⊥DM，
∴∠DMB′是二面角B′ AC D的平面角，且B′M＝DM＝，
在等腰△DMB′中，MN⊥B′D，
且∠DMN＝∠DMB′＝θ，θ∈，
则MN＝DMcosθ∈．
∴线段MN长度的取值范围为．]
二、填空题
6．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是________．
120° [设二面角大小为θ，由题意可知
cos(π－θ)＝＝＝，
所以θ＝120°．]
7．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P BC A的大小为________．
90° [取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，则∠POA就是二面角P BC A的平面角．又PO＝AO＝，PA＝，所以∠POA＝90°．]
8．如图，在边长为2的正方体中，M为棱AB的中点，则二面角B1 CM B的正切值是________．
[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
B(2,2,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)，M(2,1,0)，＝(2，－1,0)，＝(2,0,2)，
设平面CMB1的法向量n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得n＝(1,2，－1)，
平面CBM的法向量n＝(0,0,1)，
设二面角B1 CM B的平面角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∴tan θ＝．∴二面角B1 CM B的正切值为．]
三、解答题
9．如图所示，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A VB C的余弦值．
[解] 取VB的中点为E，
连接AE，CE．
∵VA＝VB＝VC＝AB，ABCD为正方形，
∴AE⊥VB，CE⊥VB．
∴∠AEC是二面角A VB C的平面角．
设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝a，AC＝a，由余弦定理可知：
cos∠AEC＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))－\r(2)a2,2×\f(\r(3),2)a×\f(\r(3),2)a)＝－，∴所求二面角A VB C的余弦值为－．
10．如图所示，在梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在线段BC，AD上(异于端点)，EF∥AB．将四边形ABEF沿EF折起，连接AD，AC，BC．
(1)若BE＝3，在线段AD上取一点P，使AP＝PD，求证：CP∥平面ABEF；
(2)若平面ABEF⊥平面EFDC，且线段FA，FC，FD的长成等比数列，求平面EAC和平面ACF夹角的大小．
[解] (1)证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AB，BE＝3，
∴AF＝3．
又AD＝6，BC＝4，∴EC＝1，FD＝3，
在线段AF上取点Q，使AQ＝QF，连接PQ，QE，
∵AP＝PD，∴PQDF，
∵CEDF，∴CEPQ，
∴四边形ECPQ为平行四边形，∴CP∥EQ，
∵CP 平面ABEF，EQ 平面ABEF，
∴CP∥平面ABEF．
(2)在梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥EF，∴EF⊥AF，EF⊥FD，∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，AF 平面ABEF，∴AF⊥平面EFDC．
设FA＝x(0＜x＜4)，∵EF＝AB＝2，
∴FD＝6－x，EC＝4－x，∴FC＝，
∵线段FA，FC，FD的长成等比数列，
∴FC2＝FA·FD，即4＋(4－x)2＝x(6－x)，
化简得x2－7x＋10＝0，∴x＝2或x＝5(舍去)．
以点F为坐标原点，FE，FD，FA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则F(0,0,0)，E(2,0,0)，C(2,2,0)，A(0,0,2)，
∴＝(0,2,0)，＝(－2,0,2)，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面EAC的法向量，
则即
取z1＝1，则x1＝1，y1＝0，
∴平面EAC的一个法向量为n1＝(1,0,1)．
又＝(2,2,0)，＝(0,0,2)，
设n2＝(x2，y2，z2)是平面ACF的法向量，
则即
取x2＝1，则y2＝－1，z2＝0，
∴平面ACF的一个法向量为n2＝(1，－1,0)．
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝．
∵平面EAC和平面ACF的夹角为锐角，
∴平面EAC和平面ACF的夹角为60°．
11．(多选题)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值可能为( )
A． B． C． D．
ABCD [在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，
当F与B1重合时，平面EFB即为平面ABB1A，
此时平面EFB与底面ABCD所成的二面角的平面角为90°，余弦值为0，
当E与A重合，F与C1重合时，平面EFB是平面ABC1D1，
此时平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角为45°，余弦值为．
∴平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是．]
12．如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C BF D的正切值为( )
A． B．
C． D．
D [如图所示，连接BD，AC∩BD＝O，连接OF．以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz．设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝．所以B，F，C，D．
结合图形可知，＝且为平面BDF的一个法向量，
由＝，＝，
可求得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．
所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，
所以tan〈n，〉＝．
即二面角C BF D的正切值为．]
13．(一题两空)在四棱锥P ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD＋PD＝3．若四棱锥P ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为________；当四棱锥P ABCD的体积取得最大值时，二面角A PC D的正切值为________．
6π [设CD＝x(0＜x＜3)，则PD＝3－x，
因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，
又PD⊥AC，所以PD⊥平面ABCD，
则四棱锥P ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，
从而球心O的表面积为：4π＝3π[(x－1)2＋2]≥6π．
四棱锥的体积为V＝×(3－x)x2(0＜x＜3)，
则V′＝－x2＋2x，当0＜x＜2时，V′＞0，当2＜x＜3时，
V′＜0，所以Vmax＝V(2)，此时AD＝CD＝2，PD＝1，
过D作DH⊥PC于H，
连接AH，则∠AHD为二面角A PC D的平面角．
∵DH＝＝，
∴tan∠AHD＝＝．]
14．已知边长为2的正方形纸片ABCD，现将其沿着对角线AC翻折，使得二面角B AC D的大小等于45°，则四面体ABCD的体积为________．
[如图，连接AC，BD，设AC与BD相交于E，则BE⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BED为二面角B AC D的平面角，大小等于45°，且AC⊥平面BED，
在平面BED中，过B作BO⊥平面ACD，则O在DE上，
∵原正方形的边长为2，
∴S△ACD＝×2×2＝2，BE＝，则BO＝1．
∴四面体ABCD的体积为×2×1＝．]
15．如图①，正方形ABCD的边长为4，AB＝AE＝BF＝EF，AB∥EF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD⊥平面AEFB，G是EF的中点，如图②．
图① 图②
(1)求证：AG⊥平面BCE；
(2)求二面角C AE F的余弦值．
[解] (1)证明：连接BG，因为BC∥AD，AD⊥底面AEFB，
所以BC⊥底面AEFB，
又AG 底面AEFB，
所以BC⊥AG，
因为AB＝AE，所以四边形ABGE为菱形，所以AG⊥BE，
又BC∩BE＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，所以AG⊥平面BCE．
(2)由(1)知四边形ABGE为菱形，AG⊥BE，AE＝EG＝BG＝AB＝4，
设AG∩BE＝O，所以OE＝OB＝2，OA＝OG＝2，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，A(－2,0,0)，E(0，－2，0)，F(4,2，0)，C(0,2，4)，D(－2,0,4)，
所以＝(2,2，4)，＝(2，－2，0)，
设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，
则令y＝1，则x＝，z＝－，
即平面ACE的一个法向量为n＝(，1，－)，
易知平面AEF的一个法向量为＝(0,0,4)，
设二面角C AE F的大小为θ，由图易知θ∈，
所以cos θ＝＝＝．
故二面角C AE F的余弦值为．
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